滲透數(shù)學(xué)思想于課堂

姜炅祺 劉君

【摘要】初中是學(xué)生發(fā)展的重要階段，如何將數(shù)學(xué)思想滲透在教學(xué)之中，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題，將所學(xué)知識(shí)內(nèi)化，是每一位教師需要思考的問題.本文從“完全平方公式”這一教學(xué)課例出發(fā)，探討如何在數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想;完全平方公式;教學(xué)方法

一、引 言

所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果.數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過(guò)概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，數(shù)學(xué)思想方法的傳授應(yīng)是每個(gè)數(shù)學(xué)教師重要的授課內(nèi)容之一.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要構(gòu)成之一，只有讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生才能有效地應(yīng)用知識(shí)，并形成能力.

“數(shù)與代數(shù)”在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位，完全平方公式是其中因式分解的一個(gè)重要分支，是整式乘法的重點(diǎn)內(nèi)容，也是初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)分式、一元二次方程、二次函數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ)，應(yīng)用十分廣泛.

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，不同的教師對(duì)于完全平方公式的授課處理方式都有所不同.怎樣讓學(xué)生經(jīng)歷獲得及提煉的過(guò)程，感悟其作為公式的合理性，體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，并在深入理解基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，這是教師教學(xué)研究的重點(diǎn).

二、在新授課程中滲透數(shù)學(xué)思想

（一）幾何直觀思想的滲透

幾何直觀是指憑借圖形的直觀性特點(diǎn)將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，即將抽象思維同形象思維結(jié)合起來(lái)，充分展現(xiàn)問題的本質(zhì)，突破數(shù)學(xué)理解上的難點(diǎn).

在完全平方公式的新授教學(xué)過(guò)程中，很多教師采用幾何直觀的方式將完全平方公式展現(xiàn)給學(xué)生，以此方法引入能使學(xué)生對(duì)于完全平方公式有直觀的了解.

圖2完全平方公式分為兩個(gè)部分：一為和的完全平方公式（如圖1），二為差的完全平方公式（如圖2）.

如圖1，將大正方形的面積以兩種不同的方式表示出來(lái)，從而有：

（a+b）2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.

引導(dǎo)學(xué)生由圖形的總體與部分出發(fā)，得到和的完全平方公式.

如圖2，將小正方形的面積以兩種不同的方式表示出來(lái)，從而有：

（a-b）2=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.

引導(dǎo)學(xué)生由圖形的部分與總體出發(fā)，得到差的完全平方公式.

圖3教師在此部分的教學(xué)運(yùn)用了幾何直觀思想.當(dāng)然，在完全平方公式的綜合應(yīng)用中，也可以運(yùn)用幾何直觀的思想解決.如圖3，外圍由四個(gè)長(zhǎng)為a、寬為b的矩形圍成，那么中間小正方形的邊長(zhǎng)即為（a-b），從而大正方形的面積也有兩種方式表示，聯(lián)立可得：

（a+b）2=（a-b）2+4ab.

教師在課堂上滲透幾何直觀的數(shù)學(xué)思想方法，將完全平方公式這樣的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為直觀上的幾何圖形，幾何直觀的數(shù)學(xué)思想滲透在教學(xué)過(guò)程中，達(dá)到了良好的教學(xué)效果.

誠(chéng)然，光有幾何直觀上的教學(xué)方法是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要回歸本質(zhì).在人教版第十四章的第一節(jié)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)到了整式乘法的一般性質(zhì)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的性質(zhì)得到結(jié)論.

在此方面，不同教師處理的方式也有所不同，也滲透了多種數(shù)學(xué)思想.

（二）從一般到特殊思想的滲透

從一般到特殊思想是指在理論指導(dǎo)下，用已有的規(guī)律解決此類事物中的新問題的過(guò)程.

在完全平方公式這節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中，有的教師從引導(dǎo)學(xué)生回憶多項(xiàng)式的乘法的運(yùn)算法則、運(yùn)算的依據(jù)出發(fā)，讓學(xué)生自行計(jì)算（x+b）（x+d），學(xué)生可以利用公式直接寫出結(jié)果，同時(shí)，學(xué)生在討論時(shí)發(fā)現(xiàn)，這是（a+b）（c+d）在a=c=x時(shí)候的特殊情況.由此出發(fā)，讓學(xué)生再進(jìn)行自由討論：你認(rèn)為在（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd中，還有哪些特殊情形？你能得到什么？教師此時(shí)完全放手讓學(xué)生探究.學(xué)生由于采用方法不同，經(jīng)過(guò)討論可得出的結(jié)論也多種多樣.

在這個(gè)過(guò)程中，教師向?qū)W生滲透了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生在多項(xiàng)式乘法基礎(chǔ)上探究特例，使學(xué)生通過(guò)自己的探究與討論發(fā)現(xiàn)完全平方公式的發(fā)展過(guò)程和內(nèi)在的邏輯線索，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

（三）從特殊到一般思想的滲透

從特殊到一般的思想是指通過(guò)列舉特殊情況來(lái)找到共同點(diǎn)，從而總結(jié)規(guī)律并將規(guī)律推廣到所有情況.

在完全平方公式的教學(xué)中，由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的乘法法則，所以，有些教師在新授課程中直接舉出一些例子，讓學(xué)生自己進(jìn)行計(jì)算，一步步地引導(dǎo)學(xué)生掌握完全平方公式.滲透從特殊到一般的思想，以培養(yǎng)學(xué)生歸納演繹的能力.

教師先引出了一系列的問題：請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算下列各式，從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

①（m+2）2=（m+2）m+2=;

②（2x+3y）2=;

③（m-2）2=.

經(jīng)過(guò)學(xué)生討論后，教師將情況推廣到一般，引導(dǎo)學(xué)生歸納得出運(yùn)算公式，并探討完全平方公式的特征，用語(yǔ)言進(jìn)行描述.

學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法公式前已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，兩個(gè)完全相同的多項(xiàng)式相乘在計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用中較為常見.在此課中，教師先讓學(xué)生自己進(jìn)行兩個(gè)完全相同的多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算，并總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后推廣歸納一般結(jié)論——完全平方公式.學(xué)生真正經(jīng)歷了由特殊到一般的思想過(guò)程，其歸納演繹的能力得到了培養(yǎng).

（四）比較思想的滲透

比較思想是指抓住定義中的相似的特征進(jìn)行比較，有利于學(xué)生進(jìn)行歸納和記憶.

在講解完完全平方公式的課程后需要總結(jié)完全平方公式的特點(diǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、比較公式（a+b）2=a2+2ab+b2與（a-b）2=a2-2ab+b2的關(guān)系，進(jìn)行總結(jié)它們的共同特點(diǎn)：①二次三項(xiàng)式;②首末是平方項(xiàng);③中間項(xiàng)是首末項(xiàng)底數(shù)積的2倍;二者的區(qū)別是前者是兩數(shù)和的平方加上乘積的2倍，后者是兩數(shù)和的平方減去乘積的2倍.教師用語(yǔ)言分析完后還可以框架的形式進(jìn)行總結(jié)，進(jìn)一步突出公式的特征.