“量綱”在小學(xué)數(shù)學(xué)深度教學(xué)中的應(yīng)用

【摘要】本文借鑒物理中“量綱”分析和“量綱”運(yùn)算的基本思路，論述在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用“量綱”分析數(shù)學(xué)單位、乘法分配律和分?jǐn)?shù)運(yùn)算的本質(zhì)內(nèi)涵和內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)這種理解方式拓展延伸對應(yīng)的解題方法，加深學(xué)生對相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解，提升學(xué)生靈活使用已學(xué)知識(shí)、探索創(chuàng)新解題思路的能力。

【關(guān)鍵詞】量綱 單位 乘法分配律 分?jǐn)?shù)運(yùn)算

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）21-0114-02

在物理學(xué)中，“量綱”是物理量的基本屬性，是在量值中用基本量的冪積表示數(shù)值系數(shù)為1的量的表達(dá)式。對固定的單位制，每個(gè)基本量均定義了一個(gè)基本單位，這就是我們常用的“單位”。無論是在數(shù)學(xué)還是物理學(xué)科中，“統(tǒng)一度量”是所有計(jì)算的前提條件，而“量綱”運(yùn)算是將這種統(tǒng)一的度量單位提取出來，單獨(dú)進(jìn)行分析和運(yùn)算，以便對各種量之間內(nèi)在關(guān)系進(jìn)行研究。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中巧妙運(yùn)用這種思路，不僅可以幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)單位、乘法分配律、分?jǐn)?shù)運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)加深理解，而且能夠在復(fù)雜的綜合運(yùn)算中舉一反三，推導(dǎo)新的簡便算法。

一、利用“量綱”加深對數(shù)學(xué)單位的理解

只有相同單位的數(shù)字才能相加減，不同單位的數(shù)字只能相乘除。如果學(xué)生不明白其中的原理，在遇到復(fù)雜的問題時(shí)就容易出錯(cuò)，而且哪些單位之間能夠用乘除，哪些單位不能直接乘除，很容易讓人無所適從。但如果借鑒“量綱”分析的思路，將數(shù)字和單位分開來思考或計(jì)算，那么可以讓學(xué)生更深入、更系統(tǒng)地了解單位的實(shí)際意義。

首先來看帶單位的加減法。比如“5米+8米”，5米的實(shí)際意義是5×1米，表示的是5個(gè)1米合起來的長度，所以“5米+8米”就是5個(gè)1米加上8個(gè)1米，一共是13個(gè)1米。但是如果是5米+8元，即為5個(gè)1米加上8個(gè)1元，“米”和“元”之和沒有對應(yīng)的量綱單位，也沒有實(shí)際物理意義，因此，不同單位的數(shù)量不能直接進(jìn)行加減法運(yùn)算。

接著看帶單位的乘除法。使用“量綱”的方法對小學(xué)數(shù)學(xué)帶單位的乘除法進(jìn)行分析，不同的單位能否直接相乘除，主要分為兩種情況：一種是無量綱單位，可以和其他任意單位相乘，比如倍數(shù)，4元的5倍，即4元×5=4×1元×5=20×1元=20元;另一種是與空間和時(shí)間有關(guān)的單位，乘除法對應(yīng)著維度的升降，比如面積計(jì)算公式是從一維空間升到二維空間，其單位變化為：3（米）×3（米）=3×3（米×米）=9（平方米），還有速度計(jì)算公式是時(shí)間維度的變化，其單位變化為：4（米）[÷]2（秒）=4[÷2]（米[÷]秒）=2（米/秒）。

可見，在量綱運(yùn)算中，各基本量和導(dǎo)出量可以隨意進(jìn)行乘除運(yùn)算，只有計(jì)算結(jié)果具有實(shí)際物理意義時(shí)，此量綱運(yùn)算才有意義。

二、利用“量綱”加深對單位換算進(jìn)率的理解

在單位換算進(jìn)率的教學(xué)中，基本單位（如長度、時(shí)間）的進(jìn)率換算一般比較容易掌握，但是對復(fù)合單位（如面積、體積、速度）的進(jìn)率換算卻比較容易出錯(cuò)，主要原因在于學(xué)生僅僅記住了常用的進(jìn)率，沒有真正理解這些復(fù)合單位的來歷和含義。以面積單位換算進(jìn)率為例，首先要理解面積單位平方米的實(shí)際含義是邊長為1米的正方形的面積，即1平方米=1米×1米，且已知長度單位換算進(jìn)率：1米=10分米，按照“量綱運(yùn)算”的思路可得：1平方米=1米×1米=10分米×10分米=100平方分米;同理可得：1平方米=1米×1米=100厘米×100厘米=10000平方厘米。由此，當(dāng)遇到新的復(fù)合單位換算時(shí)，如市制面積單位平方尺，可由1米=3尺進(jìn)行推導(dǎo)：1平方米=1米×1米=3尺×3尺=9平方尺。

再來看體積單位換算，1立方米的實(shí)際含義是邊長為1米的立方體的體積，即1立方米=1米×1米×1米，按照“量綱運(yùn)算”的思路可得：1立方米=1米×1米×1米=10分米×10分米×10分米=1000立方分米;同理：1立方分米=1000立方厘米，再根據(jù)升和毫升的定義可知：1升=1立方分米=1000立方厘米=1000毫升。

在速度單位換算中也可照此思路進(jìn)行推導(dǎo)，已知：1千米=1000米，1小時(shí)=60分=60×60秒=3600秒，按照“量綱運(yùn)算”的思路可得：1千米/時(shí)=1千米[÷]1小時(shí)=1000米/3600秒=5/18（米/秒），反之：1（米/秒）=18/5（千米/時(shí)）=3.6（千米/時(shí)）。

借助“量綱”運(yùn)算的思路，不僅可以讓學(xué)生深入理解復(fù)合單位的意義，還能夠自主推導(dǎo)出新的復(fù)合單位的換算進(jìn)率。

三、利用“量綱”加深對乘法分配律的理解

乘法分配律是小學(xué)階段乘法三大定律中最復(fù)雜、最重要的一個(gè)定律，它可以使很多復(fù)雜的混合運(yùn)算變得更加簡便，但很多學(xué)生只會(huì)背記乘法分配律公式，沒有深入理解公式內(nèi)部機(jī)制和原理，也無法靈活巧妙地加以應(yīng)用。

對此，可以借用“量綱”的思想，按照統(tǒng)一度量的要求，將一個(gè)固定的共有量假想為一個(gè)基本單位，以“量綱”的方式進(jìn)行運(yùn)算，可以更加直觀地理解乘法分配律。例如：“小明買了6支水性筆，單價(jià)為3元/支，又買了4本練習(xí)本，單價(jià)為3元/本，問一共花了多少錢？”題中水性筆和練習(xí)本的單價(jià)都是3元，教師可以將3元這個(gè)公共量看成一個(gè)基本單位，購買水性筆花了6個(gè)3元、購買練習(xí)本花了4個(gè)3元，所以一共花了6+4個(gè)3元，列算式為：6×3元+4×3元=（6+4）×3元。

按照這樣的理解方式進(jìn)行下一步拓展，如：7×8-8，將8看成一個(gè)基本單位，原題可理解為7個(gè)8減去1個(gè)8，就是（7-1）個(gè)8，因此，7×8-8=（7-1）×8。又如：5×9+8×9+7×9，將9當(dāng)成一個(gè)基本單位，原題可以理解為5個(gè)9加上8個(gè)9，再加上7個(gè)9，一共是（5+8+7）個(gè)9，因此，5×9+8×9+7×9=（5+8+7）×9;還可以再進(jìn)行拓展：在13×16+14×32-16中，32可分解為2×16，將16作為一個(gè)整體，原題可以理解為13個(gè)16加上14×2個(gè)16，再減去1個(gè)16，可得：13×16+14×32-16=（13+14×2-1）×16=40×16。

從以上幾個(gè)例子可以看出，無論什么題型，只要找出各項(xiàng)包含的共有項(xiàng)，就可以將其看成基本單位，從而簡化計(jì)算。通過這種方式，學(xué)生對乘法分配律產(chǎn)生深入的理解和深刻的記憶，并且在后續(xù)的學(xué)習(xí)中融會(huì)貫通，探索更多巧妙的應(yīng)用。

四、利用“量綱”加深對分?jǐn)?shù)運(yùn)算的理解

分?jǐn)?shù)運(yùn)算是小學(xué)階段必須掌握的重要知識(shí)之一，但由于分?jǐn)?shù)的實(shí)際意義和表現(xiàn)形式與前期所學(xué)的整數(shù)差別較大，導(dǎo)致很多學(xué)生在分?jǐn)?shù)理解和分?jǐn)?shù)運(yùn)算方面存在很多誤區(qū)和障礙，非常容易出錯(cuò)。借鑒“量綱”運(yùn)算的思想，教師可以將分?jǐn)?shù)運(yùn)算中不容易理解的分?jǐn)?shù)部分當(dāng)作基本單位，單獨(dú)進(jìn)行計(jì)算，不僅可以加深學(xué)生對分?jǐn)?shù)運(yùn)算規(guī)律的理解和掌握，還可以在很多地方實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的簡便運(yùn)算。

首先，利用“量綱”分析同分母分?jǐn)?shù)的基本運(yùn)算。例如：[37+27]可以將[17]看成基本單位，[37=3×17]即3個(gè)[17]，[27]就是2個(gè)[17]，于是有：[37+27]=[3×17+2×17]=（3+2）[×17]=[57]。而對異分母分?jǐn)?shù)的加減法，也可以通過“量綱”分析的思路進(jìn)行深度理解，例如[35+23]，異分母分?jǐn)?shù)運(yùn)算中一般沒有直接的共同項(xiàng)，不能直接提取基本單位，但是通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：[35=3×15=3×3×115]，[23=2×13=2×5×115]，此時(shí)兩個(gè)分?jǐn)?shù)有共同的分?jǐn)?shù)項(xiàng)[115]，將其看成基本單位，則原式可轉(zhuǎn)化為（[3×3+2×5]）個(gè)[115]相加，即[35+23]=（3[×3+2×5]）[×][115=1915]，這實(shí)際上就是異分母加減運(yùn)算法，即對“通分”的本質(zhì)理解。

按照以上思路繼續(xù)進(jìn)行適當(dāng)拓展，就會(huì)發(fā)現(xiàn)在很多相對復(fù)雜的分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，只要找到相同項(xiàng)作為基本單位，就可以大大簡化分?jǐn)?shù)運(yùn)算過程。例如：在分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算3[×2336][×11]+[1136][×]8+[536][×]11中，可以發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)共同項(xiàng)為[136][×11]，如果將[1136]作為基本單位，可得：3[×2336][×11]+[1136][×]8+[536][×]11=（3[×23]+8+5）[×][1136]。又如：[357+79×5][÷][57+59]，通過仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)除數(shù)和被除數(shù)都有一個(gè)共同項(xiàng)[17+19]，將其作為基本單位，可得：[357+79×5][÷][57+59]=[35×17+19][÷5×17+19]=7，實(shí)現(xiàn)簡化運(yùn)算。

除了以上四個(gè)方面的應(yīng)用，“量綱”分析的思想還可以應(yīng)用于公式理解和快速查錯(cuò)等。比如從體積基本單位立方米可以推測出，任何形狀的體積計(jì)算公式必然是三個(gè)長度單位相乘（即米[×米×米]），或者一個(gè)面積單位和一個(gè)長度單位相乘（即平方米×米），然后乘以一個(gè)無量綱的系數(shù)。而快速查錯(cuò)主要是在復(fù)雜應(yīng)用題中，可通過簡單的量綱運(yùn)算（即單位運(yùn)算），校核量綱結(jié)果是否與實(shí)際計(jì)算答案一致。

總之，數(shù)學(xué)是一門工具學(xué)科，具有強(qiáng)大的包容性，能夠?yàn)榻鉀Q其他學(xué)科問題提供高效的方法和思路，同樣也應(yīng)融合其他學(xué)科的工具和技巧，改進(jìn)和完善自我。而小學(xué)教育所提倡的數(shù)學(xué)思維教育，就是要進(jìn)一步深化對知識(shí)點(diǎn)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)靈感和數(shù)學(xué)意識(shí)。雖然小學(xué)階段的學(xué)生并沒有學(xué)過“量綱”的概念，無法深入理解“量綱”的意義和作用，但是如果教師將“量綱”中“單獨(dú)提取單位進(jìn)行運(yùn)算”的思想進(jìn)行簡化處理，并借由數(shù)學(xué)單位這個(gè)常用的知識(shí)點(diǎn)引入，然后逐漸向其他知識(shí)點(diǎn)拓展遷移，不僅可以使學(xué)生輕松地接受和理解量綱運(yùn)算的思想，而且加深對數(shù)學(xué)單位、分配律、分?jǐn)?shù)運(yùn)算等難點(diǎn)知識(shí)的理解，幫助他們打破學(xué)科之間的桎梏，激發(fā)學(xué)生嘗試用新思路、新方法解決問題的熱情，培養(yǎng)更廣闊的視野和更靈活的思維方式。

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【作者簡介】黎初團(tuán)（1985— ），女，漢族，廣西賓陽人，大學(xué)本科學(xué)歷，學(xué)士學(xué)位，二級(jí)教師，南寧市民主路小學(xué)五象校區(qū)數(shù)學(xué)教師，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教育。

（責(zé)編 楊 春）