至少類問題的直接解答

俞新龍

(浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)越崎中學(xué) 312050)

高中數(shù)學(xué)中有一種至少類問題廣泛出現(xiàn)在各主干知識(shí)點(diǎn)中，此類問題常因直接解答時(shí)極易出錯(cuò)而且錯(cuò)誤原因較難分析，從而通常以分類討論形式解答，雖說問題也解決了，但實(shí)際上學(xué)生心里是不滿意的，為什么不能使用首先在大腦中生成的直接解法來解答呢？本文對(duì)課本中一道例題的教學(xué)進(jìn)行分析，試圖對(duì)至少類問題的直接解答進(jìn)行一次有益探索.

一、原題及解答

題目(人教版選修2-3第34-35頁例8)在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，

(1)有多少種不同的抽法？

(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少種？

(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？

二、學(xué)生錯(cuò)誤解法以及錯(cuò)誤原因分析

絕大多數(shù)學(xué)生在解答上述第(3)小題時(shí)給出的并不是上述兩種解法之一，而是下面錯(cuò)誤的直接解答：

從答案上看顯然是多算了，問題出在哪？到底多算了哪些？為了直觀上理解這個(gè)問題，我們不妨采用列舉法，又為了列舉的方便且不會(huì)改變問題本質(zhì)，我們不妨將問題改為：

在5件產(chǎn)品中，有3件合格品，2件次品， 從這5件產(chǎn)品中任意抽出3件，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？

三、直接解答的進(jìn)一步理解

為便于學(xué)生對(duì)正確的直接解答的理解，我們可以找下面的例子來幫助鞏固.

1.通過集合來理解

在人教版的近幾版教材中都有一份閱讀與思考材料《集合中元素的個(gè)數(shù)》，該材料指出，對(duì)任意兩個(gè)有限集合A，B，有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)，所以對(duì)于選修2-3例8(3)來講，我們可以從集合中元素的個(gè)數(shù)角度來理解.

對(duì)于這個(gè)思路，還可以類比理解原例題的如下變式.

變式1 在100件產(chǎn)品中，有97件合格品，3件次品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，抽出的3件中至少有2件次品的抽法有多少種？

變式2 在100件產(chǎn)品中，有96件合格品，4件次品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，抽出的3件中至少有2件次品的抽法有多少種？

變式3 在100件產(chǎn)品中，有97件合格品，3件次品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？

2.通過一道經(jīng)典排列題來理解

四、用直接解答解決問題

至少類問題存在于不同的主干知識(shí)中，為幫助學(xué)生對(duì)正確的直接解答方法的掌握，可通過類似以下習(xí)題的解答來強(qiáng)化.

問題1 已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0至少有一根在(1,+∞)內(nèi)，求m的取值范圍.

解析如果不是直接解答，一般常用分類討論求解.

其實(shí)類似該題的問題完全可以直接解答：

問題2 若方程2x2-ax+1=0在[3,+∞)上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析若不是直接解答，一般常用變量分離法求解.

因?yàn)橛薪饧幢硎局辽俅嬖谝粋€(gè)，所以類似該題的問題完全可以直接解答：

解析本題分類討論求解非常繁雜，還是直接解答來得比較好.

五、一點(diǎn)想法

哈爾斯說：“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，波利亞說：“中學(xué)數(shù)學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練”“解題是一種實(shí)踐性的技能，就像游泳、滑雪或彈鋼琴一樣，只能通過模仿、練習(xí)和鉆研來學(xué)到它.”因此，在解題教學(xué)實(shí)踐中，教師講解時(shí)應(yīng)該找準(zhǔn)解題教學(xué)的著力點(diǎn)，筆者認(rèn)為像本文前面論述的這種情況正是教師應(yīng)該著力研究并解決的解題狀況，也符合在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)開展教學(xué)的要求.最后以美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說的一句話與老師們共勉：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”