訂正與會(huì)通：勾股定理在晚明《幾何原本》（1607）中的呈現(xiàn)

潘澍原

（中國(guó)科學(xué)院 自然科學(xué)史研究所，北京100190）

晚明耶穌會(huì)士傳教來(lái)華，歐洲學(xué)術(shù)隨之輸入，譯介成書(shū)，刊布流播，獲得相當(dāng)程度的回應(yīng)，其中最著名的是《幾何原本》六卷。作為古典數(shù)學(xué)巨著《原本》（Elements）的漢文首譯，《幾何原本》往往被視作中西文明交流的象征。在其諸多內(nèi)容中，勾股定理或最具代表性——它不僅是歐洲古典幾何學(xué)中的經(jīng)典命題，也密切關(guān)涉中國(guó)古代算學(xué)的重要畛域。本文將首先簡(jiǎn)述勾股定理的歷史認(rèn)知特別是在《原本》中的論證和后續(xù)傳流，其次考察定理在《幾何原本》等晚明西學(xué)著作中的譯介概況，進(jìn)而依據(jù)文本細(xì)節(jié)，重點(diǎn)分析相關(guān)內(nèi)容如何通過(guò)翻譯和校閱的具體實(shí)作呈現(xiàn)于《幾何原本》之中，并討論其背后的考量與認(rèn)知，以期揭示晚明西學(xué)譯介的某些重要特征，說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)跨文化傳播的復(fù)雜樣態(tài)。

1 數(shù)學(xué)經(jīng)典中的經(jīng)典命題：勾股定理、《原本》及其傳流

勾股定理揭示直角三角形的三邊關(guān)系——斜邊上的正方形面積等于兩直角邊上的正方形面積之和。這一關(guān)系簡(jiǎn)潔而深刻，相關(guān)認(rèn)知可以上溯久遠(yuǎn)。古巴比倫時(shí)代的泥版文書(shū)就有不少涉及直角三角形斜邊或矩形對(duì)角線的數(shù)學(xué)問(wèn)題（至遲公元前17世紀(jì)），其富于范例性的解法已蘊(yùn)含等價(jià)于定理內(nèi)涵的一般性原則［1］。古印度吠陀經(jīng)典《繩法經(jīng)》（?ulbasūtras，至遲公元前6世紀(jì)）則明確表述，連接矩形對(duì)角的弦線造作的正方形面積是其長(zhǎng)、寬兩邊各自造作的正方形面積之和，并據(jù)此進(jìn)行圖形的構(gòu)造和變換［2-4］。至若中國(guó)古代，較早成書(shū)的《周髀》首章以邊長(zhǎng)3、4、5的直角三角形為例，通過(guò)一般性的圖形分割移補(bǔ)解說(shuō)三邊關(guān)系；《九章算術(shù)》（約1世紀(jì)）則有一般直角三角形任知兩邊而推求余邊的“句（勾）股術(shù)”及各類(lèi)解直角三角形問(wèn)題［5-6］①近年清理公布的秦簡(jiǎn)《數(shù)》（公元前212以前）有“圓材薶地”題，與《九章算術(shù)》“句股”章“圓材埋在壁中”題設(shè)問(wèn)相近，數(shù)據(jù)、解答一致，其解法基于對(duì)勾股定理內(nèi)涵關(guān)系的一般性認(rèn)知，參見(jiàn)文獻(xiàn)［7］。。就具體語(yǔ)境而言，這些認(rèn)知尚不能視為定理，而是實(shí)施計(jì)算操作的“勾股法則”②Jens H?yrup在討論古巴比倫時(shí)期的相關(guān)數(shù)學(xué)實(shí)作時(shí)強(qiáng)調(diào)，彼中并無(wú)定理，只有潛在的運(yùn)算法則，參見(jiàn)文獻(xiàn)［1］395－396，402。筆者以為，這一判斷亦適用于古代印度和中國(guó)的相關(guān)認(rèn)知，唯兩者有明確乃至抽象的法則表述。。近世歐洲普遍將勾股定理的發(fā)現(xiàn)乃至論證歸功于古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約公元前570年至約公元前490年），而稱(chēng)以畢氏定理（Pythagorean theorem），其名延續(xù)至今，而其說(shuō)難以確知①古典時(shí)代以降的學(xué)術(shù)敘事傳統(tǒng)將畢達(dá)哥拉斯視為古希臘哲學(xué)和數(shù)學(xué)的重要奠基者，“畢氏定理”之名正是此傳統(tǒng)延續(xù)至近代的一個(gè)體現(xiàn)。自19世紀(jì)中晚期開(kāi)始，現(xiàn)代研究逐步懷疑以至否定此前歸于畢氏本人的哲學(xué)思想和數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)。20世紀(jì)初，古典學(xué)家、希臘數(shù)學(xué)史家T.L.Heath面對(duì)相關(guān)證言年代過(guò)晚的質(zhì)疑，仍以為尚無(wú)充分理?yè)?jù)否認(rèn)畢氏首先確立并論證勾股定理的傳統(tǒng)，參見(jiàn)文獻(xiàn)［8］351－352，［9］144－145。及至1960年代，古典學(xué)家W.Burkert通過(guò)其經(jīng)典研究全面否認(rèn)畢氏的數(shù)學(xué)家身份和數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)，學(xué)界由此形成基本共識(shí)；然亦有部分學(xué)者認(rèn)為其論斷過(guò)于苛刻，并推定畢氏對(duì)包括勾股定理在內(nèi)的古希臘早期數(shù)學(xué)認(rèn)知確有重要貢獻(xiàn)。有關(guān)此一學(xué)術(shù)論爭(zhēng)的述評(píng)，可參見(jiàn)文獻(xiàn)［10］。。然則畢氏之后，古典時(shí)代的希臘學(xué)者確可能掌握勾股定理的知識(shí)內(nèi)涵。譬如，在哲學(xué)家柏拉圖（Plato，約公元前429年至公元前347年）的《美諾篇》（Meno）中，蘇格拉底（Socrates）逐步引導(dǎo)美諾的仆人明了，面積倍于已知正方形的正方形須作于原形對(duì)角線之上，即指向定理在直角三角形等腰時(shí)的特例［9］297-298，［11］。

就今所知，勾股定理的一般性證明，首見(jiàn)于希臘化早期數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，約公元前330年至約公元前260年）編纂的《原本》（約公元前300年）。該書(shū)13卷內(nèi)容涵蓋幾何、數(shù)論、比例理論、不可分量等，廣泛吸收希臘古典時(shí)代發(fā)展形成的數(shù)學(xué)知識(shí)，而以其基本、典要者為“原本”。這些知識(shí)以定義、公設(shè)、公理為基本原理（first principle），以定理和問(wèn)題為命題的類(lèi)型區(qū)分，以陳述、設(shè)定（setting-out）、目標(biāo)（definition of goal）、作圖、證明、結(jié)論等為命題的形式劃分，通過(guò)綜合方法，依據(jù)演繹邏輯編排命題次序，由此組織而成公理化體系。正緣于此，《原本》成為古希臘數(shù)學(xué)知識(shí)最為重要而集中的載體［12］。其書(shū)卷I討論點(diǎn)、線、角、三角形、正方形、平行四邊形等平面幾何學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，卷中列述48道命題，由經(jīng)逐步推證最終導(dǎo)向勾股定理及其逆定理，而兩者又為其后多卷命題論證所倚賴②關(guān)于《原本》卷I的論證結(jié)構(gòu)及勾股定理對(duì)其后諸卷命題論證的支撐，參見(jiàn)文獻(xiàn)［13］。。因而，在《原本》的邏輯架構(gòu)中，勾股定理享有關(guān)鍵地位。

《原本》卷I命題47陳述定理如下③據(jù)J.L.Heiberg編校希臘文本（1883）的Heath英譯。：

在直角三角形中，對(duì)直角的邊上的正方形等于夾直角的邊上的正方形。［8］349

“對(duì)直角的邊”即斜邊，“夾直角的邊”即兩直角邊，而其上正方形之“等”，即指面積相等④《原本》中表此意涵的“等”自卷I命題35出現(xiàn)，參見(jiàn)文獻(xiàn)［8］327－328。。命題證明的核心是，自直角頂點(diǎn)作斜邊之垂邊的平行線，分斜邊上正方形為兩形，而各與兩直角邊上正方形等面積。簡(jiǎn)要言之（引征卷I命題及公理置黑括號(hào)內(nèi)），如圖1，設(shè)直角三角形ABC，角BAC為直角。先于邊AB、AC、BC上各作正方形GB、HC、BDEC【命題46】。自點(diǎn)A作直線AL平行于BD和CE，連點(diǎn)作直線AD、FC。

圖1 《原本》中的勾股定理圖示Fig.1 The diagram of Pythagorean theorem in the Elements

（1）三角形ABD和FBC中，邊BC與BD等（正方形BDEC），邊AB與FB等（正方形GB），角DBA與FBC等（直角DBC和FBA等，同加角ABC亦等【公理2】），故兩形全等【命題4】。

（2）平行四邊形BL和三角形ABD同以邊BD為底，且同在平行線AL和BD內(nèi)，故BL面積倍于ABD【命題41】。同理，正方形GB面積倍于三角形FBC（角BAC和BAG均為直角，故邊CA與AG同線【命題14】）。

（3）由（1）（2），平行四邊形BL與正方形GB等面積。同理，平行四邊形CL與正方形HC等面積。即正方形BDEC面積等于正方形GB和HC面積之和【公理2】。

《原本》成書(shū)之后即為世所重，在古代晚期已稱(chēng)經(jīng)典，中古時(shí)代輸入阿拉伯世界，繼而又回轉(zhuǎn)歐洲，抄本眾多，移譯不絕，內(nèi)嵌在其演繹結(jié)構(gòu)中的勾股定理亦隨之傳流。另一方面，勾股定理本身也因其經(jīng)典命題的價(jià)值得到專(zhuān)門(mén)的研究。一個(gè)值得指出的現(xiàn)象是，直角三角形等腰時(shí)的定理特例往往受到關(guān)注。例如，正因前揭《美諾篇》中蘇格拉底式的證明僅針對(duì)等腰直角三角形，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家塔比·伊本·庫(kù)拉（Thābit ibn Qurra，836—901）才應(yīng)友人的請(qǐng)求將其一般化［14］。又如，作為《原本》在文藝復(fù)興時(shí)期最具影響的兩個(gè)拉丁文排印本，1482年坎帕努斯（Campanus of Novara，約1220—1296）譯本和1505年贊貝蒂（Bartolomeo Zamberti，1473—1543）譯本的相應(yīng)命題均以等腰直角三角形為圖［15-16］；1516年雙譯合編本的坎氏、贊氏題圖則分別為等腰和非等腰形式（圖2）［17］。在同時(shí)期意大利學(xué)者瓦拉（Giorgio Valla，1447—1500）百科式的遺著（1501）中，定理的證明遵從《原本》，卻各就等腰和非等腰直角三角形給出兩種圖示，申說(shuō)部分還專(zhuān)門(mén)討論等腰情形并附相應(yīng)圖解（圖3）［18］。

圖2 坎帕努斯—贊貝蒂雙譯合編本《原本》中的勾股定理Fig.2 The Pythagorean Theorem in the First Conjunction of Campanus’s and Zamberti’s Translations of the Elements

圖3 瓦拉《關(guān)于追求與避免之事的著作》中的勾股定理Fig.3 The Pythagorean Theorem in Giorgio Valla’s De expetendiset fugiendisrebusopus

2 勾股定理在晚明的譯介：《幾何原本》及其他

《幾何原本》在晚明的翻譯和出版，成為勾股定理自歐洲傳入中國(guó)的自然路徑。這部西學(xué)經(jīng)典的問(wèn)世，有賴耶穌會(huì)士利瑪竇（Matteo Ricci，1552—1610）和親教士人徐光啟（1562—1633）的精誠(chéng)合作。利瑪竇于萬(wàn)歷十年（1582）航抵澳門(mén)，進(jìn)入內(nèi)地后逐步采取“適應(yīng)政策”傳教，尤積極結(jié)交士宦顯貴等社會(huì)上層，以講談著述構(gòu)建自身的“西儒”形象。萬(wàn)歷十九年（1591）開(kāi)始，利氏在韶州、南京等地?cái)?shù)度向士人指授《原本》的部分內(nèi)容，并與瞿汝夔（1549—1612）初譯其第一卷。萬(wàn)歷二十八年末（1601），利氏入都貢獻(xiàn)，獲準(zhǔn)留居。徐光啟則于萬(wàn)歷三十二年（1604）會(huì)試中第，館選在京，得與利氏長(zhǎng)相過(guò)從，商量問(wèn)學(xué)。萬(wàn)歷三十四年（1606）秋，利、徐二人談?wù)摎W洲學(xué)術(shù)，語(yǔ)及《原本》之精要，遂據(jù)利氏業(yè)師丁先生（Christoph Clavius，1538—1612）編注本合譯其書(shū)；次年（1607）春，前六卷譯畢刊行①《幾何原本》翻譯成書(shū)及刊印的詳細(xì)經(jīng)過(guò)，參見(jiàn)文獻(xiàn)［19］。。

丁先生是耶穌會(huì)早期最為杰出和權(quán)威的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，長(zhǎng)期任教于該會(huì)羅馬學(xué)院（Collegio Romano），大力倡導(dǎo)、推行數(shù)學(xué)教育，為此訂立課綱，編撰教材，影響廣遠(yuǎn)，尤以多次修訂再版的《歐幾里得原本十五卷》（Euclidis Elementorum libri XV）聞名②丁氏的生平和著述，參見(jiàn)文獻(xiàn)［20-22］。。該書(shū)并非普通意義上希臘文本的翻譯，而是包含大量注解——既有先前諸家的集解，也有丁氏自己的闡釋和評(píng)論，命題的證明也往往重加撰述以使其更為清晰顯明，便于理解［8］105。利瑪竇早年在羅馬學(xué)院研修四年有余（1572—1577），嘗從丁先生受學(xué)，研習(xí)以《原本》為基礎(chǔ)的“數(shù)學(xué)科學(xué)”［23］，［24］54-58，嗣后入華傳教，業(yè)師著作正是譯撰西學(xué)的當(dāng)然之選?！稁缀卧尽返谝痪怼扒笞鳌保üO(shè)）、“公論”（公理）及各卷“界說(shuō)”（定義）的數(shù)量與安排，是其書(shū)出自丁氏編注本1574年初版的明證［24］137-138；諸命題除可與歐幾里得原書(shū)對(duì)應(yīng)的內(nèi)容以外，亦時(shí)有“增”“注”“用法”等，具體表現(xiàn)出丁氏纂輯與注解的風(fēng)貌。

《幾何原本》所譯勾股定理即第一卷第四十七題，命題陳述與對(duì)應(yīng)的丁氏《歐幾里得原本十五卷》卷I命題47陳述原文分別作：

凡三邊直角形，對(duì)直角邊上所作直角方形與余兩邊上所作兩直角方形并等。［25］41a

In rectangulis triangulis，quadratum，quod a latere rectum angulum subtendente describitur，aequale est eis，quae a lateribus rectum angulum continentibus.［26］72r

比照前揭《原本》陳述，丁氏文本的句式、意涵皆同。漢譯“對(duì)直角邊”沿用拉丁原文的指示方式，表意準(zhǔn)確，相對(duì)該邊而稱(chēng)的“余兩邊”則代指原文“夾直角的邊”（lateribus rectum angulum continentibus）；全句以“凡”起首，強(qiáng)調(diào)定理對(duì)于任意直角三角形均成立①事實(shí)上，“凡”系《幾何原本》定義、定理陳述的常用詞，以增強(qiáng)表述的一般性，參見(jiàn)文獻(xiàn)［24］165。，由此完全表達(dá)出原文“在直角三角形中”（In rectangulis triangulis）而“直角三角形”為復(fù)數(shù)的準(zhǔn)確內(nèi)涵。《幾何原本》中的陳述雖未嚴(yán)格依照底本譯出，亦可謂盡傳原意，簡(jiǎn)明確當(dāng)。至于證明，漢譯文本也基本按原有方式展開(kāi)明晰的論述。

《幾何原本》而外，勾股定理亦見(jiàn)于晚明西學(xué)著作《大測(cè)》（1630）和《測(cè)量全義》（1631），但兩書(shū)皆只簡(jiǎn)單述及題旨，而未予嚴(yán)格證明。《大測(cè)》系崇禎初年明廷開(kāi)局修歷、引用西法之際耶穌會(huì)士鄧玉函（Johann Terrenz，1576—1630）等編譯的三角學(xué)專(zhuān)論，卷首“因明篇”將勾股定理作為平面三角學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)列出：

直角旁之兩腰，其能與弦等。能等者，謂兩腰上兩方形并與弦上方形等也?！稁缀巍芬痪碇钠撷卩囉窈骸洞鬁y(cè)》卷1，崇禎三年（1630）刊崇禎歷書(shū)本，6a。。

句尾小注明確標(biāo)示征引《幾何原本》中的勾股定理，然則陳述方式頗異：所舉正方形相等關(guān)系，先及直角邊而后斜邊；“直角旁之兩腰”的稱(chēng)法與《原本》“夾直角的邊”近似，且以斜邊為底而指稱(chēng)為“腰”；更直接以特殊名稱(chēng)“弦”代指對(duì)直角的斜邊③又，《大測(cè)》陳述勾股定理所用之“能”，或承自《幾何原本》第二卷第一題“注”中所稱(chēng)“二卷前十題皆言線之能也”，其下注文云“能者，謂其上能為直角形也”。。稍后成書(shū)的《測(cè)量全義》由耶穌會(huì)士羅雅谷（Giacomo Rho，1593—1638）、湯若望（Johann Adam Schall von Bell，1592—1666）等譯撰，全面論述歐洲實(shí)用幾何知識(shí)④《測(cè)量全義》題名之“測(cè)量”實(shí)指歐洲數(shù)學(xué)傳統(tǒng)中的“實(shí)用幾何”（practical geometry），參見(jiàn)文獻(xiàn)［27］470腳注②。關(guān)于此點(diǎn)，仍將另文詳為闡論。，第五卷“測(cè)面下”有“變形法”，其五“兩正方形變?yōu)橐徽健?，題注曰“《幾何原本》一卷四十七題備論其理，此則用法”⑤羅雅谷，龍華民，湯若望等：《測(cè)量全義》卷5，崇禎四年（1631）刊順治二年（1665）重修西洋新法歷書(shū)本，27a。，說(shuō)明該題只是以《幾何原本》所論勾股定理為理?yè)?jù)的圖形變換方法⑥既往研究多以此題為勾股定理證明之另法，參見(jiàn)文獻(xiàn)［6］15。其歐洲源流及相關(guān)討論擬別作闡述，此不贅。。題中令兩正方形邊相接互成直角，以此構(gòu)造直角三角形，其斜邊聯(lián)結(jié)兩正方形各一角，

即以為底，作正方形，其積與兩元形并積等⑦羅雅谷，龍華民，湯若望等：《測(cè)量全義》卷5，崇禎四年（1631）刊順治二年（1665）重修西洋新法歷書(shū)本，27a。。

相較《幾何原本》，這一表述直截地將一形與兩形并“等”實(shí)為面積相等的含義顯明出來(lái)。

3 剜字而存圖：利瑪竇、徐光啟對(duì)勾股定理一般性的理解和處理

前已述及，勾股定理在漢譯文本中的論證依循《原本》而明晰無(wú)誤，不過(guò)相關(guān)文本的具體內(nèi)容和樣態(tài)仍值得進(jìn)一步討論。《幾何原本》中的定理在陳述之后一般分為“解”“論”兩部分，前者包含命題的設(shè)定和目標(biāo)，后者則是證明及輔助作圖［24］162。第一卷第四十七題之“論”首敘作圖：“試從甲作甲癸直線與乙戊、丙丁平行，本篇卅一。分乙丙邊于子?！保?5］41b其后半句明刊本原作“ 分乙丙邊于子”，留有兩字闕空（圖4）⑧紀(jì)志剛2012年校點(diǎn)《幾何原本》第一卷時(shí)首先發(fā)現(xiàn)此闕，并在上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)史討論班上初步分析其學(xué)術(shù)內(nèi)涵。其后筆者考閱十?dāng)?shù)種明刊《幾何原本》，包括已知刊印最早的中國(guó)國(guó)家圖書(shū)館藏韓應(yīng)陛題跋本（館藏著錄為萬(wàn)歷三十五年（1607）初刊本）在內(nèi)的所有印本均有此闕。。同樣引人注意的是，命題圖示列有兩幅，分別表現(xiàn)直角三角形等腰和非等腰情形（圖4），卻未見(jiàn)相關(guān)說(shuō)明。明刊闕空原系何字，又何故剜去？題圖何以同時(shí)列示兩種情形，其中有何意蘊(yùn)？

圖4 《幾何原本》明刊本中的勾股定理Fig.4 The Pythagorean theorem in Jiheyuanben，Ming edition

欲討論這些問(wèn)題，必須在底本和譯本之間比對(duì)考析勾股定理除前揭命題陳述以外的全部?jī)?nèi)容。首先，題圖以等腰、非等腰兩種形式并舉，為丁氏編注本所原有（圖5）［26］72r，利瑪竇和徐光啟在漢譯時(shí)照樣沿用。次將拉丁文本和文言文本具錄如下，以相同字母—數(shù)字對(duì)應(yīng)編號(hào)，以下劃線標(biāo)識(shí)主要差異。

圖5 丁氏《歐幾里得原本十五卷》（1574）中的勾股定理Fig.5 The Pythagorean theorem in Clavius’s Euclidis Elementorumlibri XV（1574）

［S］In trianguloABC，angulusBAC，sit rectus，describanturque superAB，AC，BC，quadrataABFG，ACHI，BCDE.［G］Dico quadratumBCDE，descriptum super latusBC，quod angulo recto opponit，aequale esse duobus quadratisABFG，ACHI，quae super alia duo latera sunt descripta，siue haec duo latera aequalia sint，siue inaequalia.［P1］Ducatur enim rectaAK，parallela ipsiBE，vel ipsiCD，secansBC，inL&iungantur rectaeAD，AE，CF，BH.［P2-1］Et quia duo anguliBAC，&BAG，sunt recti，erunt rectaeGA，AC，vna linea recta；［P2-2］eodemque modoIA，AB，vna recta linea erunt.［P3-1］Rursus quia anguliABF，CBE，sunt aequales，cum sint recti，si addatur communis angulusABC，fiet totus angulusCBF，toti anguloABE，aequalis；［P3-2］similiterque totus angulusBCH，toti anguloACD.［P4-1］Quoniam igitur lateraAB，BE，trianguliABE，aequalia sunt lateribusFB，BC，trianguliFBC，vtrumque vtrique，vt constat ex definitione quadrati；［P4-2］Sunt autem&anguliABE，F(xiàn)BC，contenti hisce lateribus aequales，vt ostendimus；［P4-3］Erunt triangulaABE，ABCaequalia.［P5-1］Est autem quadratum，seu parallelogrammumABFG，duplum trianguliFBC，cum sint inter parallelasBF，CG，&super eandem basinBF；［P5-2］Et parallelogrammumBEKL，duplum trianguliABE，quod sint inter parallelasBE，AK，&super eandem basinBE.［P6-1］Quare aequalia erunt quadratumABFG，¶llelogrammumBEKL；［P6-2］Eadem ratione ostendetur，aequalia esse quadratumACHI，¶llelogrammumCDKL.［P6-3］Erunt enim rursus triangulaACD，HCB，aequalia，ideoque eorum dupla，parallelogrammum videlicetCDKL，&quadratumACHI.［P7］Quamobrem totum quadratumBCDE，quod componitur ex duobus parallelogrammisBEKL，CDKL，aequale est duobus quadratisABFG，ACHI.［C］In rectangulis ergo triangulis，quadratum&c.Quod demonstrandum erat.［26］72r-72v

解曰：［S］甲乙丙角形，于對(duì)乙甲丙直角之乙丙邊上作乙丙丁戊直角方形。本篇四六。［G］題言，此形與甲乙邊上所作甲乙己庚及甲丙邊上所作甲丙辛壬兩直角方形并等。

論曰：［P1］試從甲作甲癸直線與乙戊、丙丁平行，本篇卅一。 分乙丙邊于子。次自甲至丁、至戊各作直線。末自乙至辛、自丙至己各作直線。［P2-1］其乙甲丙與乙甲庚既皆直角，即庚甲、甲丙是一直線。本篇十四。［P2-2］依顯乙甲、甲壬亦一直線。［P3-1］又丙乙戊與甲乙己既皆直角，而每加一甲乙丙角，即甲乙戊與丙乙己兩角亦等。公論二。［P3-2］依顯甲丙丁與乙丙辛兩角亦等。［P4-1］又甲乙戊角形之甲乙、乙戊兩邊，與丙乙己角形之己乙、乙丙兩邊等，［P4-2］甲乙戊與丙乙己兩角復(fù)等，則對(duì)等角之甲戊與丙己兩邊亦等，［P4-3］而此兩角形亦等矣。本篇四。［P5-1］夫甲乙己庚直角方形倍大于同乙己底、同在平行線內(nèi)之丙乙己角形，本篇四一。［P5-2］而乙戊癸子直角形亦倍大于同乙戊底、同在平行線內(nèi)之甲乙戊角形，［P6-1］則甲乙己庚不與乙戊癸子等乎？公論六。［P6-2］依顯甲丙辛壬直角方形與丙丁癸子直角形等。［P7］則乙戊丁丙一形與甲乙己庚、甲丙辛壬兩形并等矣。［25］41b-42a

比勘表明，底本與譯本的文本內(nèi)容大體一致。譯本在具體表述上或稍有改易，如前引“試從甲作甲癸直線與乙戊、丙丁平行，分乙丙邊于子”，在如實(shí)表達(dá)底本［P1］“Ducatur enim rectaAK，parallela ipsiBE，vel ipsiCD，secansBC，inL”之外，又增“從甲”二字。更顯著的差異是，某些底本語(yǔ)段在譯本中略而未表。其中，［P4-1］［P4-2］句尾是其述論依據(jù)的簡(jiǎn)略說(shuō)明，［P6-3］是前句“同理所示”（Eadem ratione ostendetur）的理?yè)?jù)概要，［C］重申題旨以為結(jié)論①《幾何原本》全書(shū)均未繼承這一結(jié)論形式，參見(jiàn)文獻(xiàn)［24］162。，或顯而易見(jiàn)，或述意重復(fù)，皆非緊要，而［G］后半句則別有意趣。經(jīng)簡(jiǎn)化、轉(zhuǎn)換、重組等方式，底本［S］［G］即命題設(shè)定和目標(biāo)的主要內(nèi)涵在“解”中得以等價(jià)表達(dá)，唯最后的補(bǔ)充說(shuō)明“這兩邊或等或不等”（siue haec duo latera aequalia sint，siue inaequalia）未予譯出——所謂“這兩邊”，是指相對(duì)于“對(duì)直角的邊BC”（latusBC，quod angulo recto opponit）而言的“另兩邊”（alia duo latera），亦即直角邊AB、AC。這一說(shuō)明不見(jiàn)于歐氏原書(shū)［8］349-350，而題圖的兩種形式顯然與之呼應(yīng)②同時(shí)期的《原本》權(quán)威版本康曼迪諾（Federico Commandino，1509—1575）譯注本亦無(wú)類(lèi)似表述，其圖示直角三角形非等腰，見(jiàn)文獻(xiàn)［28］。③紀(jì)志剛2016年8月通覽本文原稿后指出，勾股定理圖示的等腰形式應(yīng)當(dāng)淵源有自，并給出數(shù)例，筆者就此追溯查考，特此致謝。。丁氏在編譯《原本》時(shí)廣稽群書(shū)，必當(dāng)閱及勾股定理的兩種圖示及其等腰情形的有關(guān)論說(shuō)，故而將兩種圖示兼收并取，同時(shí)在申述目標(biāo)時(shí)闡明其不論直角三角形等腰與否皆成立，強(qiáng)調(diào)命題的一般性。漢譯在“題言”中未及丁氏補(bǔ)說(shuō)之意，固然無(wú)可厚非，卻使得兩幅圖示缺乏應(yīng)有的文本照應(yīng)。

復(fù)次，明刊本闕空也與兩種圖示的配置緊密關(guān)聯(lián)。事實(shí)上，直角三角形是否等腰與其斜邊是否平分相應(yīng)。由以上考察推測(cè)，闕處原文當(dāng)是“而平”二字④清人?？薄稁缀卧尽窌r(shí)已有同樣或類(lèi)似意見(jiàn)，典型者如光緒間劉鐸纂輯《古今算學(xué)叢書(shū)》，依明刊本留闕，卷末校記稱(chēng)“‘分乙丙’上原空二格，疑是‘兩平’二字，后挖去”（利瑪竇，徐光啟：《幾何原本》卷1，光緒二十四年（1894）石印古今算學(xué)叢書(shū)本，52a，54b）。另《四庫(kù)全書(shū)》文淵閣本改前句注文“本篇卅一”雙行為單行以補(bǔ)闕空（卷1，54a），道光丁未（1847）海山仙館刊本以“而平”二字補(bǔ)闕（卷1，48a），同治四年（1865）金陵書(shū)局刊本則僅補(bǔ)“而”一字（卷1，41b），此三種版本差異亦為紀(jì)志剛所發(fā)現(xiàn)。，原句即“試從甲作甲癸直線與乙戊、丙丁平行，而平分乙丙邊于子”?？梢酝葡?，利瑪竇和徐光啟初譯此題時(shí)，或受到前圖直角三角形等腰的影響，不自覺(jué)地將甲癸直線平分乙丙邊的特定圖式寫(xiě)入譯稿。待其書(shū)刊版初印以后，利、徐二人在校閱時(shí)察覺(jué)到“平分乙丙邊”的表述有礙作圖結(jié)果的一般性，而后續(xù)論證亦與甲癸如何切分乙丙邊無(wú)關(guān)，遂將“而平”剜去⑤實(shí)際上，明刊《幾何原本》為校正原有瑕疵而經(jīng)剜版留闕者非此一處，它們既是漢譯文本呈現(xiàn)過(guò)程的重要一環(huán)，也是相關(guān)知識(shí)傳播和理解的特殊見(jiàn)證。，卻仍保留前圖的等腰形式⑥值得指出的是，命題在翻譯過(guò)程中另有一項(xiàng)校正：底本［P2－1］因角BAC和角BAG均為直角而判定直線GA、AC系同一直線，邊注征引“4.primi.”即卷I命題4，實(shí)際當(dāng)引命題14，而漢譯相應(yīng)文句“其乙甲丙與乙甲庚既皆直角，即庚甲、甲丙是一直線”的注文改正作“本篇十四”。。從翻譯和校閱的具體實(shí)作考量，利、徐沿用底本兼列直角三角形等腰和非等腰情形的圖示，雖略去相應(yīng)的文本說(shuō)明，仍不失為一種對(duì)命題一般性的隱性表達(dá)。

4 會(huì)通中西：徐光啟對(duì)勾股定理丁氏注解附題的理會(huì)與譯解

完整述論勾股定理之余，《幾何原本》第一卷第四十七題還附有四道增設(shè)命題［25］42a-44b。查對(duì)底本可知，原題注解（scholion）部分附有丁氏收集的相關(guān)命題8道，《幾何原本》所附者乃自其第1、第4、第6、第8題移譯（表1）。“一增”陳述的“凡直角方形之對(duì)角線上作直角方形，倍大于元形”，即適用于等腰直角三角形的定理特殊形式，丁氏將此特例列為首題，正是對(duì)其學(xué)術(shù)傳統(tǒng)的一種回應(yīng)，而利瑪竇和徐光啟亦予采納?！岸鲱}”“三增題”則是利用定理的作圖，前者以兩不等直角三角形化為并積不變的兩相等直角三角形，后者以多矩形并為一矩形，正是歐洲幾何學(xué)圖形變換流播中國(guó)的早期實(shí)例。

表1 明譯《幾何原本》勾股定理所附增設(shè)命題陳述及對(duì)應(yīng)底本注解原文Tab.1 The enunciations of the added propositions appended to the Pythagorean theorem in the Chinese translation of the Elements and the corresponding paragraphs in the sourcebook

至于“四增”則尤為令人矚目①安國(guó)風(fēng)曾對(duì)此“四增”作簡(jiǎn)要分析，參見(jiàn)文獻(xiàn)［24］244－245。。其題曰：

三邊直角形，以兩邊求第三邊長(zhǎng)短之?dāng)?shù)。

法曰：甲乙丙角形，甲為直角，先得甲乙、甲丙兩邊長(zhǎng)短之?dāng)?shù)，如甲乙六，甲丙八，求乙丙邊長(zhǎng)短之?dāng)?shù)。其甲乙、甲丙上所作兩直角方形并既與乙丙上所作直角方形等，本題。則甲乙之冪自乘之?dāng)?shù)曰冪得三十六，甲丙之冪得六十四，并之得百，而乙丙之冪亦百。百開(kāi)方得十，即乙丙數(shù)十也。又設(shè)先得甲乙、乙丙，如甲乙六，乙丙十，而求甲丙之?dāng)?shù)。其甲乙、甲丙上兩直角方形并既與乙丙上直角方形等，則甲乙之冪得三十六，乙丙之冪得百，百減三十六，得甲丙之冪六十四。六十四開(kāi)方得八，即甲丙八也。求甲乙仿此。 此以開(kāi)方盡實(shí)者為例，其不盡實(shí)者，自具算家分法。［25］44a-44b

此題旨趣，實(shí)與中國(guó)古代算學(xué)之“句股術(shù)”差相仿佛，即“句、股各自乘，并而開(kāi)方除之，即弦”，“句自乘，以減弦自乘，其余開(kāi)方除之，即股”等［29］。不過(guò)，其“法”仍是基于“甲乙、甲丙上所作兩直角方形并既與乙丙上所作直角方形等”這樣具體應(yīng)用勾股定理的幾何觀點(diǎn)予以解說(shuō)和計(jì)算，與作為算法程序的“句股術(shù)”及其求解仍有相當(dāng)?shù)牟顒e②應(yīng)予提及的是，此“四增”后收入耶穌會(huì)士艾儒略（Giulio Aleni，1582—1649）、瞿式穀（1593—1645以后）編譯之《幾何要法》（1631）卷三“有三邊直角形以兩邊求第三邊長(zhǎng)短之?dāng)?shù)章第十四”，而略去尾句，改夾注“本題”為“《原本》卷一四十七”（艾儒略，瞿式穀：《幾何要法》卷3，崇禎四年（1631）序閩中景教堂刊本，7b－8b）。又前揭《大測(cè)》“因明篇”陳述勾股定理后亦稱(chēng)，“此理之用，為先得二邊以求第三邊”（鄧玉函：《大測(cè)》卷1，崇禎三年（1630）刊崇禎歷書(shū)本，6a），其后具例求解，亦與此“四增”略同。。

為作進(jìn)一步考察，引述底本丁氏注解附題VIII如下（今譯文置花括號(hào)內(nèi)）：

Cognitis duobus lateribus quibuscunque trianguli rectanguli，in cognitionem reliqui lateris peruenire.

Sit angulusA，rectus in trianguloABCsintque primo cognita lateraAB，AC，circa angulum rectum，quorumAB，ponatur 6 palmorum，&AC，8.Quoniam igitur quadrata rectarumAB，AC，nempe palmi 36&64 aequalia sunt quadrato rectaeBC；Si illa coniungantur simul，efficietur hoc palmorum 100.Latus ergoBC，continebit 10 palmos.Tantum enim est latus，seu radix quadrata 100 palmorum，vt perspicuum est apud Arithmeticos.Sint secundo cognita lateraAB，BC，sitqueAB，6 palmorum，&BC，10.Quoniam igitur quadrata rectarumAB，AC，aequalia sunt quadrato rectaeBC；Si quadratum rectaeAB，quod continet palmos 36 detrahatur ex quadrato rectaeBC，quod est palmorum 100，remanebit quadratum rectaeAC，64 palmorum.Latus ergoAC，continebit 8 palmos.Tanta enim est radix quadrata，seu latus 64 palmorum.Quod est propositum.Caeterum non semper hac arte inuenientur numeri rationales，quia non omnes numeri habent latus，radicemve quadratam，vt notum est apud Arithmeticos；Vnde latus inuentum saepe numero exprimi nequit，nisi per radicem surdam，quam vocant：Sed de his alias.［26］75r-75v

｛已知直角三角形的任意兩邊，以求知剩余一邊。｝

{設(shè)角A是三角形ABC中的直角，且首先已知直角邊AB、AC，其中AB設(shè)定為6掌寬的，而AC（設(shè)定為）8（掌寬的）。既然直線AB、AC的平方，也就是36掌寬和64掌寬，等于直線BC的平方；如果它們相加，這將得出100掌寬。故邊BC將有10掌寬。邊確實(shí)是如此大小，即100掌寬的平方根，正如算術(shù)家明了的。其次已知邊AB、BC，且AB為6掌寬的，而B(niǎo)C（為）10（掌寬的）。既然直線AB、AC的平方等于直線BC的平方；如果直線AB的平方——那有36掌寬，從直線BC的平方——那是100掌寬的——中減去，將余下直線AC的平方64掌寬。故邊AC將有8掌寬。平方根確實(shí)是如此大小，即64掌寬的邊。這就是命題的要求。另外，由此方法不總是求得有理數(shù)，因?yàn)椴⒎敲總€(gè)數(shù)都有邊，或者說(shuō)平方根，正如算術(shù)家知道的；因而所求邊往往不能用一個(gè)數(shù)而只能用所謂的不盡根表示。然此另當(dāng)別論。}

丁氏注解附題VIII在述論風(fēng)格上類(lèi)于命題中的問(wèn)題，而“四增”求解部分所冠“法曰”一詞，正是《幾何原本》專(zhuān)用于問(wèn)題的形式術(shù)語(yǔ)［24］162?！八脑觥钡脑O(shè)例用數(shù)、求解方式等多與底本一致，而添注引證“本題”，則有意強(qiáng)調(diào)其解法以勾股定理為依據(jù)。不過(guò)，相較丁氏底本的表述，漢譯文本的算法特征更為突出。如底本的問(wèn)題陳述僅是“求知剩余一邊”，漢譯則明言所求為第三邊的“長(zhǎng)短之?dāng)?shù)”①一般而言，中國(guó)古代算學(xué)中的“數(shù)”，指一般量而非數(shù)量。。雖則丁氏在具體述論中對(duì)正方形邊長(zhǎng)賦值并展開(kāi)運(yùn)算，但其具體量值均為帶單位的度量——“掌寬”（palmus）即歐洲文藝復(fù)興時(shí)期承用的羅馬長(zhǎng)度單位名稱(chēng)，而漢譯將此等單位盡皆省去②此細(xì)節(jié)承林力娜（Karine Chemla）2019年7月審閱文稿時(shí)向筆者點(diǎn)出，特此致謝。，只以純粹的數(shù)量演示運(yùn)算。

更富意趣的是，漢譯文本中出現(xiàn)諸如“甲乙之冪”等表示某邊之上正方形面積的稱(chēng)法，并注曰“自乘之?dāng)?shù)曰冪”，又有“開(kāi)方盡實(shí)”“不盡實(shí)”等語(yǔ)，均采用中國(guó)古代算學(xué)術(shù)語(yǔ)，而原文的“Arithmeticos”亦被轉(zhuǎn)譯為富于傳統(tǒng)意味的“算家”。這些譯語(yǔ)顯系徐光啟之手筆，既反映出他對(duì)勾股、開(kāi)方等中算知識(shí)的了解乃至稔熟，也表現(xiàn)出他對(duì)歐洲傳華知識(shí)的理會(huì)和接納。面對(duì)丁氏注解中引入具體算例的問(wèn)題，徐氏并未以內(nèi)涵相近的“句股術(shù)”③在徐光啟所能閱及的宋元以降特別是明代流行的算書(shū)中，“句股術(shù)”多以具體的某某“法曰”或“術(shù)曰”表述。代言其義，卻又在翻譯過(guò)程中自覺(jué)或不自覺(jué)地借用中算術(shù)語(yǔ)組織表述，在潛移默化之間會(huì)通舊學(xué)與新知，而這亦生動(dòng)展現(xiàn)出本土固有的學(xué)術(shù)語(yǔ)境在外來(lái)知識(shí)受容過(guò)程中隱微的涵化（acculturation）作用。

5 結(jié)語(yǔ)

《幾何原本》無(wú)疑是徐光啟西學(xué)譯介的開(kāi)端，而由其督修的歷算大典《崇禎歷書(shū)》可算作終點(diǎn)。正是在《崇禎歷書(shū)》的規(guī)劃綱要中，徐氏提出“欲求超勝，必須會(huì)通；會(huì)通之前，先須翻譯”［30］347的歷法修改方針。這一超卓的識(shí)斷屢為近世論者所激賞，而學(xué)界亦多就其說(shuō)，將明清之際學(xué)術(shù)知識(shí)自歐洲的傳入、介紹和翻譯與中國(guó)學(xué)者的研習(xí)、接納和會(huì)通，視為兩個(gè)前后接續(xù)的過(guò)程。例如，徐氏在《幾何原本》譯成之后為中算傳統(tǒng)的勾股知識(shí)補(bǔ)作論證的《句股義》，就被視為中西會(huì)通的代表著作。

然而，通過(guò)審讀、比勘和分析《幾何原本》第一卷第四十七題及其拉丁底本的相應(yīng)內(nèi)容，可以對(duì)此等觀念稍加檢討。誠(chéng)如所見(jiàn)，利瑪竇和徐光啟翻譯及至最終呈現(xiàn)勾股定理的過(guò)程，顯然不是從拉丁文本到文言文本的簡(jiǎn)單語(yǔ)義轉(zhuǎn)換，其間既有對(duì)作圖敘述的修正，也有對(duì)古算術(shù)語(yǔ)的借用，而相關(guān)的學(xué)習(xí)與討論、理解與考量亦深蘊(yùn)其中，形成更為豐富的內(nèi)涵。作為積極譯介西學(xué)的知識(shí)實(shí)踐者，利瑪竇和徐光啟在翻譯、校閱過(guò)程中對(duì)文本謬誤的訂正和對(duì)關(guān)聯(lián)知識(shí)的會(huì)通，或是主動(dòng)之舉，或是潛意而為，而這些實(shí)作都滲透著他們理解不同文化中的數(shù)學(xué)知識(shí)的努力和熱忱。藉此考察，我們亦得以從微觀角度理解數(shù)學(xué)知識(shí)的跨文化傳播何以成為可能。

后記并致謝：本文的核心內(nèi)容和思路2016年首揭于筆者博士學(xué)位論文，時(shí)匆遽成稿，未遑深論。2016年8月承碩士導(dǎo)師紀(jì)志剛教授通覽原稿并予具體意見(jiàn)，因此復(fù)作相關(guān)考索，訂補(bǔ)前論。2019年7月修訂稿又承林力娜（Karine Chemla）研究員細(xì)致審讀，批點(diǎn)指要，助益良多。2020年重修新稿，期間數(shù)就疑難咨問(wèn)Jens H?yrup教授及學(xué)兄鄭方磊博士，每得解惑。教益種種，謹(jǐn)申謝忱。