基于自適應(yīng)免疫-最小一乘算法的生物電阻抗特征參數(shù)提取

黃經(jīng)緯，曹樂，闞秀，李敏

上海工程技術(shù)大學(xué)電子電氣工程學(xué)院，上海201620

前言

生物阻抗特性是指生物組織的電學(xué)參數(shù)（電阻值和電容值）隨著加載激勵電信號頻率的變化而發(fā)生顯著變化［1］。近年來生物電阻抗技術(shù)發(fā)展迅速，目前已廣泛應(yīng)用于早期疾病診斷、生物組織液檢測和生理狀態(tài)評估等領(lǐng)域［2-5］。為了更好地研究生物阻抗，Cole等［6-7］建立了生物阻抗特征方程，即Cole-Cole方程，并提出4 個生物組織特征參數(shù)（Cole-Cole 參數(shù)）。隨后，越來越多的研究者投入到提取Cole-Cole參數(shù)的工作中［8-11］，目前最常用的方式是通過擬合Cole-Cole 圓弧間接提取。Macdonald 等［12］首次將非線性最小二乘法（LS）用于Cole-Cole 參數(shù)的提取。Chen 等［13-14］采用Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）方法降低了算法復(fù)雜度，同時利用最小一乘法（LAD）提取Cole-Cole參數(shù)，并與LS算法的提取結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果表明當(dāng)含有多種誤差數(shù)據(jù)時，LAD算法可以獲得更為準(zhǔn)確的Cole-Cole 參數(shù)。Gholami-Boroujeny 等［15］將細(xì)菌覓食算法（BFO）與LAD 算法結(jié)合，將參數(shù)擬合問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)值的組合問題，規(guī)避了BFGS 中近似Hessian 矩陣的求解，進(jìn)一步簡化了算法。受生物免疫系統(tǒng)的啟發(fā)，免疫算法作為一種新型智能搜索算法被提出。近年來，免疫算法已廣泛應(yīng)用于非線性最優(yōu)化、組合優(yōu)化、控制工程、機器人、故障診斷、圖形處理等諸多領(lǐng)域［16-20］。本文針對提取Cole-Cole參數(shù)提出了一種將最小一乘法與自適應(yīng)免疫算法相結(jié)合的新方法，該方法具有結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強、收斂速度快的特點。其中，自適應(yīng)免疫算法在免疫算法的基礎(chǔ)上設(shè)計了多種自適應(yīng)算子，并通過借鑒遺傳算法精英保留的思想，增設(shè)記憶單元，從而提高了算法的全局收斂速度、增強了局部尋優(yōu)能力。為了驗證本算法提取Cole-Cole參數(shù)的有效性和優(yōu)越性，本文通過設(shè)定相應(yīng)的評價指標(biāo)，將自適應(yīng)免疫-最小一乘算法與其他3 種算法進(jìn)行對比分析。

1 模型建立與算法優(yōu)化

1.1 Cole-Cole模型

生物細(xì)胞組織的電學(xué)特性可用圖1所示的等效電路模型表示。其中，Re、Ri分別表示細(xì)胞外液電阻與細(xì)胞內(nèi)液電阻，C表示細(xì)胞膜電容。

圖1 生物細(xì)胞組織等效電路模型Fig.1 Biological tissue equivalent circuit model

基于生物細(xì)胞組織等效電路模型和Cole-Cole理論建立Cole-Cole方程：

其中，Z(ω)為生物復(fù)阻抗，ω為角頻率，ω= 2πfc，fc為特征頻率，即表示阻抗值最大時的電流頻率，R∞、R0分別表示電流頻率無窮大與電流頻率為零時生物組織的電阻，α為散射系數(shù)（0 ＜α＜1），τ為弛豫時間?；诜匠蹋?）得到Cole-Cole 參數(shù)：R∞、R0、α和τ（或fc）。其中，τ與fc具有以下關(guān)系：

基于Cole-Cole 理論，生物阻抗的軌跡可用一段分布在復(fù)平面第4 象限內(nèi)的圓弧表示，即Cole-Cole圓弧，圓心坐標(biāo)為如圖2所示。

分析圖2中幾何關(guān)系，可得：

圖2 生物組織細(xì)胞Cole-Cole圓弧Fig.2 Cole-Cole arc of biological tissue cells

其中，(x0,y0)為Cole-Cole圓弧的圓心，r0為半徑。

根據(jù)式（1），弛豫時間常數(shù)τ表示為：

其中，Zi(ωi)表示fi激勵頻率下Cole-Cole圓弧軌跡上對應(yīng)的復(fù)阻抗，且ωi= 2πfi。

將式（2）～（5）代入式（6）中，并化簡：

由于τ表示弛豫時間，為實數(shù)，因此：

為了確保測量精度，實際操作中采用多個數(shù)據(jù)點的平均值作為最終參數(shù)值：

綜上所述，Cole-Cole 參數(shù)的提取流程如圖3所示，可分為以下幾個階段：首先，根據(jù)阻抗數(shù)據(jù)擬合Cole-Cole 圓弧，得到圓心坐標(biāo)和半徑；接著，分析Cole-Cole 圓弧的幾何關(guān)系，求解參數(shù)R0、R∞和α；最后，求解弛豫時間τ。

圖3 Cole-Cole參數(shù)提取流程圖Fig.3 Flowchart of Cole-Cole parameter extraction

1.2 自適應(yīng)免疫-最小一乘算法

為了提高Cole-Cole 參數(shù)的提取精度，本文提出一種用于Cole-Cole 參數(shù)提取的自適應(yīng)免疫-最小一乘算法，即AIA-LAD 算法。該算法一方面采用最小一乘法進(jìn)行擬合，增強魯棒性能；另一方面利用自適應(yīng)免疫算法進(jìn)行迭代，提高尋優(yōu)能力。其中，自適應(yīng)免疫算法是在傳統(tǒng)免疫算法的基礎(chǔ)上，借鑒遺傳算法中精英保留的思想增設(shè)了記憶單元，并設(shè)計了適用于Cole-Cole 參數(shù)提取的抗體親和度評價算子、抗體激勵度算子、自適應(yīng)變異算子和自適應(yīng)克隆抑制算子。

（1）基于最小一乘法的抗體親和度評價算子

采用最小一乘法擬合Cole-Cole圓弧的核心思想是使各阻抗點與擬合所得的Cole-Cole圓弧對應(yīng)點的徑向誤差和最?。?/p>

其中，(x0,y0)、r0為抗體解，分別表示擬合Cole-Cole 圓弧的圓心坐標(biāo)與半徑。因此，通過確定最小徑向誤差和即可獲得Cole-Cole 參數(shù)，但由于存在絕對值運算，造成參數(shù)的直接求解較為困難，且最小一乘法可看作一種無約束多元非線性優(yōu)化問題，因此本文結(jié)合最小一乘與迭代尋優(yōu)算法進(jìn)行Cole-Cole參數(shù)的求解，并設(shè)計了新的抗體親和度評價算子：

其中，F(xiàn)it_abj表示第j組抗體解的親和度，ei,j表示第i組阻抗值(xi,yi)與第j組抗體解的徑向誤差，誤差越小、親和度越高，(x0j,y0j)和r0j分別表示第j組解中圓弧的圓心和半徑。

（2）抗體激勵度算子

第j組抗體解與第k組抗體解的距離表示為：

其中，abj,t和abk,t分別為第j組與第k組抗體解的第t維數(shù)值，L為抗體編碼的總維數(shù)。

抗體間的相似度可通過設(shè)定相似度閾值δs來區(qū)別：

若兩個抗體解的距離小于δs，則抗體間相似度S(abj,abk)= 1；反之，S(abj,abk)= 0。

根據(jù)抗體間的相似度，將抗體濃度Den_abj表示為：

進(jìn)而得到抗體激勵度算子

其中，η、?為計算系數(shù)。

（3）自適應(yīng)變異算子

為了提高算法前期抗體種群的多樣性，并改善后期局部尋優(yōu)能力，本算法設(shè)計如下自適應(yīng)變異算子：

其中，abj,k,n表示abj第n組克隆抗體的第k維數(shù)值，rand(0,1)可產(chǎn)生區(qū)間(0,1)內(nèi)的隨機數(shù)，δ為偏移鄰域內(nèi)的隨機數(shù)，pm為變異概率。該算子能自適應(yīng)地改變抗體變異的偏移鄰域大小與迭代過程中的變異概率。

抗體權(quán)重親和度fg定義為：

其中，fbest,g、favg,g分別表示第g代抗體種群的最佳親和度與平均親和度。α、β均為計算系數(shù)，且α+β= 1。

為了更好地衡量抗體的收斂程度，將收斂因子λ定義為：

λ越小表示抗體越集中?？赏ㄟ^實時調(diào)節(jié)λ改變變異個體的偏移鄰域Δ：

其中，ζ為計算系數(shù)，δ0_min、δ0_max分別表示鄰域取值的下限和上限。

同時，將自適應(yīng)變異概率pm定義為：

其中，PM表示變異率的初始值，g、G分別表示當(dāng)前迭代次數(shù)與最大迭代次數(shù)，φ表示變異率衰減因子。

（4）自適應(yīng)克隆抑制算子

AIA-LAD 算法通過設(shè)計自適應(yīng)克隆抑制算子，保留了抗體種群的多樣性，同時提高了算法的尋優(yōu)速度，克隆抑制算子可表示為：

其中，γ表示適應(yīng)度和濃度的權(quán)重因子，Norm(Fit_abj)、Norm(Den_abj)分別表示抗體abj適應(yīng)度歸一化與濃度歸一化后的值。由式（21）可知，適應(yīng)度越高、濃度越小的抗體保存至下一代的概率越大。因此，本算法不僅能保留高適應(yīng)度抗體，而且可以提高抗體種群的多樣性，進(jìn)而使算法性能得到優(yōu)化。

AIA-LAD 算法通過增設(shè)記憶單元存儲每一代抗體種群中的優(yōu)秀個體，并在每次迭代后自動更新該單元，從而提高算法的全局收斂速度。本算法流程如圖4所示。

圖4 AIA-LAD算法流程圖Fig.4 Flowchart AIA-LAD algorithm

綜上所述，AIA-LAD 算法提取Cole-Cole 參數(shù)的具體實現(xiàn)過程如下：（1）獲取阻抗數(shù)據(jù)，初始化算法參數(shù)，并生成初代抗體種群；（2）根據(jù)最小一乘原理設(shè)置算法抗體親和度評價算子；（3）計算每個抗體的抗體親和度；（4）更新記憶單元中存放的抗體，并判斷是否滿足終止條件。若滿足，執(zhí)行（8），否則執(zhí)行（5）；（5）計算抗體濃度與抗體激勵度；（6）執(zhí)行自適應(yīng)免疫操作，包括免疫選擇、克隆、自適應(yīng)變異、自適應(yīng)克隆抑制，生成子代抗體種群；（7）從子代抗體種群中篩選優(yōu)秀抗體，結(jié)合記憶單元中的抗體形成新種群，并執(zhí)行（3）；（8）輸出親和度最高的抗體所表示的Cole-Cole 圓弧的圓心和半徑；（9）計算得到Cole-Cole參數(shù)R∞、R0、α和τ（或fc）。

2 實驗驗證

2.1 仿真數(shù)據(jù)集

本文通過參考文獻(xiàn)［14-15］中阻抗數(shù)據(jù)集的設(shè)計方式建立仿真數(shù)據(jù)集。首先，設(shè)定Cole-Cole參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)值：R0=150 Ω，R∞=50 Ω，α=0.8，τ=3.0×10-6，計算得到特征頻率fc=53.0516 kHz；其次，在頻率范圍1 kHz～1 MHz內(nèi)均勻選取呈對數(shù)分布的32個頻率點；最后，根據(jù)Cole-Cole 方程生成各頻率點對應(yīng)的阻抗數(shù)據(jù)。標(biāo)準(zhǔn)阻抗數(shù)據(jù)均勻分布在圓心為（100，-16.246 0），半徑為52.573 1的Cole-Cole圓弧上，同時，添加3種形式的噪聲組合生成3組實驗數(shù)據(jù)集，具體描述如下：

第1組數(shù)據(jù)集D1僅含奇異點噪聲，即在標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集的第13 個和第25 個頻率點處增加30%的徑向誤差，其余數(shù)據(jù)不變。

其中，xφ、yφ分別為標(biāo)準(zhǔn)阻抗數(shù)據(jù)的實部與虛部，xφ'、yφ'分別為添加噪聲后阻抗數(shù)據(jù)的實部與虛部，θφ表示頻率為fφ時徑向與水平軸之間的夾角，θφ=arccos((xφ-x0)/r0)。

第2組數(shù)據(jù)集D2僅含隨機噪聲，即在標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集的16個偶頻率點處(f2,f4,…,f32)分別增加-10%～10%的徑向誤差，其余數(shù)據(jù)不變。

第3組數(shù)據(jù)集D3同時包含奇異點噪聲和隨機噪聲，即在標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集的第13個和第25個頻率點處增加30%的徑向誤差，并在16個偶頻率點處（f2,f4,…,f32）分別增加-10%～10%的徑向誤差，其余數(shù)據(jù)不變。

2.2 實驗結(jié)果

本文為了驗證AIA-LAD 算法提取Cole-Cole 參數(shù)的優(yōu)越性，將其與BFGS-LS、BFGS-LAD 和BFO-LAD 算法進(jìn)行對比。本實驗主要從擬合精度、耗時長短和初值依賴性3個方面展開討論，每組實驗各進(jìn)行50次。

為了客觀地比較4種算法的性能，本文設(shè)置了相同的目標(biāo)參數(shù)(x0,y0,r0)的迭代初值：

其他初值分別設(shè)為：最大迭代次數(shù)50，種群大小20；根據(jù)多次實驗結(jié)果，當(dāng)η= 2，?= 1，α= 0.3，β= 0.7，ζ= 2，PM= 0.8，φ= 0.5時算法結(jié)果最優(yōu)。

（1）基于數(shù)據(jù)集D1，圖5a～圖5d分別對應(yīng)4種算法對Cole-Cole 圓弧的擬合結(jié)果。圖中紅色實線表示標(biāo)準(zhǔn)Cole-Cole 圓弧，藍(lán)色虛線表示擬合Cole-Cole圓弧，藍(lán)色點為阻抗數(shù)據(jù)點。通過對比圖中圓弧的重合程度，可知BFGS-LS算法擬合精度最低，其他3種算法擬合效果較好。本文選擇相對誤差作為算法提取精度的評價指標(biāo)。表1列出了4種算法提取的Cole-Cole參數(shù)R0、R∞、α和fc及其相對誤差eR0、eR∞、eα和efc。其中，AIA-LAD算法提取的各參數(shù)的相對誤差均為0.00%。因此，該算法對奇異點噪聲的敏感性較低，容錯能力較強。

表1 數(shù)據(jù)集D1的4種算法的提取結(jié)果Tab.1 Extraction results obtained by 4 different kinds of algorithms for data set D1

圖5 數(shù)據(jù)集D1的4種算法擬合的Cole-Cole圓弧Fig.5 Cole-Cole arcs fitted by 4 different kinds of algorithms for data set D1

（2）數(shù)據(jù)集D2中含有隨機噪聲，因此本實驗僅展示某次Cole-Cole 圓弧的擬合結(jié)果。對比分析圖6中4種算法對Cole-Cole圓弧的擬合效果，顯然BFGS-LS算法的擬合精度不如其他3種算法。表2顯示4種算法提取的Cole-Cole 參數(shù)及其相對誤差，表中數(shù)據(jù)均為50次實驗結(jié)果的平均值。對比表中數(shù)據(jù)，4種算法的提取精度均受隨機噪聲的影響，其中，AIA-LAD算法提取結(jié)果的平均相對誤差分別為0.26%、0.29%、0.27%、0.04%，均低于0.3%。

表2 數(shù)據(jù)集D2的4種算法的提取結(jié)果Tab.2 Extraction results obtained by 4 different kinds of algorithms for data set D2

圖6 數(shù)據(jù)集D2的4種算法擬合的Cole-Cole圓弧Fig.6 Cole-Cole arcs fitted by 4 different kinds of algorithm for data set D2

（3）圖7為4 種算法對數(shù)據(jù)集D3的一個擬合結(jié)果，其中BFGS-LS 算法的擬合效果最差。表3數(shù)據(jù)均為50 次實驗結(jié)果的平均值，AIA-LAD 算法提取的4 個特征參數(shù)的相對誤差分別為0.43%、0.44%、0.69%、0.15%，均低于其他3種算法。因此，奇異點噪聲與隨機噪聲同時存在時，AIA-LAD 算法的提取精度優(yōu)于其他3種算法。

表3 數(shù)據(jù)集D3的4種算法的提取結(jié)果Tab.3 Extraction results obtained by 4 different kinds of algorithms for data set D3

圖7 數(shù)據(jù)集D3的4種算法擬合的Cole-Cole圓弧Fig.7 Cole-Cole arcs fitted by 4 different kinds of algorithms for data set D3

（4）利用MATLAB 2017b軟件分別對4種算法提取Cole-Cole 參數(shù)進(jìn)行代碼實現(xiàn)，并對比耗時長短。電腦配置為Inter?CoreTMi7-9700 CPU@3.00 GHz，內(nèi)存RAM 為16.0 GB，系統(tǒng)為64 位Win10 操作系統(tǒng)。實際環(huán)境中，奇異點噪聲與隨機噪聲不可避免，因此本實驗基于數(shù)據(jù)集D3對4 種算法提取參數(shù)的平均耗時進(jìn)行了對比。BFGS-LS、BFGS-LAD、BFO-LAD、AIA-LAD 算法運行時間分別為15.26、15.03、9.02、6.57 s，可知AIA-LAD算法的耗時最短。

（5）另外，迭代初值也是影響算法提取精度的一個重要因素［13］。本實驗基于數(shù)據(jù)集D3，通過設(shè)計一組較差的初值，評估AIA-LAD算法對初值的依賴性。其中，目標(biāo)參數(shù)(x0,y0,r0)的迭代初值均設(shè)為200。根據(jù)表4中50次實驗的平均結(jié)果可知，AIA-LAD算法在初值較差的情況下，依然能準(zhǔn)確地提取Cole-Cole參數(shù)，提取得到的4個特征參數(shù)R0、R∞、α、fc的相對誤差分別為0.51%、0.47%、0.45%、0.22%，均低于其他3 種算法，可知AIA-LAD 算法對初值設(shè)定的依賴性較弱。

表4 初值較差時數(shù)據(jù)集D3的4種算法的擬合結(jié)果Tab.4 Fitting results obtained by 4 different kinds of algorithms for data set D3 when the initial value is poor

根據(jù)所設(shè)計的多組對比實驗結(jié)果顯示，相較于其他3 種算法，AIA-LAD 算法在Cole-Cole 參數(shù)的提取過程中，擬合精度較高、耗時最短、初值依賴性最弱，且對噪聲不敏感。

3 結(jié)論

本文為Cole-Cole參數(shù)的提取提供了一種新方法。該方法在傳統(tǒng)免疫算法的基礎(chǔ)上，設(shè)計自適應(yīng)策略并引入記憶單元結(jié)構(gòu)，同時，結(jié)合最小一乘法形成了一種結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強的AIA-LAD算法。其中，自適應(yīng)策略具體包括適用于Cole-Cole參數(shù)提取的抗體親和度評價算子、抗體激勵度算子、自適應(yīng)變異算子和自適應(yīng)克隆抑制算子。為了驗證AIA-LAD算法提取Cole-Cole參數(shù)的有效性與優(yōu)越性，本文通過在標(biāo)準(zhǔn)生物阻抗數(shù)據(jù)集的基礎(chǔ)上增加奇異點噪聲與隨機噪聲，形成3種不同的數(shù)據(jù)集，采用AIA-LAD、BFGS-LS、BFGS-LAD和BFO-LAD算法分別擬合Cole-Cole圓弧，并提取Cole-Cole參數(shù)，根據(jù)所設(shè)計的評價指標(biāo)對4種算法的提取結(jié)果做出判斷。同時，本文還對比分析了AIA-LAD算法提取Cole-Cole參數(shù)的耗時長短及對初值的依賴性。實驗結(jié)果表明，AIA-LAD算法在含有噪聲的生物阻抗數(shù)據(jù)集下有較高的擬合精度、較快的運行速度，且對初值的依賴性不高。因此，AIA-LAD算法的應(yīng)用能夠快速、有效地解決Cole-Cole參數(shù)的提取問題，降低算法對初值的依賴性。