問(wèn)題驅(qū)動(dòng)， 破解難點(diǎn)

張薇

【摘要】對(duì)高中階段的數(shù)學(xué)解題教學(xué)環(huán)節(jié)，教師不僅要注重學(xué)生對(duì)解題方法的掌握，更要重視學(xué)生的解題策略與解題能力的變化，構(gòu)建集內(nèi)驅(qū)力、思維力于一體的數(shù)學(xué)解題教育模式，幫助學(xué)生在問(wèn)題中收集信息，以最短的時(shí)間規(guī)劃解題思路.本文對(duì)如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力進(jìn)行探析.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);運(yùn)算能力;運(yùn)算策略

運(yùn)算指的是利用相關(guān)數(shù)學(xué)信息與數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解答的過(guò)程.大部分教師將運(yùn)算定義為一個(gè)求解的數(shù)學(xué)流程，認(rèn)為運(yùn)算活動(dòng)只包含學(xué)生數(shù)學(xué)技能的綜合表達(dá)，對(duì)于運(yùn)算活動(dòng)的重視遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.在教學(xué)中，教師要圍繞學(xué)生的“內(nèi)驅(qū)力”開(kāi)展計(jì)算教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生形成主動(dòng)計(jì)算的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，才能為學(xué)生運(yùn)算能力的發(fā)展提供進(jìn)一步的支持.

一、應(yīng)用法則講計(jì)算，開(kāi)展計(jì)算練習(xí)

計(jì)算法則是圍繞不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題演化而來(lái)的計(jì)算原則.在計(jì)算法則的推動(dòng)下，學(xué)生能夠以專業(yè)、客觀的視角對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析，進(jìn)而從數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本元素入手，對(duì)繁雜的數(shù)學(xué)計(jì)算進(jìn)行化簡(jiǎn).在高中數(shù)學(xué)解題指導(dǎo)活動(dòng)中，要想全面提升學(xué)生的運(yùn)算能力，使其又快又準(zhǔn)地完成計(jì)算任務(wù)，教師就必須做好數(shù)學(xué)法則的應(yīng)用工作.基礎(chǔ)計(jì)算法則是調(diào)動(dòng)學(xué)生的計(jì)算內(nèi)驅(qū)力的重要手段，更是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的沃土.在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題、思考的過(guò)程中，教師必須強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)法則在計(jì)算教學(xué)環(huán)節(jié)中的應(yīng)用，夯實(shí)基礎(chǔ)，才能更有效地提升學(xué)生的計(jì)算效率.

在蘇教版數(shù)學(xué)“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（一）”這部分內(nèi)容的教學(xué)中，四組公式的記憶對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，教師切不可只呈現(xiàn)公式讓學(xué)生死記硬背.教師可以設(shè)計(jì)如下問(wèn)題：（1）與角α終邊相同的角的位置有哪些情況？（2）對(duì)應(yīng)的角如何表示？（3）所求的三角函數(shù)值有何關(guān)系？為什么？通過(guò)討論，學(xué)生對(duì)角之間的關(guān)系有了更深刻的理解，會(huì)從以下幾個(gè)方面考慮三角函數(shù)值的關(guān)系：三角函數(shù)的定義或者三角函數(shù)線.在學(xué)生推導(dǎo)出四組公式后，教師可以追問(wèn)：這四組公式能否由其中的三組推導(dǎo)出另外一組？從而在推導(dǎo)活動(dòng)中加深學(xué)生對(duì)公式的理解.

對(duì)一些記憶困難的學(xué)生，教師可以再追問(wèn)：這四組公式是對(duì)任意角α都成立的，我們?cè)撊绾斡洃浰鼈兡?？因?yàn)閷W(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)值比較熟悉，所以我們可以用特殊角來(lái)記憶：假設(shè)α為銳角，正負(fù)號(hào)取決于對(duì)應(yīng)角的象限以及三角函數(shù)值在該象限的正負(fù)號(hào).就這樣，教師通過(guò)追問(wèn)加深了學(xué)生的記憶與理解.

再以蘇教版教材中“兩角和差的正余弦”的新授課為例，當(dāng)“sin”“cos”等概念同時(shí)出現(xiàn)在解題活動(dòng)中時(shí)，學(xué)生的解題思路無(wú)法向所學(xué)知識(shí)靠攏，解題效率就會(huì)隨之下降.以下列數(shù)學(xué)問(wèn)題為例：求sin 25°cos 35°+cos 55°sin? 65°的值.部分學(xué)生在解題時(shí)一籌莫展，因?yàn)槠鋵?duì)三角函數(shù)的理解停留在“sin? 60°”“cos 60°”等基礎(chǔ)概念當(dāng)中，面對(duì)公式中不曾提及的數(shù)值，學(xué)生很難進(jìn)行高效計(jì)算.教師可通過(guò)以下幾個(gè)問(wèn)題對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)：（1）這個(gè)式子從形式上與哪個(gè)公式比較相似？（2）區(qū)別在哪里？（3）難點(diǎn)是什么？能不能轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的問(wèn)題？通過(guò)這幾個(gè)問(wèn)題，學(xué)生會(huì)向已學(xué)的內(nèi)容靠攏，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理：sin? 25°cos 35°+cos 55°sin? 65°可轉(zhuǎn)化為sin? 25°cos 35°+cos 25°sin? 35°，利用兩角和差的正余弦公式進(jìn)行計(jì)算，可將其轉(zhuǎn)化為“sin? 60°”，此時(shí)，問(wèn)題的答案便呼之欲出了.在解題的過(guò)程中，教師應(yīng)重視學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的運(yùn)用，合理應(yīng)用兩角和差公式，才能幫助學(xué)生快速解決相關(guān)問(wèn)題.

對(duì)于部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題，雖然題目表述較為復(fù)雜，但教師如果在進(jìn)行計(jì)算指導(dǎo)活動(dòng)的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生嘗試對(duì)基礎(chǔ)定理、運(yùn)算法則進(jìn)行合理應(yīng)用，追根溯源，后續(xù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算質(zhì)量便能得到一定的保障，學(xué)生的整體運(yùn)算能力也會(huì)隨之提升.

二、圍繞方法求結(jié)果，規(guī)劃解題思路

數(shù)學(xué)問(wèn)題從不同的角度考查著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度.在圍繞有關(guān)問(wèn)題開(kāi)展教學(xué)指導(dǎo)活動(dòng)的過(guò)程中，教師必須對(duì)學(xué)生的解題方法與解題思路進(jìn)行指導(dǎo)，構(gòu)建高效化、便捷化、多元化的教學(xué)模式，利用全新的解題結(jié)構(gòu)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.面對(duì)相對(duì)復(fù)雜的計(jì)算，學(xué)生如果只通過(guò)大量的計(jì)算推導(dǎo)數(shù)學(xué)結(jié)果，而不去思考如何去優(yōu)化計(jì)算，那么學(xué)生的計(jì)算內(nèi)驅(qū)力就會(huì)被復(fù)雜的計(jì)算要求所壓制，從而導(dǎo)致整體的解題效率降低.

教師可圍繞有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)學(xué)生的解題方法進(jìn)行指導(dǎo)，幫助學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)探究活動(dòng)等重新規(guī)劃解題思路.

例如，求函數(shù)y=x-1x2的值域的解題過(guò)程中，學(xué)生的普遍思路為：

令t=x-1，則y=t（t+1）2=tt2+2t+1=0，t=0，1t+1t+2，t≠0，

當(dāng)t>0時(shí)，0

教師可以追問(wèn)：從形式上看，可以轉(zhuǎn)化為我們學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)嗎？

學(xué)生想到：令t=1x，則y=t-t2（t≠0），此時(shí)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域問(wèn)題.

很明顯第二種方法更簡(jiǎn)捷，但是由于思維慣性和缺乏觀察，學(xué)生首選的方法為第一種.對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，當(dāng)其解題經(jīng)驗(yàn)十分豐富，已經(jīng)獲得了一定的解題經(jīng)驗(yàn)與解題方法時(shí)，教師可要求學(xué)生對(duì)自身的解題技能進(jìn)行重新整理，利用已掌握的數(shù)學(xué)方法求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，完成解題互動(dòng).

換元是高中解題教學(xué)活動(dòng)中較為常見(jiàn)的一種解題方式，合理應(yīng)用換元法，能夠幫助學(xué)生將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單一的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并依靠新構(gòu)建的“元”來(lái)提升解題效率.但在換元的過(guò)程中，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)關(guān)鍵信息遺漏、解題要求遺漏等問(wèn)題.對(duì)此，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生的有關(guān)解題短板投入相應(yīng)的重視，依靠對(duì)換元法的合理應(yīng)用，挖掘?qū)W生的解題內(nèi)驅(qū)力，使其在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中得到更高的成就感，進(jìn)而提升解題效率.

在利用換元法解題的過(guò)程中，學(xué)生必須遵循以下原則：1.題干要求不得遺漏;2.題目信息不得遺漏;3.換元之后必須重新書(shū)寫(xiě)題目中的被換元部分，避免解題錯(cuò)誤.強(qiáng)調(diào)換元準(zhǔn)則，才能提高換元計(jì)算的精確性.以蘇教版數(shù)學(xué)教材中函數(shù)問(wèn)題的有關(guān)求解為例，在這一單元的例題中，復(fù)雜的題干與值域相關(guān)問(wèn)題同時(shí)出現(xiàn)，使學(xué)生的解題思路極易被擾亂.以下列問(wèn)題為例：已知函數(shù)f（x）=3x-13x+1，是否存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域?yàn)閗3m，k3n？若存在，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.該問(wèn)題可以等價(jià)為方程3x-13x+1=k3x有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.但是學(xué)生的視線很容易被指數(shù)干擾，對(duì)此，教師可以用以下問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生：（1）這個(gè)形式比較復(fù)雜，如何轉(zhuǎn)化為我們熟悉的較為簡(jiǎn)單的方程？（2）該方程有何特點(diǎn)？依靠換元，轉(zhuǎn)化為方程t-1t+1=kt，即t2-（k+1）t-k=0在t∈（0，+∞）上有兩個(gè)不等實(shí)根，整體的解題效率更加高效.本題的難點(diǎn)在于問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)換.