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    學(xué)科德育視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)與思考*
    ——以“古典概型”為例

    2021-08-16 06:17:38江蘇省無錫市第一女子中學(xué)214002
    中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2021年8期
    關(guān)鍵詞:樣本空間概型骰子

    吳 婷 (江蘇省無錫市第一女子中學(xué) 214002)

    1 學(xué)情分析

    教學(xué)對象是三星級高中高一直升班學(xué)生(初中直升高中),基礎(chǔ)良好,有較強(qiáng)的自主探究能力、抽象概括能力和運(yùn)算素養(yǎng).

    2 教材分析

    本課時選自人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)(必修第二冊)》第十章.古典概型是概率統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域最基本的研究對象,也是高中階段重點(diǎn)研究的概率模型.通過古典概型的學(xué)習(xí),學(xué)生能進(jìn)一步理解隨機(jī)事件和樣本點(diǎn)的關(guān)系、事件和樣本空間的關(guān)系、概率的意義,掌握研究概率模型的一般思路.

    教學(xué)目標(biāo) (1)通過具體實(shí)例感受古典概型樣本點(diǎn)、樣本空間的特征;(2)經(jīng)歷古典概型的概念形成,理解古典概型的特征及其概率計(jì)算公式,能夠計(jì)算古典概型的概率,滲透數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng);(3)通過對歷史問題的驗(yàn)證,經(jīng)歷合作交流的環(huán)節(jié),初步形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度,感受與他人合作的重要性.

    教學(xué)重點(diǎn) 理解古典概型的特征、事件包含樣本點(diǎn)個數(shù).

    教學(xué)難點(diǎn) 判斷一個試驗(yàn)是否為古典概型,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為古典概型問題.

    3 過程實(shí)錄

    3.1 再現(xiàn)歷史,了解概率

    文藝復(fù)興時期,意大利醫(yī)生兼數(shù)學(xué)家卡當(dāng)(1501—1576)曾熱衷于骰子游戲,試圖研究不輸?shù)姆椒ǎ瑪S兩枚骰子,以兩枚骰子向上點(diǎn)數(shù)之和打賭,卡當(dāng)認(rèn)為押7點(diǎn)最有利,你認(rèn)為呢?

    師:在這個問題中“兩枚骰子向上點(diǎn)數(shù)之和為7”是隨機(jī)事件,“卡當(dāng)認(rèn)為押7點(diǎn)最有利”則表示該隨機(jī)事件發(fā)生的可能性最大.那么如何計(jì)算這個可能性的大小呢?在數(shù)學(xué)上,我們把對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.

    設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)歷史素材背景下的數(shù)學(xué)情境,激發(fā)學(xué)生的研究熱情,引出概率的定義.

    3.2 思考交流,建立模型

    問題1讓我們穿越時空,推測卡當(dāng)當(dāng)時是如何得出結(jié)論“擲兩枚骰子,向上點(diǎn)數(shù)之和為7的概率最大”的.

    生:可能他通過大量的試驗(yàn)和觀察得出了結(jié)果.

    師:是的,通過試驗(yàn)和觀察的方法可以得到隨機(jī)事件的概率估計(jì).但這種方法費(fèi)時費(fèi)力,僅能得到概率的近似值.或許他可以通過建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,直接計(jì)算出這一隨機(jī)事件的概率.

    問題2寫出以下試驗(yàn)的樣本空間:

    (1)試驗(yàn)1:擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,其落地時朝上的點(diǎn)數(shù);

    (2)試驗(yàn)2:一個班級中有18名男生、22名女生,采用簡單隨機(jī)抽樣的方式,從中隨機(jī)選擇一名學(xué)生;

    (3)試驗(yàn)3:拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次,其3次落地時正面朝上的情況.

    樣本空間每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性試驗(yàn)1Ω1={1,2,3,4,5,6}相等試驗(yàn)2Ω2={B1,B2,…,B18,G1,G2,…,G22}相等試驗(yàn)3Ω3={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}相等

    師:我們試著從樣本空間及樣本點(diǎn)的角度分析歸納三個試驗(yàn)的共同特征.

    生:(1)有限性:樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個;(2)等可能性:每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

    師:很好!我們將具有以上兩個特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn),其數(shù)學(xué)模型稱為古典概型.

    設(shè)計(jì)意圖通過問題設(shè)計(jì)和歸納活動,幫助學(xué)生融入歷史角色,理清古典概型的兩個基本特征,體驗(yàn)概念生成和數(shù)學(xué)建模的過程.

    3.3 觀察歸納,推導(dǎo)公式

    問題3嘗試求出以下隨機(jī)事件的概率:

    (1)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,事件A=“向上點(diǎn)數(shù)為3”;

    (2)一個班級中有18名男生,22名女生,采用簡單隨機(jī)抽樣的方式,從中隨機(jī)選擇一名學(xué)生,事件B=“抽到女生”;

    (3)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次,事件C=“恰好一次正面朝上”.

    師生互動,完成表格(略).

    結(jié)婚后,VCD影碟機(jī)入駐了我家,一張張光盤雖然能輕而易舉地看到時下的電影,卻沒有了電影院里的感覺。成家立業(yè)的繁雜與瑣碎,更是讓我在不知不覺的20多年中再沒有去過影院看電影了。

    3.4 例題分析,推廣應(yīng)用

    例1拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(分別標(biāo)記為I號和II號),觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.

    (1)寫出這個試驗(yàn)的樣本空間,并判斷這個試驗(yàn)是否為古典概型;

    (2)求下列事件的概率A=“兩個點(diǎn)數(shù)之和是7”,B=“兩個點(diǎn)數(shù)相等”;C=“I號骰子的點(diǎn)數(shù)大于II號骰子的點(diǎn)數(shù)”.

    學(xué)生嘗試用枚舉、樹狀圖、列表等形式探究樣本空間,得出該試驗(yàn)的樣本空間中共有36個樣本點(diǎn).教師投影展示學(xué)生成果:

    生:由于樣本空間中樣本點(diǎn)數(shù)量有限,骰子的質(zhì)地均勻,所以各個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等,所以這個試驗(yàn)是古典概型.

    師:我們也可以用字母m表示I號骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),字母n表示II號骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),那么數(shù)對(m,n)表示這個試驗(yàn)的一個樣本空間點(diǎn).因此該試驗(yàn)的樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}}.

    問題4你覺得卡當(dāng)?shù)耐茰y正確嗎?為什么?(學(xué)生交流討論)

    生:從表格可以看出右上角至左下角對角線上樣本點(diǎn)分布最多,所以卡當(dāng)?shù)耐茰y是正確的.

    師:很好,那我們能否量化這個結(jié)果呢?

    生:我們小組計(jì)算了點(diǎn)數(shù)之和分別是2,3,…,9,12時對應(yīng)的概率,從中可以看出卡當(dāng)?shù)耐茰y正確.

    點(diǎn)數(shù)和23456789101112概率136236336436536636536436336236136

    問題5為什么要把兩枚骰子標(biāo)上記號?如果不標(biāo)記會出現(xiàn)什么情況?你能解釋其中的原因嗎?

    (師生互動,合作探討)若不給兩枚骰子標(biāo)記,則無法區(qū)分樣本點(diǎn)(1,2)和(2,1),如下表:

    師:用古典概型計(jì)算概率時,一定要驗(yàn)證所構(gòu)造樣本空間中的樣本點(diǎn)是否滿足古典概型的第二個特征(等可能性),否則計(jì)算出來的概率是錯誤的.

    設(shè)計(jì)意圖指導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷建模運(yùn)算之后,自主探究情境創(chuàng)設(shè)中提出的問題,引導(dǎo)學(xué)生通過量化對比得出問題結(jié)果,初步感知概率分布的表達(dá),為后續(xù)學(xué)習(xí)打下伏筆.學(xué)生解決古典概型問題時,常見的錯誤是等可能性偏見,通過問題5的分析,引導(dǎo)學(xué)生歸納求解古典概型概率的步驟:(1)仔細(xì)讀題,收集整理題目中的各種信息;(2)判斷試驗(yàn)是不是古典概型;(3)列出試驗(yàn)的樣本空間和所求事件中所包含的樣本點(diǎn)的個數(shù);(4)計(jì)算出古典概型的概率.

    3.5 探究思考,鞏固深化

    練習(xí)1 單項(xiàng)選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型,一般是從A,B,C,D四個選項(xiàng)中選擇一個正確答案,假設(shè)某考生完全不會做,他隨機(jī)選擇一個答案,答對的概率是多少?

    變式 若考試中多項(xiàng)選擇題(四個選項(xiàng)中至少有兩個選項(xiàng)是正確的)有四個選項(xiàng)A,B,C,D,隨機(jī)寫一個答案,恰好正確的概率是多少?試比較一下,在隨機(jī)選答案的情況下,是單選題容易猜對還是多項(xiàng)選擇題容易猜對?

    練習(xí)2 齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬,田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)雙方各出上、中、下等馬各一匹分組進(jìn)行一場比賽,勝兩場及以上者獲勝.若雙方均不知對方馬的出場順序,試求田忌獲勝的概率.

    設(shè)計(jì)意圖通過古典概型的實(shí)際應(yīng)用,在學(xué)生的思維發(fā)展區(qū)變式引申,鞏固新知.

    4 教學(xué)思考

    4.1 從“確定性”到“隨機(jī)性”

    就數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史進(jìn)程來看,從算術(shù)到代數(shù)、從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)、從確定數(shù)學(xué)到隨機(jī)數(shù)學(xué)等是數(shù)學(xué)思想方法的幾次重要突破.概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量.古典概型是最簡單的概率模型,可以直接計(jì)算相關(guān)事件的概率.需要注意的是,只有在試驗(yàn)結(jié)果是有限的、每個結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的特征下,才能定義出古典概型中隨機(jī)事件發(fā)生的概率.因此,本節(jié)課通過拋擲兩枚骰子、連續(xù)拋擲硬幣三次等試驗(yàn),讓學(xué)生借助樹狀圖、列表格等方式,列出樣本空間,找到所有的樣本點(diǎn),并找到符合題中事件的樣本點(diǎn),從而進(jìn)行古典概型概率的計(jì)算.

    現(xiàn)實(shí)中還有大量隨機(jī)事件不能像古典概型一樣直接計(jì)算概率,要利用頻率來估計(jì).因此,從單元的角度來看,本節(jié)課亦上承“確定性”,即通過確定隨機(jī)事件中樣本點(diǎn)數(shù)量和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個數(shù)來計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率,下啟“隨機(jī)性”,即通過增加試驗(yàn)的次數(shù),得到隨機(jī)事件發(fā)生的頻率是概率的近似值.

    4.2 借鑒數(shù)學(xué)史,找尋必要性

    古典概型涉及的歷史素材主要是博弈問題,于是筆者結(jié)合數(shù)學(xué)史提出:卡當(dāng)認(rèn)為,拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,押7點(diǎn)最有利.這一數(shù)學(xué)史問題一下就吸引住了學(xué)生,為什么數(shù)學(xué)家覺得押7點(diǎn)最有利?是否有科學(xué)依據(jù)?如何驗(yàn)證?這一系列的問題就涌現(xiàn)出來了.在講解了古典概型的概念與計(jì)算公式后,再次讓學(xué)生探討這一問題,學(xué)生便能夠很清楚地講解其中的原理.

    數(shù)學(xué)家史密斯認(rèn)為:“數(shù)學(xué)史為數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供重要借鑒.”數(shù)學(xué)史提供了探究的機(jī)會,并通過古今數(shù)學(xué)方法的對比,拓寬學(xué)生的思維,激發(fā)學(xué)生的興趣.[1]數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育是一項(xiàng)有趣的工作,可以從歷史上數(shù)學(xué)知識演進(jìn)的關(guān)鍵進(jìn)程中尋找數(shù)學(xué)家突破的方法,從而以適切的方式引入課堂教學(xué),找尋新知引入的必要性.

    4.3 古典概型是數(shù)學(xué)學(xué)科德育的重要載體

    《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出“數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人、發(fā)展素質(zhì)教育的功能”,并將“學(xué)生發(fā)展為本,立德樹人,提升素養(yǎng)”作為課程基本理念.古典概型是數(shù)學(xué)學(xué)科德育的重要載體,它不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力,也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)文化意識的優(yōu)質(zhì)題材.例如,2019年全國卷理科數(shù)學(xué)選擇題第6題,就是以《周易》中的卦象為背景考查古典概型的[2].

    本節(jié)課利用書本中的思考內(nèi)容,結(jié)合當(dāng)下新高考中的多選題這一新題型的特點(diǎn),用古典概型解決了單選題和多選題哪種更難猜對的問題,再指出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)腳踏實(shí)地,夯實(shí)基礎(chǔ),這里便滲透了數(shù)學(xué)學(xué)科德育,既培養(yǎng)了理性思維,又加強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念.

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