• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    導數(shù)中的恒成立問題探索

    2021-08-27 17:34:43賀香惠
    數(shù)學學習與研究 2021年23期
    關鍵詞:恒成立導數(shù)高中數(shù)學

    賀香惠

    【摘要】導數(shù)是數(shù)學當中非常重要的內容,它為研究函數(shù)的性質提供了強有力的工具,在高中階段是一項重點教學內容.導數(shù)題目在歷年高考中頻繁出現(xiàn)并且占據(jù)較大分值,在大學高等數(shù)學中,導數(shù)雖然不再作為教學內容,但是在解答其他題目中會經(jīng)常用到.本次研究中對導數(shù)恒成立問題進行分析.

    【關鍵詞】高中數(shù)學;導數(shù);隱零點;恒成立

    一、引 言

    高考數(shù)學中經(jīng)常出現(xiàn)導數(shù)恒成立題目,并且占據(jù)較大分值.導數(shù)恒成立題目可以系統(tǒng)地檢驗學生對導數(shù)知識的掌握情況,同時考查了學生的邏輯推理能力、運算能力、歸納整合能力,包括一系列數(shù)學思想,也滲透數(shù)學的核心素養(yǎng).導數(shù)恒成立在數(shù)學中屬于難度系數(shù)較大的題目,教師在日常教學中通常會使用通性通法解答導數(shù)恒成立題目,通性通法的實質性原則就是將導數(shù)恒成立問題轉化為函數(shù)問題,利用數(shù)形結合對函數(shù)的單調性與極值進行研究分析,值得注意的是,在解答導數(shù)恒成立題目時需要區(qū)分好能成立、恰成立之間的區(qū)別.

    二、函數(shù)性質

    通過將導數(shù)恒成立問題轉化為函數(shù)問題,分析函數(shù)性質進而解決問題可以進一步促進學生對題目的理解與掌握[1].運用函數(shù)性質解答題目需要重點分析函數(shù)的單調性、極值、最值,以求解導數(shù)恒成立問題.

    題目1:求證:ln x+1x≤1恒成立.

    證明不等式恒成立問題,可以轉化為對應函數(shù)的最大值問題,可以令f(x)=ln x+1x,求導函數(shù)f ′(x),得到f ′(x)=-ln xx2,由導數(shù)性質得知,在(0,1)區(qū)間內導數(shù)為正,(1,+∞)區(qū)間內導數(shù)為負.故當x=1時,函數(shù)求得極大值[2].在定義域內,如果有唯一的極大值,那么函數(shù)的極大值與最大值是相等的,因此,進一步得知函數(shù)最大值f(1)=1,得證.

    三、構造函數(shù)

    構造函數(shù)在解答許多函數(shù)題目的過程中都會被運用,實質上就是對不等式兩端進行整合處理,經(jīng)整合后一個新的函數(shù)由此誕生,整合得出的函數(shù)可以用于解決題目問題[3].

    可以使用構造函數(shù)的方法解答兩個函數(shù)與導數(shù)恒成立問題.常見的函數(shù)恒成立問題主要有以下類型:f(x)≥g(x)與f(x)-g(x)≥0性質一致,f(x)≤g(x)與f(x)-g(x)≤0性質一致.

    題目2:在定義域內恒成立問題可轉化為ln x≤x-1恒成立,即ln x-x+1≤0恒成立,在此基礎上使用構造函數(shù)進行解答.在構造函數(shù)思想下,不等式恒成立問題被轉化為函數(shù)單調性問題,分析函數(shù)的相關性質,使導數(shù)恒成立題目難度適當下降,答題失誤率也有所下降.

    恒成立問題除了證明以外,還有很多在恒成立的條件下,求參數(shù)范圍的問題,也可以采用構造函數(shù)的思路進行討論,討論新構造的函數(shù)的性質問題.

    題目3:設函數(shù)f(x)=ex-e-x.若對所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范圍.

    解:令g(x)=f(x)-ax,則g′(x)=f ′(x)-a=ex+e-x-a.

    (1)若a≤2,當x>0時,g′(x)=ex+e-x-a>2-a≥0,故g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),

    ∴x≥0時,g(x)≥g(0),即f(x)≥ax.

    (2)若a>2,方程g′(x)=0的正根為x1=lna+a2-42.

    此時,若x∈(0,x1),則g′(x)<0,故g(x)在該區(qū)間為減函數(shù).

    ∴x∈(0,x1)時,g(x)

    綜上,滿足條件的a的取值范圍是(-∞,2].

    構造新函數(shù)解決問題也是數(shù)學中轉化思想的重要應用,在這個過程中提高了學生的邏輯思維能力,提升了數(shù)學素養(yǎng).

    四、參變分離

    有些恒等式中含有參數(shù),通常會使用離散變量的方法,其本質是通過同解變形的方式分離題目參數(shù)中的主元、方程、不等式,目的是使函數(shù)關系更加明顯,進一步使用函數(shù)關系解答題目可降低答題難度[4].

    對于解答函數(shù)恒等式的題目來說,分離變量是一種常用的重要方法.使用分離變量解答題目的好處在于,可以有效地將函數(shù)中的參數(shù)消除,進一步轉化為具體參數(shù),以簡化題目.

    題目4:若不等式1+1nn+a≤e對任意的n∈N都成立(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)),求a的最大值.我們可以嘗試將題目轉化為(n+a)ln1+1n≤1,由1+1n>1,知a≤1ln1+1n-n,求確定函數(shù)G(x)=1ln(1+x)-1x的最大值問題.

    但是,有的時候參變分離后函數(shù)的最值問題不容易求出,這個時候需要用到求二階導數(shù),隱零點求最值.比如,參變分析之后得到a≤ex-ln xx-1x.

    令h(x)=ex-ln xx-1x,h′(x)=x2ex+ln xx2,但是一階導數(shù)的根不容易找到,再令g(x)=x2ex+ln x,容易判斷g(x)為增函數(shù),且有一個零點,不妨設為x0,則使得x20ex0+ln x0=0,即x0=ln1x0,h(x)min=h(x0)=ex0-ln x0x0-1x0=1.為了加強對隱零點的熟練應用,還可以做一些變式練習.

    五、洛必達法則

    還有很多是題目參變分離之后無法用常規(guī)的方法求解的最值問題,尤其是端點值無意義的時候,我們需要用到洛必達法則.由洛必達法則可知,函數(shù)f(x),g(x)滿足:

    (1)lim f(x)x→a=lim g(x)=0x→a.

    (2)a點的某去心鄰域中,均有f ′(x),g′(x),同時g′(x)≠0.

    (3)limx→af ′(x)g′(x)=A,即limx→af(x)g(x)=limx→af ′(x)g′(x)=A.

    可以對分子、分母分別求導、極限,從而對未定式的值進行確定,這就是洛必達法則.

    值得注意的是,在解題過程中運用洛必達法則是對分子、分母分別求導,不是對商求導,求導結束后進一步求極限得到最值[5].高中階段的同學已經(jīng)具備接受洛必達法則的能力,如果在實際解題過程中運用洛必達法則,那么將大大提高解題效率.

    使用洛必達法則解題時大致思路如下:

    lim g(a)=lima→1ln12+a21-a2

    =lim121+a-1-2a=lima→111+a-2a-1=-12-2=14.

    通過洛必達法則可以快速得出a在趨近于1的情況下函數(shù)的極限值.

    在解題過程中使用洛必達法則可以在一定程度上降低計算量,增強學生解題信心[6].一些同學并不擅長使用函數(shù)性質、構造函數(shù)、參變分離的方法對導數(shù)恒成立問題進行解答,因此,教師在實際教學過程中可以向學生拓展洛必達法則解答題目,有效彌補了部分學生的解題障礙.

    六、高中階段導數(shù)教學策略

    1.先學后教

    在新課程教育背景下,“分數(shù)至上”的應試教育理論正在逐漸被淘汰,應試教育下老師講學生聽這種模式也在漸漸被替代.先學后教,就是給學生更多的自我思考與學習機會,先學實質上就是學生在課前進行深度的預習,將自我學習過程中不明白的問題記錄下來,帶著問題去上課.這種教學方法是可以實現(xiàn)老師與學生雙贏的一種途徑,既提升了學生的學習效率,也提升了教師的教學效率.對于學生已經(jīng)自我領會的知識點,教師在課堂上不再需要重點解析,而對于學生有異議的知識點,教師需要在課堂上予以重點解答.

    2.與實際生活相結合

    數(shù)學作為一門自然科學與實際生活中的種種現(xiàn)象是密不可分的.實質上,高中數(shù)學中的導數(shù)就是物體的變化率,而物體變化率又涉及高中物理學中的平均速度,借助物理學講解數(shù)學導數(shù)可以構建出更多生動的教學應用場景.除物理學外,在經(jīng)濟學中也涉及許多關于導數(shù)的知識[7].所以說,教師在講解導數(shù)時不要把導數(shù)僅僅看作考試題目、數(shù)學知識,而要盡可能與物理現(xiàn)象、經(jīng)濟現(xiàn)象等貼近生活實際的問題構建聯(lián)系,讓學生學習導數(shù)不再機械化,而是學以致用.

    3.注重培養(yǎng)學生的抽象思維

    在新課程教育背景下,教師需要賦予學生更多探索問題的機會與時間.學生經(jīng)過自主學習掌握了導數(shù)的定義,明確了導數(shù)的實質性問題是對物體瞬時變化率的描述,理解了導數(shù)的思想與意義.教師需要培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解答生活中的問題,培養(yǎng)其抽象思維,這樣不僅使學生進一步鞏固了數(shù)學知識點,也實現(xiàn)了對數(shù)學知識的應用.

    4.強化學生推理論證能力

    導數(shù)恒成立是高中數(shù)學階段重點教學內容,也是高考數(shù)學重點題目.函數(shù)的單調性與導數(shù)恒成立之間有著密切的聯(lián)系.在學習函數(shù)單調性的過程中,教師就可以借助函數(shù)單調性引導學生了解導數(shù)恒成立問題,幫助學生實現(xiàn)深入學習,使學生的推理能力得到提升.學生憑借強大的推理能力可以提升并掌握知識之間的關聯(lián)性能力.

    5.日常重視總結解題規(guī)律

    導數(shù)恒成立是高考重點題目,因此,歷年的高考數(shù)學中導數(shù)相關題目占據(jù)較大的分值,并且導數(shù)恒成立一般會作為解答題,占據(jù)的分值在15—20范圍內.高考題型變幻莫測,很難保證在考試中遇到前所未見的題目,但是千變萬化的題型終究離不開導數(shù)的本質.因此,學生需要注重對導數(shù)本質的理解,同時,在日常學習中注重對導數(shù)題目解題規(guī)律、技巧的總結.當總結一定的規(guī)律、技巧后,再結合導數(shù)的本質,面對任何類型的導數(shù)題目時都會應付自如.

    七、建 議

    對于高中數(shù)學階段解答導數(shù)恒成立相關問題時,本次研究提出以下建議:

    1.學生的課堂地位

    在數(shù)學課堂上,教師需要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維.而要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維,教師在課堂上就不能限制學生的思維,需要賦予學生充分的課堂主體地位,調動學生積極思考,并以探索的方式嘗試用多種方法解答題目.

    2.課后的反省與總結

    在每一次數(shù)學課結束后,學生需要對課堂內容積極地進行反思和總結,不要僅僅拘泥于教師的解題方法與思路,而要在課后總結中發(fā)現(xiàn)一定的創(chuàng)新之處,最終發(fā)掘真正適合自己的方法.

    3.教師引導

    在大學階段,學生需要面臨高等數(shù)學的學習.高中數(shù)學還屬于初等數(shù)學階段,因此,在高中階段學好數(shù)學對于學習高等數(shù)學具有鮮明的指導作用.

    八、結束語

    導數(shù)恒成立問題是數(shù)學學習中一個重要的知識點,在高中數(shù)學教學中是重點教學內容,在高考數(shù)學中占據(jù)較大分值.歷年高考中關于導數(shù)恒成立題目的變化層出不窮,讓許多考生防不勝防,但是,只要學生在學習中抓住了導數(shù)恒成立問題的本質,就可以輕松解答問題.本次研究中對導數(shù)中的恒成立問題進行探索,首先舉例使用函數(shù)性質對導數(shù)恒成立進行解答;使用構造函數(shù)的方式解答導數(shù)恒成立題目;有些導數(shù)當中含有參數(shù)討論,對于這些問題本次研究提出使用離散變量的方式對題目進行解答.除上述方法外,本次研究還提出了洛必達法則,相比其他的解題方法,使用洛必達法則解答導數(shù)恒成立題目可以更加簡便、精確.

    【參考文獻】

    [1]潘榮杰.揭示原有函數(shù)本質特征 助力導數(shù)綜合問題解決[J].數(shù)學通報,2019,58(11):42-45,66.

    [2]舒華瑛.“導數(shù)與函數(shù)”高考題解題策略探析[J].延邊教育學院學報,2019,33(01):128-130,134.

    [3]鄧慧麗.高中導數(shù)應用試題題型的分析與研究[D].西安:西北大學,2018.

    [4]馬曉紅.導數(shù):求參數(shù)的取值范圍的利器[J].科技經(jīng)濟導刊,2016(31):136-137.

    [5]陳小明.恒成立與存在性成立問題在函數(shù)最值中的應用[J].科學咨詢(科技·管理),2015(29):122,124.

    [6]楊潔.新課標中函數(shù)恒成立問題的解法[J].凱里學院學報,2014,32(06):171-173.

    [7]劉移山,夏慎謙.導數(shù)在中學數(shù)學不等式中的應用[J].科技信息,2013(20):351.

    猜你喜歡
    恒成立導數(shù)高中數(shù)學
    解導數(shù)題的幾種構造妙招
    關于導數(shù)解法
    例談高中恒成立問題的解題方法
    全稱與特稱命題參數(shù)取值范圍計算探究
    成才之路(2016年29期)2016-10-31 18:03:54
    高中數(shù)學數(shù)列教學中的策略選取研究
    考試周刊(2016年77期)2016-10-09 10:58:31
    調查分析高中數(shù)學課程算法教學現(xiàn)狀及策略
    考試周刊(2016年76期)2016-10-09 08:54:54
    基于新課程改革的高中數(shù)學課程有效提問研究
    考試周刊(2016年76期)2016-10-09 08:20:33
    數(shù)學歸納法在高中數(shù)學教學中的應用研究
    成才之路(2016年25期)2016-10-08 10:15:46
    導數(shù)在圓錐曲線中的應用
    不等式存在性與任意性問題串教學探討
    欧美成人一区二区免费高清观看| www.av在线官网国产| 99视频精品全部免费 在线| 村上凉子中文字幕在线| 久久久久久国产a免费观看| 日本欧美国产在线视频| 精品久久久噜噜| 欧美日韩综合久久久久久| 国产一区二区在线观看日韩| av在线播放精品| 99热6这里只有精品| 国产激情偷乱视频一区二区| 日韩精品青青久久久久久| 亚洲av成人av| 日韩 亚洲 欧美在线| 日韩大尺度精品在线看网址| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 97超视频在线观看视频| 毛片女人毛片| 国内精品久久久久精免费| 全区人妻精品视频| 国产一区亚洲一区在线观看| 亚洲欧美日韩高清专用| 国产高清三级在线| 伦精品一区二区三区| 九草在线视频观看| 身体一侧抽搐| 此物有八面人人有两片| 亚洲自拍偷在线| 色综合亚洲欧美另类图片| 亚洲国产欧洲综合997久久,| 国产精品三级大全| 免费看美女性在线毛片视频| 一级二级三级毛片免费看| 毛片一级片免费看久久久久| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片| 1024手机看黄色片| 免费看日本二区| 最近手机中文字幕大全| 国产精品美女特级片免费视频播放器| 日韩一区二区三区影片| 成年av动漫网址| 国产 一区 欧美 日韩| 美女被艹到高潮喷水动态| 色5月婷婷丁香| 黄色日韩在线| 欧美精品一区二区大全| 男的添女的下面高潮视频| 少妇人妻一区二区三区视频| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 亚洲精品粉嫩美女一区| 久久精品综合一区二区三区| 成人午夜高清在线视频| 男插女下体视频免费在线播放| 毛片女人毛片| 麻豆乱淫一区二区| 亚洲人成网站在线播| 啦啦啦韩国在线观看视频| 91狼人影院| 99久久九九国产精品国产免费| 在线观看66精品国产| 男女啪啪激烈高潮av片| 欧美日韩精品成人综合77777| 欧美bdsm另类| 97超视频在线观看视频| 免费看美女性在线毛片视频| 亚洲五月天丁香| 一本一本综合久久| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 国产色婷婷99| 日韩国内少妇激情av| 国产一级毛片七仙女欲春2| 只有这里有精品99| 久久久久久久久大av| 亚洲国产欧洲综合997久久,| 搡老妇女老女人老熟妇| 99久国产av精品| 黄色一级大片看看| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 午夜福利视频1000在线观看| 成人午夜精彩视频在线观看| 欧美日韩在线观看h| 69人妻影院| 国产91av在线免费观看| 午夜福利在线观看免费完整高清在 | 九色成人免费人妻av| 乱系列少妇在线播放| 看黄色毛片网站| 亚洲av中文av极速乱| 中国国产av一级| 麻豆av噜噜一区二区三区| 搞女人的毛片| 亚州av有码| 成人av在线播放网站| 国产午夜精品一二区理论片| eeuss影院久久| 国产成人a∨麻豆精品| 亚洲国产精品国产精品| 中文字幕av成人在线电影| 青春草亚洲视频在线观看| 色视频www国产| 国产精品乱码一区二三区的特点| 久久久久久久久大av| 中国美女看黄片| 久久九九热精品免费| 成年免费大片在线观看| 特大巨黑吊av在线直播| 欧美潮喷喷水| 在线国产一区二区在线| 中文亚洲av片在线观看爽| 日本五十路高清| 久久婷婷人人爽人人干人人爱| 五月玫瑰六月丁香| 在线观看美女被高潮喷水网站| 成人性生交大片免费视频hd| 国产精品蜜桃在线观看 | av在线蜜桃| 搡女人真爽免费视频火全软件| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 男女视频在线观看网站免费| 久久人人爽人人片av| 老女人水多毛片| 日本熟妇午夜| 欧美一区二区精品小视频在线| 国产不卡一卡二| 亚洲国产欧美人成| 99久久精品国产国产毛片| 精品人妻一区二区三区麻豆| 日本成人三级电影网站| 亚洲成人精品中文字幕电影| 亚洲av免费在线观看| 两个人视频免费观看高清| 最近2019中文字幕mv第一页| 午夜福利成人在线免费观看| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 国产黄片美女视频| 自拍偷自拍亚洲精品老妇| 美女黄网站色视频| 一区二区三区四区激情视频 | 国内精品美女久久久久久| 搡女人真爽免费视频火全软件| 黄色视频,在线免费观看| 春色校园在线视频观看| 久久精品91蜜桃| 久久久久久久久久久丰满| 看片在线看免费视频| 国产亚洲精品久久久久久毛片| 成人三级黄色视频| av卡一久久| 亚洲久久久久久中文字幕| 又爽又黄无遮挡网站| 一个人看视频在线观看www免费| 亚洲真实伦在线观看| 青春草亚洲视频在线观看| 婷婷色av中文字幕| 一级黄色大片毛片| 亚洲精品粉嫩美女一区| 欧美成人精品欧美一级黄| 成人高潮视频无遮挡免费网站| 黄色一级大片看看| 一级毛片aaaaaa免费看小| 我的老师免费观看完整版| 九九热线精品视视频播放| 啦啦啦啦在线视频资源| 亚洲av二区三区四区| 在线免费观看的www视频| 国产真实乱freesex| 看黄色毛片网站| 亚洲国产精品sss在线观看| 一个人观看的视频www高清免费观看| 晚上一个人看的免费电影| 在线a可以看的网站| 欧美精品国产亚洲| 亚洲一区高清亚洲精品| av.在线天堂| 丰满乱子伦码专区| 亚洲国产精品国产精品| 神马国产精品三级电影在线观看| 亚洲婷婷狠狠爱综合网| 久久这里有精品视频免费| 最好的美女福利视频网| 日本一二三区视频观看| 麻豆成人av视频| 亚洲欧美成人综合另类久久久 | 日韩人妻高清精品专区| 国产高清有码在线观看视频| 啦啦啦观看免费观看视频高清| 日日啪夜夜撸| 性色avwww在线观看| 亚洲丝袜综合中文字幕| 最近手机中文字幕大全| 99久久精品一区二区三区| 亚洲欧美精品专区久久| 禁无遮挡网站| 内射极品少妇av片p| 99久久精品热视频| a级毛色黄片| 国产黄片美女视频| 国产精品爽爽va在线观看网站| 欧美高清性xxxxhd video| 国产免费一级a男人的天堂| a级毛片a级免费在线| 午夜精品国产一区二区电影 | 国产成人精品婷婷| 晚上一个人看的免费电影| 日本-黄色视频高清免费观看| 日韩强制内射视频| 久久人妻av系列| 久久久午夜欧美精品| 91久久精品国产一区二区成人| 亚洲av成人精品一区久久| 神马国产精品三级电影在线观看| 国产亚洲av嫩草精品影院| 亚洲精华国产精华液的使用体验 | 久久久精品大字幕| 国产不卡一卡二| 精品欧美国产一区二区三| 日韩国内少妇激情av| 精品午夜福利在线看| 日本黄色片子视频| 悠悠久久av| 校园人妻丝袜中文字幕| 99久久精品一区二区三区| 午夜a级毛片| 国产美女午夜福利| 国产熟女欧美一区二区| 日本爱情动作片www.在线观看| 丝袜喷水一区| 欧美bdsm另类| 麻豆乱淫一区二区| 麻豆久久精品国产亚洲av| 午夜亚洲福利在线播放| 日韩一区二区视频免费看| 亚洲欧美成人综合另类久久久 | 日韩在线高清观看一区二区三区| 免费不卡的大黄色大毛片视频在线观看 | 伦理电影大哥的女人| АⅤ资源中文在线天堂| 亚洲第一电影网av| 深夜a级毛片| 日韩亚洲欧美综合| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜 | 亚洲精品日韩在线中文字幕 | 精品人妻偷拍中文字幕| 一本久久中文字幕| 国产精品一区二区三区四区免费观看| 综合色av麻豆| 午夜精品一区二区三区免费看| 亚洲国产精品sss在线观看| 精品欧美国产一区二区三| 少妇高潮的动态图| 深爱激情五月婷婷| 少妇的逼水好多| 久久久成人免费电影| 国国产精品蜜臀av免费| 99久久成人亚洲精品观看| 国产精品久久久久久亚洲av鲁大| 午夜精品在线福利| .国产精品久久| 亚洲无线在线观看| 精品久久久噜噜| 少妇人妻一区二区三区视频| 最近的中文字幕免费完整| 黄色配什么色好看| 九九热线精品视视频播放| 国产又黄又爽又无遮挡在线| 久久精品久久久久久噜噜老黄 | 波多野结衣巨乳人妻| 91麻豆精品激情在线观看国产| 国产单亲对白刺激| 波多野结衣高清无吗| 午夜老司机福利剧场| 国产伦理片在线播放av一区 | 国产大屁股一区二区在线视频| 22中文网久久字幕| 亚洲av熟女| 久久久a久久爽久久v久久| 国产真实伦视频高清在线观看| 国产精品嫩草影院av在线观看| 欧美激情久久久久久爽电影| 一级二级三级毛片免费看| 99热这里只有是精品50| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 特大巨黑吊av在线直播| 2021天堂中文幕一二区在线观| 久久九九热精品免费| www.av在线官网国产| 久久久精品94久久精品| 中文字幕久久专区| 91在线精品国自产拍蜜月| 国产精品电影一区二区三区| 亚州av有码| 亚洲av电影不卡..在线观看| 中文欧美无线码| 精品一区二区三区视频在线| 国产成人精品久久久久久| 亚洲高清免费不卡视频| 岛国毛片在线播放| 综合色丁香网| 麻豆成人av视频| 一边亲一边摸免费视频| 国产在线精品亚洲第一网站| 国产精品,欧美在线| 亚洲欧美精品综合久久99| 久久精品人妻少妇| 在线免费十八禁| 成人亚洲欧美一区二区av| 在线观看美女被高潮喷水网站| 中文字幕久久专区| 国产亚洲91精品色在线| 久久久a久久爽久久v久久| 亚洲欧美成人综合另类久久久 | 国产精品乱码一区二三区的特点| 国产精品精品国产色婷婷| 精品国内亚洲2022精品成人| 深夜精品福利| 精品久久久噜噜| 国产私拍福利视频在线观看| 亚洲第一电影网av| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄 | 国产成人a区在线观看| 久久亚洲精品不卡| 亚洲不卡免费看| 亚洲成人中文字幕在线播放| 欧美成人精品欧美一级黄| 日本与韩国留学比较| 最近的中文字幕免费完整| 成人毛片60女人毛片免费| 亚洲精品久久国产高清桃花| 黄色日韩在线| 中国美女看黄片| 国产探花极品一区二区| 少妇裸体淫交视频免费看高清| 精品久久久久久久人妻蜜臀av| 99热只有精品国产| 又爽又黄a免费视频| 日韩成人av中文字幕在线观看| 99久久精品一区二区三区| 欧美精品国产亚洲| 国产精品电影一区二区三区| 亚洲国产欧美人成| 中文字幕av在线有码专区| 国产精品一区二区三区四区久久| 国内精品久久久久精免费| 国产成人91sexporn| 亚洲av电影不卡..在线观看| 亚洲欧洲国产日韩| 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 国产高清激情床上av| 中出人妻视频一区二区| av免费观看日本| 国产亚洲欧美98| 日本五十路高清| 国产真实乱freesex| 身体一侧抽搐| 国产精品一区www在线观看| 国产午夜福利久久久久久| 最后的刺客免费高清国语| 三级男女做爰猛烈吃奶摸视频| 亚洲av熟女| 久久久久国产网址| 丝袜美腿在线中文| 看十八女毛片水多多多| 日日摸夜夜添夜夜爱| 岛国毛片在线播放| 精品久久久久久久末码| 夫妻性生交免费视频一级片| 国模一区二区三区四区视频| 欧美区成人在线视频| 亚洲婷婷狠狠爱综合网| 成人亚洲欧美一区二区av| 97热精品久久久久久| 婷婷亚洲欧美| 一边摸一边抽搐一进一小说| 久久精品91蜜桃| 国内精品宾馆在线| 悠悠久久av| 国产人妻一区二区三区在| 国产精品一区二区性色av| 精品一区二区三区视频在线| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 国产69精品久久久久777片| 蜜臀久久99精品久久宅男| 中文字幕精品亚洲无线码一区| 国产爱豆传媒在线观看| 三级毛片av免费| 亚洲精品乱码久久久久久按摩| 亚洲成人久久爱视频| 午夜福利高清视频| 精品无人区乱码1区二区| 欧美+亚洲+日韩+国产| 国产成人aa在线观看| 日本免费一区二区三区高清不卡| 午夜激情欧美在线| 精品人妻视频免费看| 成人二区视频| 草草在线视频免费看| 亚洲精品乱码久久久v下载方式| 精品国产三级普通话版| 精品久久久久久成人av| 丰满的人妻完整版| 国产在线精品亚洲第一网站| 久久久久久国产a免费观看| 免费一级毛片在线播放高清视频| 久久久久久大精品| 国产伦在线观看视频一区| 亚洲av一区综合| 精品少妇黑人巨大在线播放 | 一卡2卡三卡四卡精品乱码亚洲| eeuss影院久久| 欧美另类亚洲清纯唯美| 丰满的人妻完整版| 中文字幕久久专区| 乱人视频在线观看| 婷婷亚洲欧美| 国产精华一区二区三区| 国产高潮美女av| 乱系列少妇在线播放| 日韩一本色道免费dvd| 午夜激情福利司机影院| 18禁黄网站禁片免费观看直播| 女的被弄到高潮叫床怎么办| 男女做爰动态图高潮gif福利片| 直男gayav资源| 高清日韩中文字幕在线| 啦啦啦观看免费观看视频高清| 亚洲国产欧美人成| 内射极品少妇av片p| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频 | 午夜激情福利司机影院| 18禁黄网站禁片免费观看直播| 亚洲美女搞黄在线观看| 在线免费观看的www视频| 黄色欧美视频在线观看| 看免费成人av毛片| 97热精品久久久久久| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看| 国产精品嫩草影院av在线观看| 国产乱人视频| 在线免费观看不下载黄p国产| 一级黄色大片毛片| 青青草视频在线视频观看| 精品国内亚洲2022精品成人| 精品国产三级普通话版| 观看美女的网站| 久久久欧美国产精品| 哪里可以看免费的av片| 日本在线视频免费播放| 久久精品人妻少妇| 国产精品嫩草影院av在线观看| 在线天堂最新版资源| 欧美在线一区亚洲| av在线亚洲专区| 国产一区二区亚洲精品在线观看| 亚洲在线自拍视频| 91麻豆精品激情在线观看国产| 简卡轻食公司| 成年版毛片免费区| 精品免费久久久久久久清纯| 啦啦啦韩国在线观看视频| 婷婷六月久久综合丁香| 嘟嘟电影网在线观看| 男人舔奶头视频| 如何舔出高潮| 免费电影在线观看免费观看| 国产午夜精品一二区理论片| 日日摸夜夜添夜夜爱| 一区福利在线观看| 亚洲美女搞黄在线观看| 亚洲成人精品中文字幕电影| 午夜爱爱视频在线播放| 国产精品国产高清国产av| 国产精品精品国产色婷婷| 啦啦啦观看免费观看视频高清| 五月玫瑰六月丁香| 成人综合一区亚洲| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 国产单亲对白刺激| 99国产极品粉嫩在线观看| 亚洲国产精品成人久久小说 | 成年女人永久免费观看视频| 十八禁国产超污无遮挡网站| 欧美bdsm另类| 国产成人aa在线观看| 一进一出抽搐gif免费好疼| 美女cb高潮喷水在线观看| 插逼视频在线观看| 国产精品久久久久久av不卡| 国产毛片a区久久久久| 成人午夜高清在线视频| 久久久久国产网址| 91在线精品国自产拍蜜月| 日韩国内少妇激情av| 国产黄色小视频在线观看| kizo精华| 久久久精品94久久精品| 赤兔流量卡办理| 九九热线精品视视频播放| 中文字幕av在线有码专区| 97在线视频观看| a级一级毛片免费在线观看| 亚洲欧洲日产国产| 人人妻人人看人人澡| 国产精品日韩av在线免费观看| 精品国内亚洲2022精品成人| 床上黄色一级片| a级一级毛片免费在线观看| 久久6这里有精品| 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线 | 亚洲欧美日韩高清在线视频| 日本免费a在线| 国产老妇女一区| 少妇熟女欧美另类| 草草在线视频免费看| 国产精品野战在线观看| 卡戴珊不雅视频在线播放| 身体一侧抽搐| 欧美成人免费av一区二区三区| 亚洲18禁久久av| 亚洲无线观看免费| 97热精品久久久久久| 波多野结衣高清无吗| 国产精品永久免费网站| 亚洲国产欧美在线一区| 天天一区二区日本电影三级| 久久久久网色| 免费观看a级毛片全部| 欧美一级a爱片免费观看看| 午夜亚洲福利在线播放| 三级国产精品欧美在线观看| 男人狂女人下面高潮的视频| 欧美精品国产亚洲| 黄色配什么色好看| 人妻少妇偷人精品九色| 日韩中字成人| 中文字幕久久专区| 日韩av在线大香蕉| 日韩一本色道免费dvd| 久久精品国产亚洲av天美| 亚洲国产欧美人成| .国产精品久久| 少妇熟女欧美另类| 色吧在线观看| 国产伦理片在线播放av一区 | 国产白丝娇喘喷水9色精品| 乱系列少妇在线播放| 久久亚洲精品不卡| 日韩欧美在线乱码| 91久久精品国产一区二区成人| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 亚洲欧美精品综合久久99| 亚洲内射少妇av| 久久鲁丝午夜福利片| 国产精品嫩草影院av在线观看| 欧美日韩精品成人综合77777| 欧美潮喷喷水| 卡戴珊不雅视频在线播放| 91午夜精品亚洲一区二区三区| 成年av动漫网址| 国产一区二区激情短视频| 欧美激情久久久久久爽电影| 国产美女午夜福利| 美女国产视频在线观看| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片| 国产av在哪里看| 乱码一卡2卡4卡精品| 欧美性感艳星| 天堂中文最新版在线下载 | 日日啪夜夜撸| 国产色爽女视频免费观看| 日本爱情动作片www.在线观看| 一区二区三区高清视频在线| 亚洲人成网站在线播| 成年女人永久免费观看视频| 日本成人三级电影网站| 国产单亲对白刺激| 有码 亚洲区| 成人亚洲欧美一区二区av| 干丝袜人妻中文字幕| 国产高清视频在线观看网站| 日韩,欧美,国产一区二区三区 | 波多野结衣巨乳人妻| 日韩欧美精品免费久久| 2021天堂中文幕一二区在线观| 天堂网av新在线| av视频在线观看入口| 亚洲精品乱码久久久久久按摩| 亚洲天堂国产精品一区在线| 免费看美女性在线毛片视频| 亚洲欧美精品自产自拍| 女的被弄到高潮叫床怎么办| a级毛片a级免费在线| 免费观看在线日韩| 精品99又大又爽又粗少妇毛片| 久久久久久国产a免费观看| 插逼视频在线观看| 亚洲欧美精品综合久久99| 一级毛片电影观看 | 只有这里有精品99| 国产高清三级在线| 91在线精品国自产拍蜜月| 国产极品精品免费视频能看的| 三级毛片av免费| 最新中文字幕久久久久| 成人一区二区视频在线观看| h日本视频在线播放| 波多野结衣高清无吗| 级片在线观看| av在线天堂中文字幕| 白带黄色成豆腐渣| 亚洲欧美日韩高清专用| 自拍偷自拍亚洲精品老妇| 亚洲av电影不卡..在线观看|