基于廣義雙曲分布的滬深300ETF期權(quán)定價實證研究

李旭桐

摘?要：本文利用廣義雙曲分布（Generalized?Hyperbolic，GH）來刻畫滬深300ETF收益率尖峰、偏態(tài)、厚尾的特征，彌補了正態(tài)分布的不足。并利用GARCH過程描述其時變波動率的特征，兩者結(jié)合建立了基于廣義雙曲分布的GARCH模型（GARCH-GH）為滬深300ETF期權(quán)定價。經(jīng)測度轉(zhuǎn)換至等價鞅測度下，用蒙特卡洛方法模擬出樣本路徑來為滬深300ETF歐式看漲期權(quán)定價。結(jié)果顯示，從平均絕對誤差（MAE）、均方誤差（MSE）以及平均絕對百分比誤差（MAPE）三個指標(biāo)來看GARCH-GH模型比AHBS模型、B-S模型的定價誤差更小。

關(guān)鍵詞：廣義雙曲分布?GARCH模型?蒙特卡洛模擬?滬深300ETF期權(quán)

一、引言

2019年12月13日，滬深交易所上市滬深300ETF期權(quán)，其涵蓋更多A股標(biāo)的，完善了多層次市場體系。新期權(quán)的推出是國內(nèi)資本市場供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革的新成果，是全面深化資本市場改革的重要措施，對進一步完善多層次資本市場產(chǎn)品體系，吸引長期資金入市，深化資本市場對外開放非常有利。并且能夠與上證50ETF期權(quán)發(fā)揮協(xié)同作用，使得風(fēng)險管理體系更加完整。新期權(quán)品種的上市標(biāo)志著我國衍生品市場走向更加成熟和完善。同時，期權(quán)定價問題自始至終都是期權(quán)研究領(lǐng)域的關(guān)注重點。通過利用合理有效的理論模型對滬深300ETF期權(quán)進行研究，不僅能夠避免出現(xiàn)盲目投資、投機行為，還可以為監(jiān)管機構(gòu)監(jiān)控市場風(fēng)險提供有效信息。

Black和Scholes（1973）假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動，波動率和無風(fēng)險利率為常數(shù)值，并用無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn)，推導(dǎo)出B-S模型。但是學(xué)者們利用B-S模型進行實證分析時發(fā)現(xiàn)波動率并不滿足常數(shù)這一假設(shè)，而是會出現(xiàn)微笑、偏斜的現(xiàn)象。同時標(biāo)的資產(chǎn)收益率也不符合正態(tài)分布，而是呈現(xiàn)尖峰、偏態(tài)、厚尾的特征。Dupire（1994）假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)收益波動率為資產(chǎn)價格和剩余期限的確定性函數(shù)，放松了波動率為常數(shù)的假設(shè)，并提出確定性波動率函數(shù)（Deterministic?Volatility?Function，DVF）期權(quán)定價模型。在此基礎(chǔ)上，Dumas，F(xiàn)leming和Whaley（1998）將DVF運用到B-S模型中，構(gòu)建了AHBS模型。此外Kim?I.J.和Kim?S.（2004）又對AHBS模型做了改變，他們以期權(quán)的在值程度作為波動率函數(shù)的變量。Duan（1995）用GARCH過程來描述波動率時變的特點，在正態(tài)分布假設(shè)下，來為期權(quán)定價。但是，正態(tài)分布難以捕捉標(biāo)的資產(chǎn)對數(shù)收益率的尖峰、偏態(tài)、厚尾的特征。

Jensen和Lunde（2001）基于正態(tài)逆高斯分布（NIG）建立了期權(quán)定價模型來進行實證分析，且正態(tài)逆高斯分布是廣義雙曲分布（GH）的一個特殊情況。Chorro、Guégan和Ielpo（2012）基于廣義雙曲分布建立了GARCH-GH模型，廣義雙曲分布可以更好地捕捉標(biāo)的資產(chǎn)收益率的特征，并通過CAC40指數(shù)期權(quán)和S&P500指數(shù)期權(quán)進行實證分析。郝夢和杜子平（2017）基于GARCH-GH模型對上證50ETF期權(quán)進行實證研究，結(jié)果表明要比GARCH-Gaussian模型與B-S模型更接近期權(quán)實際價格。楊曉輝和王裕彬（2019）以上證50ETF為標(biāo)的，利用GARCH模型對其進行歷史波動率研究，結(jié)果表明隱含波動率數(shù)值相較于歷史波動率研判結(jié)果更準(zhǔn)確。宮文秀和許作良（2020）在波動率滿足GARCH模型下，建立三叉樹模型，結(jié)果表明基于GARCH模型的三叉樹定價方法是有效的，且計算穩(wěn)定。

本文的主要研究是比較各個模型對滬深300ETF期權(quán)的定價效果。通過文獻整理選擇B-S模型、AHBS模型和GARCH-GH模型作為本文的理論定價模型。其原因是這三個模型對標(biāo)的資產(chǎn)收益率的波動率假設(shè)逐漸放松，且從正態(tài)分布到廣義雙曲分布對標(biāo)的資產(chǎn)收益率特征的捕捉逐漸增強，能夠起到比較好的對比效果。結(jié)果表明，相較于B-S模型與AHBS模型，GARCH-GH模型的結(jié)果更接近其實際價格。

中國證券期貨2021年6月

第2期基于廣義雙曲分布的滬深300ETF期權(quán)定價實證研究

二、定價模型

（一）廣義雙曲分布

廣義雙曲分布因其密度函數(shù)的對數(shù)函數(shù)是雙曲線形狀而得名，并且可以較好地描述標(biāo)的資產(chǎn)收益率呈現(xiàn)出的尖峰、偏態(tài)、厚尾特征。

對于（λ，α，β，δ，μ）∈

5且δ>0，α>β>0，一維廣義雙曲分布GH（λ，α，β，δ，μ）密度函數(shù)（density?function）為

dGH（x，λ，α，β，δ，μ）=（α2-β2/δ）λ2πKλ（δα2-β2）×eβ（x-μ）Kλ-1/2（αδ2+（x-μ）2）（δ2+（x-μ）2/α）1/2-λ（1）

其中，Kλ表示指標(biāo)值為λ的一個修正三階貝塞爾函數(shù)，δ為尺度參數(shù)，μ為位置參數(shù)，α和β分別表示峰度和偏度;當(dāng)λ=-1/2時，為正態(tài)逆高斯分布（NIG），當(dāng)λ=1時，為雙曲線分布（HYP）。廣義雙曲分布的矩生成函數(shù)（moment?generating?function）的具體形式為

GGH（u）=eμuα2-β2α2-（β+u）2λ/2×Kλ[δα2-（β+u）2]Kλ（δα2-β2），β+u<α（2）

并且，該分布族經(jīng)過仿射變換后是穩(wěn)定的，即廣義雙曲分布的各個參數(shù)不因隨機變量x的仿射變化而改變，這一點非常重要，因為在GARCH模型的設(shè)定下，由此可以推導(dǎo)出對數(shù)收益率的條件分布。

（二）GARCH過程

GARCH過程可以捕捉時變波動率的特點，且能很好地刻畫金融市場的收益率序列。Bollerslev（1986）推導(dǎo)出了廣義自回歸條件異方差過程，給出了GARCH（p，q）模型，若εt～GARCH（p，q）則

εt=htzt

ht=α0+α1ε2t-1+…+αqε2t-q+β1ht-1+…+βpht-p（3）

其中，（zt）t∈0，1，…，T是期望為0、方差為1的獨立同分布的隨機變量，各個參數(shù)α0>0，（αi）i∈1，2，…，q≥0，（βj）j∈1，2，…，p≥0，p≥0，q≥0以保證條件方差嚴(yán)格為正，且α1+…+αq+β1+…+βp<1確保平穩(wěn)性。

運用GARCH過程對標(biāo)的資產(chǎn)收益率殘差的方差進行波動率建模，可以更好地描述標(biāo)的資產(chǎn)收益率時間序列的異方差性問題，因此在金融研究領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。本文運用GARCH過程來描述華泰柏瑞滬深300ETF日對數(shù)收益率的波動率。

（三）GARCH-GH模型

標(biāo)的資產(chǎn)收益率存在一定的集聚現(xiàn)象，且其波動率是隨機的并圍繞均值上下波動，所以可以由GARCH過程來描述。

在實際概率測度下，標(biāo)的資產(chǎn)的動態(tài)價格過程為（St）t∈0，1，…，T，則其對數(shù)收益率為

Yt=ln（StSt-1）=r+mt+htztεt，S0=s（4）

其中，r為無風(fēng)險收益率是個常數(shù)，其隨時間變化的超額收益mt取決于恒定的風(fēng)險溢價λ0;在實證研究中mt的形式是固定的，本文保留其經(jīng)典形式mt=λ0ht-12ht。接下來用GARCH過程來描述標(biāo)的資產(chǎn)的方差，建立GARCH-GH模型為

Yt=ln（StSt-1）=r+λ0ht-12ht+htzt，εt=htzt

ht=α0+α1ε2t-1+…+αqε2t-q+β1ht-1+…+βpht-p（5）

所以在實際概率測度下，對于廣義雙曲分布，Yt在給定Ft-1[Et=σ（zu;0≤u≤t）]t∈0，1，…，T是實際概率測度下直到T時刻的信息集）條件下的分布服從

Yt～GH（λ，αht，βht，δht，r+mt+μht）（6）

構(gòu)建GARCH-GH模型后，可以將模型分為均值方程式（4）和方差方程式（3）。對于均值方程其zt～GH（λ，α，β，δ，μ），準(zhǔn)確地知道其密度函數(shù)方程式（1），采用經(jīng)典最大似然估計來得出參數(shù)（λ，α，β，δ，μ），對于方差方程采用擬最大似然估計。

（四）Ad?Hoc?Black-Scholes模型

Ad?Hoc?Black-Scholes模型（AHBS）是在B-S模型的基礎(chǔ)上假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)收益率的波動率為資產(chǎn)價格和剩余期限的確定性函數(shù)，放松了波動率為常數(shù)的假設(shè)，其中，Kim?I.J.和Kim?S.改善了AHBS模型，以期權(quán)的在值程度作為波動率函數(shù)的變量，其波動率函數(shù)形式為

σAHBS=b0+b1（St/K）+b2（St/K）2（7）

其中σAHBS為標(biāo)的資產(chǎn)價格為St、執(zhí)行價格為K的期權(quán)的波動率。本文采用以上函數(shù)形式作為AHBS模型中的確定性波動率函數(shù)（DVF）。

將σAHBS代入至B-S模型的定價公式中，便可以得到AHBS模型歐式看漲期權(quán)的定價公式為

Ct=StN（d1）-Ke-r（T-t）N（d2）

d1=ln（St/K）+（r+σ2AHBS/2）（T-t）σAHBST-t，d2=d1-σAHBST-t（8）

三、定價方法

（一）隨機貼現(xiàn)因子

在等價鞅測度下，期權(quán)價格為標(biāo)的資產(chǎn)的收益貼現(xiàn)到現(xiàn)在的期望值。需要將建立在實際概率測度下的模型，轉(zhuǎn)化到等價鞅測度進行期權(quán)定價。若標(biāo)的資產(chǎn)在T時刻下，給定FT條件下的收益為ΦT，則歐式期權(quán)在t時刻的價格為

Ct=E[ΦTe-r（T-t）Ft]（9）

或者等價于

Ct=E[ΦTMt，TFt]（10）

其中，Mt，T表示在給定FT條件下的隨機貼現(xiàn)因子。一般來講，市場通常是不完全的，因此鞅測度并不唯一。所以可以對隨機貼現(xiàn)因子的形式施加一定程度的約束，選擇一個特定的鞅測度來符合相應(yīng)的經(jīng)濟風(fēng)險標(biāo)準(zhǔn)。這樣一來在唯一的風(fēng)險中性概率測度下，可以使用蒙特卡洛模擬通過方程式（10）來對期權(quán)定價。

本文選取Chorro、Guegan和Ielpo給出的隨機貼現(xiàn)因子Mt，t+1的形式，其為對數(shù)收益率的指數(shù)仿射函數(shù)：

t∈{0，…，T-1}

Mt，t+1=eθt+1Yt+1+ξt+1（11）

其中，Yt+1=ln（St+1/St），并且θt+1，ξt+1是給定Ft條件下的隨機變量。因為廣義雙曲分布是穩(wěn)定的，經(jīng)過仿射變換后各個參數(shù)不因此而改變。

Gt（θt+1）=e-（r+ξt+1）

Gt（θt+1+1）=e-ξt+1（12）

要計算（θt+1，ξt+1），Chorro、Guegan和Ielpo證明在符合式（12）時，存在唯一的風(fēng)險中性概率測度，且同時證明了在基于廣義雙曲分布的GARCH模型下方程式（12）有解。其中Gt為Yt+1的條件矩生成函數(shù)，由方程式（2）可推導(dǎo)出在方程式（5）條件下Yt的條件矩生成函數(shù)：

GYtFt-1（u）=e（μht+r+mt）u（α2-β2α2-（β+uht）2）λ/2×Kλ（δα2-（β+uht）2）Kλ（δα2-β2）（13）

則由方程式（12）得出的解為（θqt+1，ξqt+1），所以隨機貼現(xiàn)因子為Mt，t+1=eθ?q?t+1Yt+1+ξqt+1，由此就可以得到在等價鞅測度下的對數(shù)收益率分布。

（二）測度轉(zhuǎn)換

經(jīng)隨機貼現(xiàn)因子貼現(xiàn)后，可將實際概率測度轉(zhuǎn)化為等價鞅測度。在等價鞅測度下，對于廣義雙曲分布，Yt在給定Ft-1條件下的分布服從：

Yt～GH（λ，αht，βht+θqt，δht，r+mt+μht）（14）

則由方程式（5）可得zt～GH（λ，α，β+htθqt，δ，μ）。在測度轉(zhuǎn)換過程中，因為廣義雙曲分布是穩(wěn)定的，所以可以通過蒙特卡洛模擬的方法來估計滬深300ETF期權(quán)的價格。

四、實證分析

（一）蒙特卡洛模擬步驟設(shè)計

GARCH-GH模型構(gòu)建完成后，運用蒙特卡洛模擬的方法來模擬標(biāo)的資產(chǎn)的樣本路徑為期權(quán)定價，具體步驟如下。

①選擇華泰柏瑞滬深300ETF日收盤價并以此計算日對數(shù)收益率。

②以步驟①計算的收益率作為樣本，來估計方程式（5）中均值方程和方差方程中的參數(shù)。在估計過程中也會產(chǎn)生t+1時刻的條件方差，即ht+1。

③在等價鞅測度下，從t時刻的下一期t+1開始模擬樣本路徑。

i從步驟②產(chǎn)生的條件方差ht+1開始;

ii通過式（12）求解（θqt+1，ξqt+1）;

iii產(chǎn)生服從GH（λ，α，β+ht+1θqt+1，δ，μ）分布的zt+1;

iv由方程式（5）計算出對數(shù)收益率Yt+1與t+2時刻的條件方差ht+2;

v返回至步驟i，用t+1代替t，直到t=T-1，T是期權(quán)的到期日。

在等價鞅測度下，模擬出標(biāo)的資產(chǎn)收益率路徑（Yk）k∈t+1，t+2，…，T，在T時刻標(biāo)的資產(chǎn)價格為ST=St∏Tk=t+1eYk。

④最終，模擬出N條標(biāo)的資產(chǎn)收益率路徑來計算T時刻標(biāo)的資產(chǎn)價格。ST，i表示第i條樣本路徑下T時刻標(biāo)的資產(chǎn)價格，然后用蒙特卡洛模擬的方法，用N條樣本路徑的均值作為估計的執(zhí)行價格為K的歐式看漲期權(quán)價格：

C^（t，T，K）=e-r（T-t）1N∑Ni=1max{ST，i-K}+（15）

（二）數(shù)據(jù)選取與描述性統(tǒng)計分析

本文將上海證券交易所交易的滬深300ETF歐式看漲期權(quán)（以華泰柏瑞滬深300ETF為標(biāo)的）作為實證研究對象。本文首先選取華泰柏瑞滬深300ETF自2012年5月28日上市以來至2020年10月29日的每日收盤價數(shù)據(jù)，并由此計算每日對數(shù)收益率，然后進行統(tǒng)計性描述，數(shù)據(jù)來源于Wind金融終端。滬深300ETF對數(shù)收益率波動情況如圖1所示。

從圖1得知，標(biāo)的資產(chǎn)華泰柏瑞滬深300ETF的對數(shù)收益率序列存在集聚現(xiàn)象，選取GARCH（1，1）過程來對波動率建模，它的實際應(yīng)用是GARCH眾多模型中最普遍的，可以準(zhǔn)確捕捉標(biāo)的資產(chǎn)時變波動率的特征。華泰柏瑞滬深300ETF的對數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計如表1所示。

從表1得知，標(biāo)的資產(chǎn)收益率同時出現(xiàn)偏態(tài)、尖峰、厚尾等特征，而且JB統(tǒng)計量過大。這些情況表明該標(biāo)的資產(chǎn)對數(shù)收益率序列顯著拒絕服從正態(tài)分布，正態(tài)分布并不足以描述其特征，所以需要尋找更符合數(shù)據(jù)特征的分布，而廣義雙曲分布的優(yōu)勢就會就此凸顯出來。不同分布下對標(biāo)的資產(chǎn)對數(shù)收益率的擬合如圖2所示。

如圖2所示，分別用樣本經(jīng)驗分布、廣義雙曲分布、正態(tài)分布對華泰柏瑞滬深300ETF日對數(shù)收益率進行擬合，可以直接觀察到，正態(tài)分布對于華泰柏瑞滬深300ETF樣本的擬合較差，難以符合標(biāo)的資產(chǎn)收益率尖峰、偏態(tài)、厚尾的特征，而廣義雙曲分布的擬合曲線近似于樣本經(jīng)驗分布，其表現(xiàn)較為良好，可以捕捉標(biāo)的資產(chǎn)收益率的各種特征。

（三）實證結(jié)果

為了對滬深300ETF期權(quán)進行定價，本文對比B-S模型、AHBS模型、GARCH（1，1）-GH模型的定價效果，首先要估計各個模型的參數(shù)，各模型的參數(shù)估計如表2所示。

模型參數(shù)估計

B-Sσ=0.25627

AHBSb0=-0.17463?b1=0.55581?b2=-0.17463

模型參數(shù)估計

GARCH（1，1）-GH

GH分布λ=0.71877?α=0.41049?β=0.03829?δ=0.99853?μ=-0.04257

GARCH（1，1）模型λ0=0.01873?α0=0.02085?α1=0.06726?β1=0.92484

期權(quán)樣本選取上海證券交易所交易的滬深300ETF期權(quán)（以華泰柏瑞滬深300ETF為標(biāo)的）2020年11月到期（距到期期限T-t=27天）、2020年12月到期（距到期期限T-t=55天）、2021年3月到期（距到期期限T-t=146天）、2021年6月到期（距到期期限T-t=237天）的歐式看漲期權(quán)來進行定價分析，比較不同模型的定價效果，數(shù)據(jù)來源于Wind金融終端，t時刻為2020年10月29日。無風(fēng)險利率設(shè)定為當(dāng)日一年期國債即期利率，且已將無風(fēng)險利率轉(zhuǎn)化為連續(xù)復(fù)利形式，數(shù)據(jù)來源于中國債券信息網(wǎng)。

接下來本文將把樣本滬深300ETF歐式看漲期權(quán)數(shù)據(jù)按照在值程度大小劃分為≤0.95，0.95～1.01，1.01～1.07，1.07～1.13，>1.13五檔，其中區(qū)間為左開右閉形式。期權(quán)的在值程度是指標(biāo)的資產(chǎn)價格與期權(quán)執(zhí)行價格的比值，即S/K。其中S為標(biāo)的資產(chǎn)價格，K為期權(quán)執(zhí)行價格。一般看漲期權(quán)可根據(jù)在值程度>1，=1，<1分為實值期權(quán)、平值期權(quán)與虛值期權(quán)。

并同時選取三個指標(biāo)：平均絕對誤差（MAE）、均方誤差（MSE）以及平均絕對百分比誤差（MAPE），來對樣本進行更為細(xì)致的比較，這三個指標(biāo)的計算公式如下所示：

MAE=1N∑Ni=1Ci-C^i，MSE=1N∑Ni=1（Ci-C^i）2，MAPE=1N∑Ni=1Ci-C^iCi（16）

其中，Ci為第i個執(zhí)行價格的滬深300ETF期權(quán)的實際價格，C^i為在GARCH-GH模型、AHBS模型、B-S模型估計下的理論價格。如表3所示，分別給出了各個模型為不同在值程度的期權(quán)定價的MAE、MSE、MAPE誤差結(jié)果。

從橫向角度來看，結(jié)合MAPE指標(biāo)可以觀察到，隨著在值程度的增大，GARCH-GH模型的誤差越來越小，效果越來越穩(wěn)定。而另外兩個模型的擬合效果則會出現(xiàn)一定程度的波動。

從縱向角度來看，當(dāng)在值程度介于0.95～1.01與1.01～1.07時，三個指標(biāo)都表明，其結(jié)果表現(xiàn)最好的是AHBS模型，其次才是GARCH-GH模型，在值程度接近1的期權(quán)稱為平值期權(quán)，其特點是，它們的行權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)天收盤價接近。結(jié)果說明GARCH-GH模型在對于平值期權(quán)的定價效果較差，其擬合誤差較大。當(dāng)在值程度處于其他區(qū)間時，從三個指標(biāo)來看，GARCH-GH模型的表現(xiàn)最為優(yōu)秀，其次為AHBS模型。

最后對于全樣本的擬合效果，從MAE、MSE、MAPE三個指標(biāo)來看，都表明GARCH-GH模型擬合的總體誤差最小，效果最優(yōu)，其次是AHBS模型與B-S模型。

接下來為了更加直觀地展現(xiàn)各個模型對不同到期期限的滬深300ETF期權(quán)所定出的期權(quán)價值C與執(zhí)行價格K之間的關(guān)系，把GARCH-GH模型、AHBS模型、B-S模型的定價結(jié)果與滬深300ETF期權(quán)實際市場價格進行對比。結(jié)果如圖3所示。

從各個模型得出的定價結(jié)果來看，滬深300ETF期權(quán)的實際市場價格與GARCH-GH模型的結(jié)果最為貼近，其相差的距離最小，且隨著期權(quán)在值程度的增加，GARCH-GH模型的優(yōu)勢更加明顯。所以GARCH-GH模型相比于AHBS模型、B-S模型更接近滬深300ETF期權(quán)的實際市場價格。

五、結(jié)論

期權(quán)定價一直是期權(quán)研究領(lǐng)域的熱點，首先本文通過文獻梳理，選擇了B-S模型、AHBS模型以及GARCH-GH模型作為文章的理論模型。這三個模型對標(biāo)的資產(chǎn)的波動率假設(shè)逐漸放寬，且從正態(tài)分布到廣義雙曲分布對標(biāo)的資產(chǎn)收益率特征的捕捉逐漸增強，能起到較好的對比效果。

接下來本文選用廣義雙曲分布來捕捉滬深300ETF收益率尖峰、偏態(tài)、厚尾的特點，結(jié)合GARCH過程描述其時變波動的特征，建立GARCH-GH模型為滬深300ETF期權(quán)定價。在等價鞅測度下，利用蒙特卡洛方法模擬出樣本路徑來估計滬深300ETF歐式看漲期權(quán)價格。通過對滬深300ETF期權(quán)的定價研究，本文希望能夠找到較為準(zhǔn)確的定價理論模型，從而為投資者制定投資策略以及為監(jiān)管者監(jiān)督市場風(fēng)險提供價格指標(biāo)。

經(jīng)過實證研究，選取四種不同到期期限的滬深300ETF歐式看漲期權(quán)作為樣本，結(jié)果表明，三個模型對實值期權(quán)、平值期權(quán)以及虛值期權(quán)的擬合效果都比較好，但是GARCH-GH模型的效果最優(yōu)，而B-S模型效果最差。此外GARCH-GH模型對平值期權(quán)的定價效果較差，對于這類期權(quán)，AHBS模型的表現(xiàn)最好?？傮w來看，GARCH-GH模型相比于AHBS模型、B-S模型，得到的結(jié)果更接近于滬深300ETF期權(quán)的實際價格。

同時，本文只是使用對波動率與正態(tài)性假設(shè)進行了改進的定價模型來對滬深300ETF期權(quán)進行研究。在未來的研究重點是，還可以將標(biāo)的資產(chǎn)收益率中的跳躍情況考慮進期權(quán)定價模型，或是用Lévy過程描述資產(chǎn)價格運動的模型來進行更深入的研究。

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