如何研究一節(jié)課的數(shù)學教材？

深入開展一節(jié)課的教材研究

整本或整套教材主要由一節(jié)課一節(jié)課的教材組成，開展一節(jié)課的教材研究十分重要。浙江省特級教師、正高級教師朱樂平帶領(lǐng)一課研究團隊，對如何開展一節(jié)課的教材研究做了多年的探索。本期話題選擇了朱老師及其團隊的一組文章，這組文章闡述了一線教師如何研究一節(jié)課教材的方法以及多個研究的樣例，以期讓讀者能夠進一步關(guān)注教材研究，總結(jié)提煉研究方法，分享研究成果，促進研究的不斷深入。

【摘? ?要】對一節(jié)課的數(shù)學教材研究可以做多套教材的比較研究，也可以做單一教材的研究。在比較研究中，可分縱向、橫向比較研究。無論是做比較研究或單一教材的研究，都可以做純文本研究，也可以對學生或教師進行測試或調(diào)查，做這一類實證研究。不難看出，不斷提出問題和解決問題會讓研究深入。

【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學;乘法分配律;教材研究

教材是重要的課程資源。教材研究不僅是教材編者的事，一線教師要上好一節(jié)課，同樣需要研究教材。想要進行專題研究也可以選擇一節(jié)課的教材展開。這里的“一節(jié)課的教材”是指為了教學新知識編寫的新課部分和練習部分的教材。本文試圖從一線教師的實際出發(fā)，闡述如何研究一節(jié)課的數(shù)學教材，以期與同行交流探討。

一、多套教材的比較研究

（一）什么叫多套教材的比較研究

一節(jié)課的數(shù)學教材一般可以分成正文與練習（習題）兩個部分，正文主要是指例題以及與例題相對應(yīng)的引導與解答。多套教材的比較研究是指根據(jù)同一節(jié)課（或稱同一個知識點的教學），至少選擇兩套教材，對其正文部分或練習部分進行比較研究。通過比較教材之間的相同點與不同點，也就是研究它們的異同，從而得到對教材編寫或?qū)虒W活動的啟示和建議。

（二）選擇哪些維度對多套教材進行比較研究

要對教材進行比較研究，需要確定一些維度，這些比較的維度也稱為比較研究的分析框架。已經(jīng)有許多大學學者進行過小學數(shù)學教材的比較研究，發(fā)表過許多研究成果。這些成果中就有比較的維度，有如何進行小學數(shù)學教材比較的分析框架，這些成果一線教師可以直接借鑒。比如，宋運明等人[1]提出了以下從8個維度對教材例題進行比較研究的分析框架：知識領(lǐng)域、情境傾向、情境類型、有無插圖、有無點撥、啟發(fā)方法、思路方法、其他事項。張文宇等人[2]又在宋運明老師研究成果的基礎(chǔ)上，提出了從“情境類型、表征形式、有無點撥及點撥類型、啟發(fā)方法、解題方法的多樣化、回答方式”6個方面來研究例題的編寫特征。一線教師可以根據(jù)某一節(jié)課教材的特點并借鑒上述成果，建立自己的分析和研究框架。

在上述研究維度的基礎(chǔ)上，一線教師還可以把“教材設(shè)計是不是方便課堂中師生的操作”作為一個研究維度（可以稱為“操作性”維度）。比如，有一套教材[3]在編寫四年級“乘法分配律”的教學內(nèi)容時，提供了以下問題情境（如圖1），讓學生計算兩扇屏風一共有多少塊玻璃。教材編寫的意圖是：可以左右兩扇屏風一扇一扇的計算玻璃塊數(shù)，也可以兩扇屏風一起算塊數(shù)，這樣就可以得到一個等式12×5+9×5=（12+9）×5，進而為觀察、發(fā)現(xiàn)乘法分配律奠定基礎(chǔ)。這樣的教材設(shè)計思路不錯，但當考慮到課堂中師生的操作時，就有了問題。根據(jù)圖示，要列出正確算式的前提是學生必須正確數(shù)出一行有多少塊玻璃，有多少行。由于是“實物圖”，這個數(shù)數(shù)的過程學生極易發(fā)生錯誤。事實上，學生“很容易數(shù)錯”并非只是我們的主觀推測，調(diào)查結(jié)果也已經(jīng)驗證了這一點。雖然數(shù)的過程也有價值，但與讓四年級學生觀察得出算式相比，就不必在數(shù)數(shù)中設(shè)置障礙了?？梢姡瑥倪M入課堂操作的角度來說，這不是一個好的情境圖。又如，“分數(shù)的認識”這樣的內(nèi)容，同樣是讓學生理解把一張紙平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份，如果有一套教材要求學生動手操作，把一張長方形的紙平均分成8份，表示這樣的3份。而另一套教材也要求學生動手操作，把一張長方形的紙平均分成7份，表示這樣的3份。由于學生把紙等分成8份比等分成7份要方便，雖然等分成7份也有教學價值，但從課堂操作方便性的角度來說，前一套教材的設(shè)計更好。也就是說，在數(shù)學結(jié)構(gòu)相同、要達成的目標也基本相同的前提下，教材在編寫時要注意給師生提供較為方便的課堂操作內(nèi)容。

（三）對多套教材進行比較研究有哪些類型

對多套教材進行比較研究可以分成縱向比較研究與橫向比較研究兩類。

1.縱向比較研究

教材的縱向比較研究是指比較研究同一節(jié)課不同歷史時期教材的異同，在異同的比較中，得到啟示或建議。小學數(shù)學的教學內(nèi)容，雖然會隨著歷史的發(fā)展動態(tài)地發(fā)生變化，但有許多知識是相對不變的。比如，人民教育出版社（以下簡稱人教社）1959年出版的高級小學課本《算術(shù)》第一冊（暫用本）中有乘法分配律這一內(nèi)容，人教社2014年出版的《義務(wù)教育教科書數(shù)學（四年級下冊）》中也有這一內(nèi)容。這樣我們就可以對乘法分配律這一節(jié)課的教材作縱向的比較研究。研究這節(jié)課在不同歷史時期的教材中是如何編寫的，各有什么特點，它們的異同對我們今天的教材編寫與教學活動會有什么啟示和建議。

2.橫向比較研究

教材的橫向比較研究是指對同一時期出版的不同版本的教材進行比較研究。在做橫向比較研究時，可以只對多套教材中的正文部分進行比較，也可以只對多套教材中的練習部分進行比較。在練習的比較中，關(guān)于“習題難度比較研究”是一線教師比較容易做到的。在比較習題難度時，需要建立一個習題難度的分層次標準，也就是把我們平時所說的哪些習題比較容易或比較難，進行一個更為客觀的描述，把不同難度的習題分成水平一、水平二等不同的水平等級。建立了各水平層次的衡量標準后，可以從數(shù)量和質(zhì)量兩個方面對教材中的習題進行分層次研究，最后得到啟示與建議。這樣的研究成果分享后，有利于教材編寫者更好地編寫教材，執(zhí)教者更好地用教材教學。

無論是做縱向比較研究，還是做橫向比較研究，都可以運用不同教材提供的文本，對學生、教師做一些測試、訪談或調(diào)查等實證研究。這樣可以在原來憑經(jīng)驗、憑理論、憑思辨判斷的基礎(chǔ)上，增加用數(shù)據(jù)進行判斷的維度，使得出的結(jié)論更科學，建議更具體。比如，乘法分配律這一內(nèi)容，在人教社1989年和2014年出版的兩版教材中，開頭都是一個應(yīng)用題（問題情境），1989年版的教材是求4套課桌椅的總價，2014年版的教材是求25個小組的總?cè)藬?shù)。在這兩個問題情境中，哪一個情境圖更有利于學生得出乘法分配律，或者說哪一個情境更好，可以憑經(jīng)驗或思辨進行判斷，但如果再增加測查數(shù)據(jù)，就會使得出的結(jié)論更科學。要進行優(yōu)劣判斷，就要根據(jù)這個情境承擔的功能，先建立“好的”標準：（1）能夠獨立正確解決這個應(yīng)用題的學生數(shù)要多一些;（2）因為希望得到類似（10+5）×4=10×4+5×4這樣的算式，而左右兩邊實際上是用兩種不同的方法解決同一個問題得到的，所以能夠用不同方法解決同一個問題的學生數(shù)要多一些;（3）學生與教師喜歡的程度要高一些。而后再選擇兩個無顯著性水平差異的班級，讓學生分別獨立去解決上述兩個問題，正確率如何？用兩種不同方法解決同一個問題的學生數(shù)是多少？教師與學生更喜歡哪一個版本？理由是什么？這些問題都可以通過測試、問卷調(diào)查和訪談得到回答，進而可以更好地研究各版本教材的特點，甚至優(yōu)劣。

眾所周知，好教材有利于教師的教和學生的學。研究哪一個版本的教材學生的自學效果比較好，也是教材研究的一個維度。研究路徑可以粗略地描述為：（1）前測，確定水平相當?shù)膬蓚€班;（2）兩個班的學生分別自學不同版本的教材;（3）后測，比較自學后的水平;（4）讓學生寫一寫在自學中，覺得教材哪些地方不太看得懂，哪些地方有點難;（5）把兩版教材提供給同一個班的學生，讓他們選擇更喜歡哪一版教材，并寫一寫理由。完成上述工作后，再對學生的自學效果與喜歡程度等做定量與定性的分析，寫出研究結(jié)果并分享，能夠給教材編寫者與執(zhí)教者以啟示。

二、一套教材的分析研究

對一套教材中某一節(jié)課的分析與研究，通常有以下兩種類型。

（一）在整體視角下，對一節(jié)課的數(shù)學教材進行分析研究

一節(jié)課的教材常常不是孤立存在的，它是整個單元或整套教材的一部分，從整體的視角出發(fā)研究一節(jié)課的教材，就會有“全局觀”或“整體觀”。所以在研究一節(jié)課的教材時，需要分析這一節(jié)課的教材在整個單元或整個教材體系中的地位與作用，看一看這節(jié)課教學的知識點的“來龍去脈”。比如，研究“乘法分配律”這節(jié)教材，它不但是“運算律”這個單元的一部分，而且這個知識點，在整套教材中都有滲透和應(yīng)用?？梢栽谡捉滩牡难芯恳暯窍?，看“乘法分配律”的“前世今生”。通過梳理會發(fā)現(xiàn)，在沒有學習乘法分配律以前，教材中已經(jīng)有很多地方應(yīng)用了乘法分配律。比如，有教材把乘法分配律的新課教學放在四年級，但在二、三年級學習一位數(shù)、兩位數(shù)乘法時，已經(jīng)多次應(yīng)用乘法分配律來說明算理。這種多次“未學先用”的情況非常特殊，需要編者和執(zhí)教教師引起足夠的重視。通過這樣的研究也進一步引出一個可以更深入研究的問題：是不是可以在二、三年級教學乘法分配律？我們的研究表明這是可行的。

在整體觀念下，可以提出與這節(jié)課教材整體上相關(guān)的問題，并做更深入的研究。比如，學習了乘法分配律后，可以提出問題：學生學習了乘法對加法的分配律后，他們會自覺地遷移到乘法對減法的分配律嗎？在整數(shù)范圍內(nèi)得出的乘法分配律，學生會遷移到小數(shù)和分數(shù)中嗎？乘法對加法存在著分配律，有多少學生會認為除法也存在著分配律？對這些問題可以做進一步的深入研究。比如，關(guān)于“除法是不是有分配律”的教學，可以設(shè)計以下問卷（如圖2）對學生進行測試和訪談。在測試與訪談的基礎(chǔ)上，分析學生的認知水平。

（二）在局部視角下，對一節(jié)課的數(shù)學教材進行分析研究

在分析研究一節(jié)課的教材時，不但要有“整體觀”，而且要有“局部觀”。這里的局部觀是指要對教材中的每一個部分進行仔細的研讀，使得思考不斷深入。對教材的“局部”可以從以下兩個方面入手進行深入研究。

1.不斷提出問題

要使自己的思考不斷深入，可以采用提問的方法，即面對教材一個又一個的局部，不斷地提出問題，也可以不斷嘗試憑經(jīng)驗或?qū)嵶C去解決問題，提出問題與解決問題的過程，會使思考深入。這樣的研究無論對教材的編寫，還是對教學的設(shè)計都將是十分有益的。比如，人教版教材在編寫“乘法分配律”這一內(nèi)容時呈現(xiàn)了“小學生植樹”的問題情境圖。在情境圖下方，用“對話”的形式給出了兩條信息：“一共有25個小組，每組里4人負責挖坑、種樹，2人負責抬水、澆樹?！薄懊拷M要種5棵樹，每棵樹要澆2桶水?！痹谶@兩條信息的下面給出一個問句：“一共有多少名同學參加了這次活動？”面對這個局部，可以提出以下問題。

（1）學生看到這樣的信息，能夠由條件和問句組成數(shù)學問題嗎？能夠正確選擇條件與問句進行匹配的學生數(shù)是多少？占全體學生的百分比是多少？

（2）有多少學生受到了“每組要種5棵樹，每棵樹要澆2桶水”這一信息的干擾？這些學生組成的問題是怎么表達的？

（3）在回答“一共有多少名同學參加了這次植樹活動”這個問題時，學生需要列式計算。有多少學生用分步式？比如，列式計算的過程是25×4=100，25×2=50，100+50=150。有多少學生能夠列出綜合算式？

（4）教師是希望學生列分步式，還是列出綜合算式解決這個問題？如果題目中增加“要求列綜合算式解決”是不是列綜合算式的學生數(shù)會增加？如果會，會增加多少？增加的學生是能力比較強的，還是能力比較弱的？原因是什么？

（5）在解決這個問題時，可以用兩種方法解決：方法一：25×（4+2）=150;方法二：25×4+25×2=150，用方法一、方法二的學生數(shù)各是多少？在實際教學中，當用方法一、方法二的學生數(shù)各占多少比例時比較理想？

（6）同時運用方法一和方法二，也就是運用了兩種方法解決問題的學生數(shù)是多少？如果增加“要求用兩種方法計算”這樣一個要求，用兩種方法解決問題的學生數(shù)是不是會增加？如果是，會增加多少比例？增加的學生是能力比較強的，還是比較弱的？

（7）能夠正確列出算式的學生中，有多少知道算式中每一個數(shù)的含義？每一步計算解決了什么問題？不能正確列出算式（包括沒有列出算式和列出錯誤算式）的學生的主要困難是什么？比如，有沒有學生把“4人負責挖坑、種樹”理解成“4個人挖坑，4個人種樹”？

（8）有多少學生能夠根據(jù)兩個等式25×（4+2）=150，25×4+25×2=150，得出一個新的等式25×（4+2）=25×4+25×2？有多少學生能夠用“因為……所以……”這樣的表達方式陳述得到一個新等式的推理過程？

（9）讓學生列出具有乘法分配律樣子的等式：①25×（4+2）=25×4+25×2;②25×4+25×2=25×（4+2）時，有多少學生列的是①式？有多少學生列的是②式？

（10）讓學生觀察具有乘法分配律樣子的等式時，是①式更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還是②式更容易？理由是什么？

（11）以上這些問題，教師是如何回答的？他們的回答與學生的實際情況“吻合”程度如何？

從理論上說，可以對教材的每一個局部內(nèi)容提出類似于上面這樣的問題，在這些問題中，有些是教材編寫者特別要注意的，有些是執(zhí)教者要特別關(guān)注的。有了這些問題，我們也就有機會選擇自己感興趣的部分問題做更為深入的研究。

2.通過測試、訪談或問卷調(diào)查解決問題

解決由教材提出的問題有多種途徑，可以憑經(jīng)驗解決，可以找理論解決，也可以對學生、教師做測試、訪談或問卷調(diào)查，通過實證研究解決問題。比如，青島出版社出版的《義務(wù)教育教科書數(shù)學（四年級下冊）》在編寫乘法分配律這一內(nèi)容時，要求學生根據(jù)情境提出問題（如圖3）。

這是教材的一部分，可以對這個局部進行深入研究。如可以研究：根據(jù)這個情境，學生會提出什么問題呢？提出的問題與乘法分配律有關(guān)嗎？有多少比例的問題與乘法分配律相關(guān)？與乘法分配律相關(guān)的問題，學生有能力解決嗎？等等?？梢詭е@些問題對學生做測試，并對測試的結(jié)果進行分析;還可以在教師中進行調(diào)查，讓教師寫一寫學生可能會提出哪些問題，再對教師認為學生可能提出的問題進行分類，與學生實際提出的問題進行比較，看一看“吻合”程度。帶著問題走向?qū)嵶C研究，在與學生和教師的交流中進一步發(fā)現(xiàn)問題，進一步去研究和解決問題，這就是“教學研究在深入”。

應(yīng)該說，憑經(jīng)驗、憑理論、憑思辨解決問題都很重要，但僅有這些遠遠不夠，如果可能，還需要對學生和教師進行測試、訪談或問卷調(diào)查，做這樣的實證研究后，我們對教材的研究就會更加客觀深入。

綜上所述，在對一節(jié)課的教材進行比較研究時，需要建立研究的分析框架，根據(jù)分析框架對教材做縱向或橫向比較研究。對一套教材進行研究時，可以從整體視角出發(fā)弄清這節(jié)課的地位與作用，梳理知識線索，從而獲得啟示與建議。提出問題會讓思考更深入，帶著問題對學生或教師做一些測試分析，做問卷調(diào)查或訪談研究，在與學生和教師交流的過程中，又可能發(fā)現(xiàn)新的問題。這種實證研究的方法更加尊重事實，強調(diào)精確，推崇理性和邏輯，也會進一步提升教師的經(jīng)驗與理論水平。

參考文獻：

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（浙江省杭州市上城區(qū)教育學院? ?310003）