“乘法分配律”教材習(xí)題難度比較研究

趙少棠

【摘? ?要】借鑒顧泠沅等人的研究，建立乘法分配律習(xí)題難度的四個(gè)水平劃分標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)六個(gè)版本教材中“乘法分配律”的習(xí)題難度進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)無(wú)論是習(xí)題總數(shù)量，還是不同水平層次的習(xí)題量和所占的比例，不同版本教材之間都有較大差異。由此得到啟示與建議：研究習(xí)題有必要建立難度劃分標(biāo)準(zhǔn);教材編者要仔細(xì)考慮習(xí)題的總數(shù)量和各水平層次的習(xí)題量;教師需要根據(jù)教材及學(xué)情增減不同層次的習(xí)題。

【關(guān)鍵詞】教材比較;習(xí)題;認(rèn)知水平;乘法分配律

習(xí)題是教材的重要組成部分，它對(duì)學(xué)生鞏固知識(shí)、提高能力、提升素養(yǎng)起到很大的作用。乘法分配律是一條重要的運(yùn)算定律，對(duì)于乘法分配律的相關(guān)習(xí)題，一線教師雖然可以憑經(jīng)驗(yàn)粗略地判斷出它們的難易，但很難對(duì)習(xí)題做比較精細(xì)的難度刻畫(huà)。通過(guò)建立乘法分配律習(xí)題難度水平的劃分標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)現(xiàn)行的人教版、北師大版、浙教版、滬教版、西南師大版、青島版六個(gè)版本教材中關(guān)于乘法分配律的習(xí)題難度進(jìn)行比較，以期能夠更好地分析教材的習(xí)題難度并獲得啟示。

一、“乘法分配律”習(xí)題難度的劃分標(biāo)準(zhǔn)

我們平時(shí)所說(shuō)的習(xí)題的難易是指學(xué)生在解題時(shí)所反映出的難易程度，解答習(xí)題的能力反映了學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平。顧泠沅等提出了四個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，分別是水平1：計(jì)算——操作性記憶水平;水平2：概念——概念性記憶水平;水平3：領(lǐng)會(huì)——說(shuō)明性理解水平;水平4：分析——探究性理解水平[1]。其中，水平1和2為記憶水平，屬于低層次的認(rèn)知水平。水平3和4為理解水平，屬于較高層次的認(rèn)知水平。本文根據(jù)這四個(gè)水平的含義，結(jié)合“乘法分配律”的有關(guān)內(nèi)容，給出乘法分配律習(xí)題難度劃分標(biāo)準(zhǔn)如下。

水平1：計(jì)算——操作性記憶水平。這是一個(gè)起點(diǎn)水平，對(duì)應(yīng)這一水平的習(xí)題只要求學(xué)生記憶乘法分配律的形式，并能夠在具體的數(shù)中，在有“幫扶”的情況下進(jìn)行模仿。它有兩種具體的習(xí)題形式。

（1）在“形式”上辨認(rèn)是否屬于乘法分配律的等式，判斷拆分過(guò)程的正確與否。

（2）在有“幫扶”的情況下對(duì)“乘法分配律”進(jìn)行模仿性的應(yīng)用，也就是能夠根據(jù)乘法分配律對(duì)算式進(jìn)行簡(jiǎn)單拆分。這里的“幫扶”主要是指在等式中提供部分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生去完成另一部分，以便構(gòu)成符合乘法分配律的等式。比如圖1中的題目。

水平2：概念——概念性記憶水平。對(duì)應(yīng)這一水平的習(xí)題主要指的是能夠在沒(méi)有“幫扶”的情況下，初步應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算;能夠在有“幫扶”的情況下，將乘法對(duì)加法的分配律類(lèi)比到乘法對(duì)減法的分配律并用符號(hào)進(jìn)行表達(dá)。它有兩種具體的習(xí)題形式。

（1）直接應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。這里的直接應(yīng)用主要是指學(xué)生只需要根據(jù)題目給定的數(shù)，直接應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，不需要先對(duì)數(shù)進(jìn)行拆分，再用分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，后一種經(jīng)過(guò)拆分后的應(yīng)用可以稱(chēng)為間接應(yīng)用。比如，直接應(yīng)用只要求學(xué)生“簡(jiǎn)便計(jì)算125×（80+8）”，而不要求學(xué)生“簡(jiǎn)便計(jì)算125×88”。

（2）在有“幫扶”的情況下，將乘法對(duì)加法的分配律類(lèi)比到乘法對(duì)減法的分配律，并能夠運(yùn)用符號(hào)、字母的形式填空。如“填空：（? ?）×（85-13）=29×（? ）-29×（? ）”。

水平3：領(lǐng)會(huì)——說(shuō)明性理解水平。對(duì)應(yīng)這一水平的習(xí)題指的是能夠間接應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，即對(duì)題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓院笤龠\(yùn)用乘法的分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算;能夠根據(jù)應(yīng)用問(wèn)題列出算式后，靈活應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。如“用乘法分配律計(jì)算103×12或24×205”這樣的計(jì)算題，或“甲乙兩個(gè)工程隊(duì)分別從兩端同時(shí)開(kāi)鑿一條隧道。甲隊(duì)每天鑿9米，乙隊(duì)每天鑿11米，120天后鑿?fù)辍Ｇ筮@條隧道的長(zhǎng)”。

水平4：分析——探究性理解水平。對(duì)應(yīng)這一水平的習(xí)題指的是能夠結(jié)合圖示或其他形式說(shuō)明乘法對(duì)加法的分配律成立;能夠運(yùn)用類(lèi)比得到“乘法對(duì)減法的分配律，除法對(duì)加減法的分配律”的形式，并能夠運(yùn)用不同的表征方式說(shuō)明這些分配律是否成立;能夠綜合靈活地應(yīng)用乘法分配律解決問(wèn)題等。如“結(jié)合圖（如圖2）與同伴說(shuō)說(shuō)等式3×6+4×3=（6+4）×3為什么成立” 。

二、六個(gè)版本教材習(xí)題的難度比較與分析

根據(jù)上面建立的關(guān)于乘法分配律習(xí)題難度水平劃分的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)現(xiàn)行六個(gè)版本的教材習(xí)題進(jìn)行了水平劃分與分析。在劃分的習(xí)題中既包括新課后面的習(xí)題，也包括緊跟新課后面練習(xí)課的習(xí)題，但不包括總復(fù)習(xí)中的習(xí)題。對(duì)于一道大題里有幾道小題的，按照小題的數(shù)量統(tǒng)計(jì)。六個(gè)版本教材習(xí)題難度水平劃分見(jiàn)表1。

從上表的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可以得到以下結(jié)論：

1.習(xí)題總量差異較大。在六個(gè)版本教材中，習(xí)題量最多的是青島版，有30題，幾乎是習(xí)題量最少的滬教版（16題）的2倍。六個(gè)版本教材習(xí)題總量統(tǒng)計(jì)情況，見(jiàn)圖3所示。

編寫(xiě)多少習(xí)題能夠讓學(xué)生達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)提出的要求，這是一個(gè)非常值得研究的問(wèn)題。

2.有四個(gè)版本的教材沒(méi)有編寫(xiě)水平4的習(xí)題。水平4層次的習(xí)題要求學(xué)生綜合靈活地應(yīng)用分配律解決問(wèn)題，對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)新思維和高階思維都將起到積極的作用，需要有合適的數(shù)量。

3.每一個(gè)水平層次的習(xí)題量相差較大。只比較各版本教材習(xí)題的一個(gè)水平，發(fā)現(xiàn)習(xí)題的數(shù)量相差也比較大。比如水平1的習(xí)題，從總數(shù)量來(lái)說(shuō)，北師大版教材沒(méi)有水平1的習(xí)題;滬教版教材水平1的習(xí)題只有2個(gè)，最多的是人教版教材，有9個(gè)。而水平2的習(xí)題，浙教版教材有13個(gè)，人教版教材只有4個(gè)。各水平層次的習(xí)題數(shù)量情況，見(jiàn)圖4所示。

每一個(gè)層次的習(xí)題各編寫(xiě)多少合適，同樣需要研究。

4.同一個(gè)層次的習(xí)題數(shù)量占習(xí)題總數(shù)量的百分比差異較大。某一個(gè)層次的習(xí)題數(shù)量占這套教材的習(xí)題總數(shù)量有一個(gè)百分比，各套教材之間這個(gè)百分比差異較大。比如，就水平1來(lái)說(shuō)，人教版教材水平1的習(xí)題量占總數(shù)量的33.3%，而滬教版教材只占12.5%，兩者相差20.8%。就水平2來(lái)說(shuō)，人教版教材的習(xí)題量占總數(shù)量的14.8%，滬教版教材卻占了56.3%，兩者相差41.5%。這說(shuō)明各套教材的編者對(duì)于“某一個(gè)水平層次的習(xí)題應(yīng)該占總數(shù)量的百分之幾”，在認(rèn)識(shí)上存在著較大的差異。下面兩個(gè)扇形統(tǒng)計(jì)圖（如圖5），反映了人教版教材和北師大版教材每一個(gè)水平層次的習(xí)題數(shù)量占總數(shù)量的比例關(guān)系，可以比較清晰地看出兩個(gè)版本教材每一個(gè)水平層次習(xí)題占比的相差情況。

三、啟示與建議

通過(guò)以上水平層次劃分標(biāo)準(zhǔn)的建立和各版本教材不同水平層次習(xí)題數(shù)量的統(tǒng)計(jì)和分析，得到以下啟示與建議。

（一）有必要建立難度劃分標(biāo)準(zhǔn)

對(duì)于教齡較長(zhǎng)、經(jīng)驗(yàn)相對(duì)豐富的教師來(lái)講，對(duì)習(xí)題的難易可以憑經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行判斷，也能說(shuō)出哪一個(gè)習(xí)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較難，哪一個(gè)比較容易。但在對(duì)習(xí)題的難度建立劃分標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，僅憑經(jīng)驗(yàn)就不夠了，需要更理性的思考和判斷，需要學(xué)習(xí)類(lèi)似顧泠沅等人研究的認(rèn)知水平理論或SOLO分類(lèi)評(píng)價(jià)理論。經(jīng)過(guò)理性的思考，建立劃分難度的標(biāo)準(zhǔn)以后，教師可以從模糊地憑經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行判斷上升到理性地依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷。這個(gè)過(guò)程很有必要，它可以提升一線教師的經(jīng)驗(yàn)和理論水平，以便更好地為學(xué)生的學(xué)習(xí)服務(wù)。

（二）教材編者要考慮習(xí)題的總量和不同水平層次的習(xí)題量

通過(guò)上面的比較可知，六個(gè)版本的教材中，有的缺乏水平1的習(xí)題，有的缺乏水平4的習(xí)題，同一套教材中也有各個(gè)水平層次習(xí)題數(shù)量差距較大的情況。為了更好地編寫(xiě)教材，編者應(yīng)該仔細(xì)考慮習(xí)題的水平層次，盡量做到每個(gè)水平層次的習(xí)題都有所涉及，并且有一個(gè)合適的比例。結(jié)合實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，四個(gè)層次的比例分別為30%，30%，25%，15%或許是比較合適的。

（三）教師需要根據(jù)教材及學(xué)情增減不同層次的習(xí)題

一線教師在使用教材教學(xué)時(shí)，需要有“習(xí)題的水平層次”的意識(shí)，并且有能力區(qū)分出教材中不同習(xí)題的水平層次，再結(jié)合所教學(xué)生的實(shí)際情況，對(duì)教材中的習(xí)題進(jìn)行處理，可以增加或減少不同層次的習(xí)題。從上面的比較中可知，多數(shù)版本的教材沒(méi)有水平4層次的習(xí)題，而對(duì)于部分?jǐn)?shù)學(xué)素養(yǎng)比較好的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這一層次的習(xí)題不可或缺。為了更好地促進(jìn)這部分學(xué)生的發(fā)展，教師需要增加水平4層次的習(xí)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊玉東，賀真真.數(shù)學(xué)教學(xué)改革三十年：現(xiàn)實(shí)與實(shí)現(xiàn)：來(lái)自“青浦實(shí)驗(yàn)的新世紀(jì)行動(dòng)”[J].上海教育科研，2007（12）.

（廣東省深圳市寶安區(qū)建安小學(xué)? ?518133）