2021年高考試題中的數(shù)學(xué)文化

范佳清 張維忠 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004)

數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類(lèi)文明的重要組成部分．?dāng)?shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展；還包括了數(shù)學(xué)在人類(lèi)生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中作出的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》強(qiáng)調(diào)高考試題要融入與滲透數(shù)學(xué)文化[1]．《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》強(qiáng)調(diào)高考數(shù)學(xué)在考查過(guò)程中增加自然科學(xué)、人文與社會(huì)科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域以及現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)文化中的材料作為試題背景，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成和發(fā)展[2]．為此，本文圍繞2021年高考中的有關(guān)數(shù)學(xué)文化的試題進(jìn)行分析討論，以期為高考數(shù)學(xué)試題編擬和數(shù)學(xué)文化教學(xué)提供啟示與借鑒．

1 試題特征

2021年全國(guó)各地共有10套高考數(shù)學(xué)試卷，包括全國(guó)甲卷、全國(guó)乙卷的文科卷和理科卷，新高考卷I，新高考卷II，北京卷，上海卷，浙江卷，天津卷．其中，有關(guān)數(shù)學(xué)文化的試題共有17題(文、理科卷中相同的試題視為一道)．

借鑒張維忠等的研究，按照內(nèi)容類(lèi)型將高考試題中的數(shù)學(xué)文化分為數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)、數(shù)學(xué)與科技、數(shù)學(xué)與生活以及數(shù)學(xué)史[3]，將呈現(xiàn)形式分為附加型、可分離型、不可分離型[4]．

從表1可以看出：從內(nèi)容類(lèi)型上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)與生活類(lèi)的試題占了大多數(shù)，涉及扶貧、視力問(wèn)題、生產(chǎn)等公共生活方面的內(nèi)容，把社會(huì)問(wèn)題融入到學(xué)生的學(xué)習(xí)生活中，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注民生問(wèn)題，樹(shù)立家國(guó)意識(shí)，彰顯立德樹(shù)人的教育之本．從呈現(xiàn)形式上來(lái)說(shuō)，試題主要通過(guò)可分離型進(jìn)行呈現(xiàn)，說(shuō)明數(shù)學(xué)文化類(lèi)試題仍需要注重與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)，避免背景素材強(qiáng)硬地“附加”．

表1 2021年全國(guó)高考數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化試題特征

2 試題欣賞與評(píng)析

2.1 以數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)為背景

評(píng)析剪紙是中國(guó)最古老的民間藝術(shù)形式之一，能給人一種視覺(jué)上透空的感覺(jué)和藝術(shù)享受.剪紙作為一種原始藝術(shù)的載體，通過(guò)運(yùn)用夸張變形的手法，將不同空間、時(shí)間的物像進(jìn)行組合．此題以民間剪紙為背景，引入數(shù)列問(wèn)題，為數(shù)列問(wèn)題找到了真實(shí)的文化背景和現(xiàn)實(shí)意義，體現(xiàn)了數(shù)列知識(shí)與藝術(shù)的相關(guān)性及數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．考生可以在感受中國(guó)傳統(tǒng)文化藝術(shù)的基礎(chǔ)上，抽象出其中的相關(guān)數(shù)列知識(shí)，發(fā)現(xiàn)對(duì)折后所得不同規(guī)格圖形的種數(shù)呈等差數(shù)列，對(duì)折后單個(gè)規(guī)格圖形的面積呈等比數(shù)列，很容易通過(guò)等差、等比數(shù)列相乘得到面積和．該題的重點(diǎn)在于對(duì)具體文化信息的理解和分析的能力，考查了考生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

2.2 以數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)為背景

例2(新高考卷II第21題)一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列．設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)．P(X=i)=pi(i=1,2,3)．

(1)已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)≤1時(shí)，p=1，E(X)>1時(shí)，p<1；

(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義．

評(píng)析如今國(guó)內(nèi)外的競(jìng)爭(zhēng)越來(lái)越體現(xiàn)在科技的競(jìng)爭(zhēng)，生物科學(xué)的發(fā)展也是科學(xué)技術(shù)中不可或缺的一部分．?dāng)?shù)學(xué)教育在科技創(chuàng)新和人才培養(yǎng)上的作用也不言而喻．該題以一種微生物的繁殖作為背景，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)在生物科學(xué)中的重要地位，考生通過(guò)相應(yīng)的概率求解公式即可解答，難度不大.該題考查了考生的問(wèn)題理解和分析的能力以及數(shù)據(jù)分析能力．

2.3 以數(shù)學(xué)與生活為背景

圖1

A.346 B.373 C.446 D.473

評(píng)析珠穆朗瑪峰是世界上海拔最高的山峰，珠穆朗瑪峰的高度一直是世界關(guān)注的問(wèn)題．此題以珠穆朗瑪峰的高度測(cè)量為背景，介紹了三角高程測(cè)量法，引入了立體幾何問(wèn)題，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)與地理的緊密聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義．考生可以根據(jù)題目中給出的三角高程測(cè)量法的示意圖，借助線線關(guān)系、線面關(guān)系等立體幾何知識(shí)構(gòu)建計(jì)算模型，將題目的自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言．題目計(jì)算難度不大，重點(diǎn)在于考查考生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模與空間想象能力．

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

評(píng)析此題以社會(huì)廣泛關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題作為背景，介紹了視力的五分記錄法和小數(shù)記錄法，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)與社會(huì)發(fā)展的密切聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值與現(xiàn)實(shí)意義．該題考查了函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，考生可根據(jù)題中給出的函數(shù)解析式，通過(guò)代入L值再進(jìn)行化簡(jiǎn)后即可解答．該題考查的函數(shù)知識(shí)難度不大，但向考生傳遞了社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活．

2.4 以數(shù)學(xué)史為背景

例5(全國(guó)乙卷第9題)魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海島的高．如圖2，點(diǎn)E,H,G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面而且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱(chēng)為“表高”，EG稱(chēng)為“表距”，GC和EH都稱(chēng)為“表目距”，GC與EH的差稱(chēng)為“表目距的差”，則海島的高AB=( )．

圖2

評(píng)析《海島算經(jīng)》是中國(guó)學(xué)者編撰的最早的一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作，為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．該數(shù)學(xué)史背景強(qiáng)調(diào)了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義，讓考生感受了中國(guó)古代數(shù)學(xué)測(cè)量的魅力．考生需要正確理解題干中的“表高”“表距”“表目距”等信息，結(jié)合幾何圖形解答.該題主要考查了學(xué)生對(duì)信息的理解和分析的能力、數(shù)學(xué)建模能力及數(shù)學(xué)抽象能力．

3 對(duì)命題的建議

3.1 巧妙融入人文藝術(shù)與數(shù)學(xué)史，傳遞文化價(jià)值，彰顯數(shù)學(xué)魅力

數(shù)學(xué)史具備實(shí)用性，能夠展示數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程，也包含美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)、智力好奇、趣味娛樂(lè)等等，可以讓師生感受到數(shù)學(xué)文化的多元性[5]；而人文藝術(shù)與數(shù)學(xué)的融合能充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)的審美價(jià)值．根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，試題類(lèi)型中含有人文藝術(shù)和數(shù)學(xué)史的較少；為了充分利用數(shù)學(xué)史、人文藝術(shù)的文化價(jià)值，命題者可將它們用歷史資料或者圖片的形式靈活地呈現(xiàn)出來(lái)，通過(guò)結(jié)合并借助數(shù)學(xué)文化中的人文精神來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的思維，提高信息的理解和分析的能力．

3.2 采用合適的呈現(xiàn)形式，展現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值

數(shù)學(xué)文化情境的呈現(xiàn)形式對(duì)于考查學(xué)生的核心素養(yǎng)有重要作用.2021年全國(guó)高考數(shù)學(xué)文化類(lèi)試題的呈現(xiàn)形式主要以可分離型為主，命題者需要增加高考數(shù)學(xué)試題與實(shí)際生活、社會(huì)生產(chǎn)的聯(lián)系，適當(dāng)?shù)夭捎貌豢煞蛛x型的試題，讓學(xué)生通過(guò)文化理解數(shù)學(xué)或者用數(shù)學(xué)解決文化中固有的問(wèn)題，展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用價(jià)值、科學(xué)價(jià)值、人文價(jià)值和美學(xué)價(jià)值．

3.3 設(shè)計(jì)多樣化題型，拓寬數(shù)學(xué)文化的滲透路徑

當(dāng)前數(shù)學(xué)文化題型多以選擇題和填空題為主，題型較為單一．命題者可以結(jié)合學(xué)生的實(shí)際和考試的效度選擇豐富的數(shù)學(xué)文化素材，設(shè)計(jì)相應(yīng)的選擇填空題和解答題；解答題的題干較長(zhǎng)、隱含信息較多，比較注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用，與題干簡(jiǎn)潔的選擇填空題相結(jié)合，信息提取難易均衡分布，數(shù)學(xué)文化滲透自然．