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    導數(shù)中的恒成立問題探索

    2021-08-27 17:34:43賀香惠
    數(shù)學學習與研究 2021年23期
    關鍵詞:恒成立導數(shù)高中數(shù)學

    賀香惠

    【摘要】導數(shù)是數(shù)學當中非常重要的內容,它為研究函數(shù)的性質提供了強有力的工具,在高中階段是一項重點教學內容.導數(shù)題目在歷年高考中頻繁出現(xiàn)并且占據(jù)較大分值,在大學高等數(shù)學中,導數(shù)雖然不再作為教學內容,但是在解答其他題目中會經(jīng)常用到.本次研究中對導數(shù)恒成立問題進行分析.

    【關鍵詞】高中數(shù)學;導數(shù);隱零點;恒成立

    一、引 言

    高考數(shù)學中經(jīng)常出現(xiàn)導數(shù)恒成立題目,并且占據(jù)較大分值.導數(shù)恒成立題目可以系統(tǒng)地檢驗學生對導數(shù)知識的掌握情況,同時考查了學生的邏輯推理能力、運算能力、歸納整合能力,包括一系列數(shù)學思想,也滲透數(shù)學的核心素養(yǎng).導數(shù)恒成立在數(shù)學中屬于難度系數(shù)較大的題目,教師在日常教學中通常會使用通性通法解答導數(shù)恒成立題目,通性通法的實質性原則就是將導數(shù)恒成立問題轉化為函數(shù)問題,利用數(shù)形結合對函數(shù)的單調性與極值進行研究分析,值得注意的是,在解答導數(shù)恒成立題目時需要區(qū)分好能成立、恰成立之間的區(qū)別.

    二、函數(shù)性質

    通過將導數(shù)恒成立問題轉化為函數(shù)問題,分析函數(shù)性質進而解決問題可以進一步促進學生對題目的理解與掌握[1].運用函數(shù)性質解答題目需要重點分析函數(shù)的單調性、極值、最值,以求解導數(shù)恒成立問題.

    題目1:求證:ln x+1x≤1恒成立.

    證明不等式恒成立問題,可以轉化為對應函數(shù)的最大值問題,可以令f(x)=ln x+1x,求導函數(shù)f ′(x),得到f ′(x)=-ln xx2,由導數(shù)性質得知,在(0,1)區(qū)間內導數(shù)為正,(1,+∞)區(qū)間內導數(shù)為負.故當x=1時,函數(shù)求得極大值[2].在定義域內,如果有唯一的極大值,那么函數(shù)的極大值與最大值是相等的,因此,進一步得知函數(shù)最大值f(1)=1,得證.

    三、構造函數(shù)

    構造函數(shù)在解答許多函數(shù)題目的過程中都會被運用,實質上就是對不等式兩端進行整合處理,經(jīng)整合后一個新的函數(shù)由此誕生,整合得出的函數(shù)可以用于解決題目問題[3].

    可以使用構造函數(shù)的方法解答兩個函數(shù)與導數(shù)恒成立問題.常見的函數(shù)恒成立問題主要有以下類型:f(x)≥g(x)與f(x)-g(x)≥0性質一致,f(x)≤g(x)與f(x)-g(x)≤0性質一致.

    題目2:在定義域內恒成立問題可轉化為ln x≤x-1恒成立,即ln x-x+1≤0恒成立,在此基礎上使用構造函數(shù)進行解答.在構造函數(shù)思想下,不等式恒成立問題被轉化為函數(shù)單調性問題,分析函數(shù)的相關性質,使導數(shù)恒成立題目難度適當下降,答題失誤率也有所下降.

    恒成立問題除了證明以外,還有很多在恒成立的條件下,求參數(shù)范圍的問題,也可以采用構造函數(shù)的思路進行討論,討論新構造的函數(shù)的性質問題.

    題目3:設函數(shù)f(x)=ex-e-x.若對所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范圍.

    解:令g(x)=f(x)-ax,則g′(x)=f ′(x)-a=ex+e-x-a.

    (1)若a≤2,當x>0時,g′(x)=ex+e-x-a>2-a≥0,故g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),

    ∴x≥0時,g(x)≥g(0),即f(x)≥ax.

    (2)若a>2,方程g′(x)=0的正根為x1=lna+a2-42.

    此時,若x∈(0,x1),則g′(x)<0,故g(x)在該區(qū)間為減函數(shù).

    ∴x∈(0,x1)時,g(x)

    綜上,滿足條件的a的取值范圍是(-∞,2].

    構造新函數(shù)解決問題也是數(shù)學中轉化思想的重要應用,在這個過程中提高了學生的邏輯思維能力,提升了數(shù)學素養(yǎng).

    四、參變分離

    有些恒等式中含有參數(shù),通常會使用離散變量的方法,其本質是通過同解變形的方式分離題目參數(shù)中的主元、方程、不等式,目的是使函數(shù)關系更加明顯,進一步使用函數(shù)關系解答題目可降低答題難度[4].

    對于解答函數(shù)恒等式的題目來說,分離變量是一種常用的重要方法.使用分離變量解答題目的好處在于,可以有效地將函數(shù)中的參數(shù)消除,進一步轉化為具體參數(shù),以簡化題目.

    題目4:若不等式1+1nn+a≤e對任意的n∈N都成立(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)),求a的最大值.我們可以嘗試將題目轉化為(n+a)ln1+1n≤1,由1+1n>1,知a≤1ln1+1n-n,求確定函數(shù)G(x)=1ln(1+x)-1x的最大值問題.

    但是,有的時候參變分離后函數(shù)的最值問題不容易求出,這個時候需要用到求二階導數(shù),隱零點求最值.比如,參變分析之后得到a≤ex-ln xx-1x.

    令h(x)=ex-ln xx-1x,h′(x)=x2ex+ln xx2,但是一階導數(shù)的根不容易找到,再令g(x)=x2ex+ln x,容易判斷g(x)為增函數(shù),且有一個零點,不妨設為x0,則使得x20ex0+ln x0=0,即x0=ln1x0,h(x)min=h(x0)=ex0-ln x0x0-1x0=1.為了加強對隱零點的熟練應用,還可以做一些變式練習.

    五、洛必達法則

    還有很多是題目參變分離之后無法用常規(guī)的方法求解的最值問題,尤其是端點值無意義的時候,我們需要用到洛必達法則.由洛必達法則可知,函數(shù)f(x),g(x)滿足:

    (1)lim f(x)x→a=lim g(x)=0x→a.

    (2)a點的某去心鄰域中,均有f ′(x),g′(x),同時g′(x)≠0.

    (3)limx→af ′(x)g′(x)=A,即limx→af(x)g(x)=limx→af ′(x)g′(x)=A.

    可以對分子、分母分別求導、極限,從而對未定式的值進行確定,這就是洛必達法則.

    值得注意的是,在解題過程中運用洛必達法則是對分子、分母分別求導,不是對商求導,求導結束后進一步求極限得到最值[5].高中階段的同學已經(jīng)具備接受洛必達法則的能力,如果在實際解題過程中運用洛必達法則,那么將大大提高解題效率.

    使用洛必達法則解題時大致思路如下:

    lim g(a)=lima→1ln12+a21-a2

    =lim121+a-1-2a=lima→111+a-2a-1=-12-2=14.

    通過洛必達法則可以快速得出a在趨近于1的情況下函數(shù)的極限值.

    在解題過程中使用洛必達法則可以在一定程度上降低計算量,增強學生解題信心[6].一些同學并不擅長使用函數(shù)性質、構造函數(shù)、參變分離的方法對導數(shù)恒成立問題進行解答,因此,教師在實際教學過程中可以向學生拓展洛必達法則解答題目,有效彌補了部分學生的解題障礙.

    六、高中階段導數(shù)教學策略

    1.先學后教

    在新課程教育背景下,“分數(shù)至上”的應試教育理論正在逐漸被淘汰,應試教育下老師講學生聽這種模式也在漸漸被替代.先學后教,就是給學生更多的自我思考與學習機會,先學實質上就是學生在課前進行深度的預習,將自我學習過程中不明白的問題記錄下來,帶著問題去上課.這種教學方法是可以實現(xiàn)老師與學生雙贏的一種途徑,既提升了學生的學習效率,也提升了教師的教學效率.對于學生已經(jīng)自我領會的知識點,教師在課堂上不再需要重點解析,而對于學生有異議的知識點,教師需要在課堂上予以重點解答.

    2.與實際生活相結合

    數(shù)學作為一門自然科學與實際生活中的種種現(xiàn)象是密不可分的.實質上,高中數(shù)學中的導數(shù)就是物體的變化率,而物體變化率又涉及高中物理學中的平均速度,借助物理學講解數(shù)學導數(shù)可以構建出更多生動的教學應用場景.除物理學外,在經(jīng)濟學中也涉及許多關于導數(shù)的知識[7].所以說,教師在講解導數(shù)時不要把導數(shù)僅僅看作考試題目、數(shù)學知識,而要盡可能與物理現(xiàn)象、經(jīng)濟現(xiàn)象等貼近生活實際的問題構建聯(lián)系,讓學生學習導數(shù)不再機械化,而是學以致用.

    3.注重培養(yǎng)學生的抽象思維

    在新課程教育背景下,教師需要賦予學生更多探索問題的機會與時間.學生經(jīng)過自主學習掌握了導數(shù)的定義,明確了導數(shù)的實質性問題是對物體瞬時變化率的描述,理解了導數(shù)的思想與意義.教師需要培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解答生活中的問題,培養(yǎng)其抽象思維,這樣不僅使學生進一步鞏固了數(shù)學知識點,也實現(xiàn)了對數(shù)學知識的應用.

    4.強化學生推理論證能力

    導數(shù)恒成立是高中數(shù)學階段重點教學內容,也是高考數(shù)學重點題目.函數(shù)的單調性與導數(shù)恒成立之間有著密切的聯(lián)系.在學習函數(shù)單調性的過程中,教師就可以借助函數(shù)單調性引導學生了解導數(shù)恒成立問題,幫助學生實現(xiàn)深入學習,使學生的推理能力得到提升.學生憑借強大的推理能力可以提升并掌握知識之間的關聯(lián)性能力.

    5.日常重視總結解題規(guī)律

    導數(shù)恒成立是高考重點題目,因此,歷年的高考數(shù)學中導數(shù)相關題目占據(jù)較大的分值,并且導數(shù)恒成立一般會作為解答題,占據(jù)的分值在15—20范圍內.高考題型變幻莫測,很難保證在考試中遇到前所未見的題目,但是千變萬化的題型終究離不開導數(shù)的本質.因此,學生需要注重對導數(shù)本質的理解,同時,在日常學習中注重對導數(shù)題目解題規(guī)律、技巧的總結.當總結一定的規(guī)律、技巧后,再結合導數(shù)的本質,面對任何類型的導數(shù)題目時都會應付自如.

    七、建 議

    對于高中數(shù)學階段解答導數(shù)恒成立相關問題時,本次研究提出以下建議:

    1.學生的課堂地位

    在數(shù)學課堂上,教師需要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維.而要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維,教師在課堂上就不能限制學生的思維,需要賦予學生充分的課堂主體地位,調動學生積極思考,并以探索的方式嘗試用多種方法解答題目.

    2.課后的反省與總結

    在每一次數(shù)學課結束后,學生需要對課堂內容積極地進行反思和總結,不要僅僅拘泥于教師的解題方法與思路,而要在課后總結中發(fā)現(xiàn)一定的創(chuàng)新之處,最終發(fā)掘真正適合自己的方法.

    3.教師引導

    在大學階段,學生需要面臨高等數(shù)學的學習.高中數(shù)學還屬于初等數(shù)學階段,因此,在高中階段學好數(shù)學對于學習高等數(shù)學具有鮮明的指導作用.

    八、結束語

    導數(shù)恒成立問題是數(shù)學學習中一個重要的知識點,在高中數(shù)學教學中是重點教學內容,在高考數(shù)學中占據(jù)較大分值.歷年高考中關于導數(shù)恒成立題目的變化層出不窮,讓許多考生防不勝防,但是,只要學生在學習中抓住了導數(shù)恒成立問題的本質,就可以輕松解答問題.本次研究中對導數(shù)中的恒成立問題進行探索,首先舉例使用函數(shù)性質對導數(shù)恒成立進行解答;使用構造函數(shù)的方式解答導數(shù)恒成立題目;有些導數(shù)當中含有參數(shù)討論,對于這些問題本次研究提出使用離散變量的方式對題目進行解答.除上述方法外,本次研究還提出了洛必達法則,相比其他的解題方法,使用洛必達法則解答導數(shù)恒成立題目可以更加簡便、精確.

    【參考文獻】

    [1]潘榮杰.揭示原有函數(shù)本質特征 助力導數(shù)綜合問題解決[J].數(shù)學通報,2019,58(11):42-45,66.

    [2]舒華瑛.“導數(shù)與函數(shù)”高考題解題策略探析[J].延邊教育學院學報,2019,33(01):128-130,134.

    [3]鄧慧麗.高中導數(shù)應用試題題型的分析與研究[D].西安:西北大學,2018.

    [4]馬曉紅.導數(shù):求參數(shù)的取值范圍的利器[J].科技經(jīng)濟導刊,2016(31):136-137.

    [5]陳小明.恒成立與存在性成立問題在函數(shù)最值中的應用[J].科學咨詢(科技·管理),2015(29):122,124.

    [6]楊潔.新課標中函數(shù)恒成立問題的解法[J].凱里學院學報,2014,32(06):171-173.

    [7]劉移山,夏慎謙.導數(shù)在中學數(shù)學不等式中的應用[J].科技信息,2013(20):351.

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