基于網(wǎng)絡(luò)研修的“有理數(shù)乘法”課例生成*

左培培 (上海市浦東模范中學(xué)東校 201209)

邵愛娣 (華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

孫丹丹 (華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 200241)

1 引言

信息時(shí)代背景下，網(wǎng)絡(luò)教研已成為具有時(shí)代特色的教師專業(yè)發(fā)展新模式[1]．網(wǎng)絡(luò)教研活動(dòng)不受時(shí)空的限制，教師可根據(jù)需要隨時(shí)隨地進(jìn)行研討交流，共享教育信息與資源[2]．第一屆初中教師HPM網(wǎng)絡(luò)研修即是在此背景下產(chǎn)生的一種以數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育(簡(jiǎn)稱HPM)為抓手的教師線上研修模式．具體而言，教師在線專業(yè)學(xué)習(xí)共同體由兩個(gè)子團(tuán)體構(gòu)成，一是全國各地六十余位一線初中數(shù)學(xué)教師，二是高校教師、碩博士和若干HPM實(shí)踐專家型一線教師；研修活動(dòng)持續(xù)約一年時(shí)間，主要圍繞9個(gè)初中教學(xué)主題展開，教師線上閱讀學(xué)習(xí)相關(guān)歷史素材，借助視頻會(huì)議平臺(tái)研討基于歷史的教學(xué)設(shè)計(jì)，線下實(shí)施課例，線上分享學(xué)生反饋及教學(xué)體會(huì)，共同體成員在網(wǎng)絡(luò)互動(dòng)中學(xué)習(xí)、交流、反思．

“有理數(shù)的乘法”是HPM網(wǎng)絡(luò)研修班的研修課例之一，研修圍繞分析與準(zhǔn)備、設(shè)計(jì)與改進(jìn)、實(shí)施與反饋、整理與寫作四個(gè)環(huán)節(jié)展開．其中，在設(shè)計(jì)與改進(jìn)環(huán)節(jié)，研修班依次組織了在線小組討論、研修班教師集體討論、高校研討，以不斷完善設(shè)計(jì)并最終形成HPM課例．已經(jīng)有研究詳細(xì)呈現(xiàn)了基于數(shù)學(xué)史的有理數(shù)乘法教學(xué)設(shè)計(jì)[3]，完成的課例成品可以為教學(xué)提供參考，HPM課例生成的過程也同樣值得研究[4]，這個(gè)過程可以體現(xiàn)運(yùn)用數(shù)學(xué)史進(jìn)行“有理數(shù)乘法”教學(xué)設(shè)計(jì)可能存在的問題、改進(jìn)的方法、改進(jìn)的緣由等，最后生成的課例也是對(duì)已有課例的豐富和完善．鑒于此，本文將呈現(xiàn)有理數(shù)乘法HPM課例生成的過程及生成過程中的思考，以期給HPM視角下的初中階段有理數(shù)教學(xué)提供啟示．

2 分析與準(zhǔn)備

2.1 問題分析

“有理數(shù)的乘法”在滬教版初中數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第五章《有理數(shù)》第六節(jié)第一課時(shí)，它既是有理數(shù)加減法的深入，也是有理數(shù)除法、有理數(shù)乘方等運(yùn)算的基礎(chǔ)．這一節(jié)首先在思考1中呈現(xiàn)了四個(gè)問題： 2×1=?(-2)×1=?2×(-1)=?(-2)×(-1)=?而后提示：2×1=2，(-2)×1=-2，一個(gè)數(shù)乘以1等于這個(gè)數(shù)本身．2×(-1)=(-1)+(-1)=-2，一個(gè)正數(shù)乘以(-1)等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．進(jìn)而拋出問題：(-2)×(-1)=?進(jìn)一步思考：(-4)×3=?(-4)×(-3)=?之后在思考2中給出汽車行駛的現(xiàn)實(shí)情境，規(guī)定向東行駛為正、向西行駛為負(fù)、幾小時(shí)后為正、幾小時(shí)前為負(fù)，得出四個(gè)算式2×80=160，2×(-80)=-160，(-2)×80=-160，(-2)×(-80)=160，從而總結(jié)正負(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則，最后歸納0和正負(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，得到有理數(shù)乘法法則．

實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生往往已經(jīng)知道正負(fù)數(shù)相乘法則，加之思考1“一個(gè)數(shù)乘以1等于這個(gè)數(shù)本身，一個(gè)正數(shù)乘以-1等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”的引導(dǎo)，學(xué)生基本可以說出(-4)×3=-12，(-4)×(-3)=12．所以，接下來的思考2主要是用運(yùn)動(dòng)情境解釋這個(gè)法則．由于運(yùn)動(dòng)情境較為復(fù)雜，教師一般先幫助學(xué)生規(guī)定好“向東行駛為正，幾小時(shí)后為正”，然后通過行駛過程中速度、時(shí)間和路程的關(guān)系得到四個(gè)算式，讓學(xué)生嘗試歸納兩數(shù)相乘的符號(hào)法則，最后通過練習(xí)強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用有理數(shù)乘法法則進(jìn)行運(yùn)算的能力．

這節(jié)課的教學(xué)往往存在如下幾個(gè)問題：(1)很多學(xué)生正式學(xué)習(xí)前已經(jīng)了解過有理數(shù)乘法，學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)不足；(2)思考1如果只是為了引出課題就顯得有些冗余，其中承載的很多信息沒有充分運(yùn)用；(3)運(yùn)動(dòng)情境有一定難度，實(shí)際教學(xué)往往只是“走過場(chǎng)”式地解釋一下，把整節(jié)課絕大部分時(shí)間都放到了運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算上．相關(guān)調(diào)查也顯示，只有不超過11.5%的學(xué)生可以對(duì)“負(fù)負(fù)得正”法則給出合理的解釋[5]．因此，在教學(xué)實(shí)踐中如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)并引導(dǎo)學(xué)生理解“負(fù)負(fù)得正”法則的合理性，是教師面對(duì)的難題．

2.2 史料學(xué)習(xí)

“有理數(shù)乘法”的相關(guān)歷史由網(wǎng)絡(luò)研修班專用微信小程序推送，共包含6則素材．素材一主要介紹名人對(duì)“負(fù)負(fù)得正”緣由的困惑，19世紀(jì)法國作家司湯達(dá)(Stendhal，1783—1843)、法國昆蟲學(xué)家和文學(xué)家法布爾(H．Fabre，1823—1915)、我國“雜交水稻之父”袁隆平等都曾對(duì)“負(fù)負(fù)得正”產(chǎn)生過疑問，試圖尋求解釋[6][7]．例如司湯達(dá)小時(shí)候很喜歡數(shù)學(xué)，但他的老師迪皮伊先生教到“負(fù)負(fù)得正”這個(gè)運(yùn)算法則時(shí)，司湯達(dá)不理解法則背后的緣由，他希望老師能對(duì)此作出解釋．面對(duì)司湯達(dá)的提問，迪皮伊先生“只是不屑一顧地莞爾一笑”，而補(bǔ)習(xí)學(xué)校的夏貝爾先生也只得不斷重復(fù)課程內(nèi)容，說負(fù)數(shù)如同欠債.可一個(gè)人該怎樣把10 000法朗的債與500法朗的債乘起來，才能得到5 000 000法朗的收入呢？司湯達(dá)被“負(fù)負(fù)得正”困擾了很久，最后只能無奈地接受了它．

素材二主要用負(fù)債、運(yùn)動(dòng)、水箱、熱氣球、好人進(jìn)城等生活模型解釋有理數(shù)乘法的合理性．美國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家M·克萊因(M.Kline,1908—1992)認(rèn)為：“如果借助物理意義，負(fù)數(shù)運(yùn)算以及負(fù)數(shù)和正數(shù)混合運(yùn)算是很容易理解的．”他最早用債務(wù)解釋“負(fù)負(fù)得正”：假定某人每天欠債5美元，可記為-5，在給定日期他身無分文，記為0美元，那么在給定日期3天前(記為-3)，他有財(cái)產(chǎn)15美元，用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述即(-3)×(-5)=+15[8]．除了負(fù)債，還有其他情境，比如，一個(gè)大水箱底部接著一根排水管，現(xiàn)在水箱裝有若干升水，假設(shè)排水管以每小時(shí)6升的速度排水，記為-6，則8小時(shí)前(記為-8)，水箱的水比現(xiàn)在多48升，記為+48，用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述即(-6)×(-8)=+48[9]．當(dāng)前滬教版教科書呈現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)情境也是歷史上常用的模型之一．一個(gè)與前面情境略有不同的例子是所謂“好人進(jìn)城”模型．在一個(gè)城鎮(zhèn)中居住著許多居民，如果規(guī)定好人為正，則壞人為負(fù)，進(jìn)城為正，則出城為負(fù)，好事為正，則壞事為負(fù)，于是壞人(-)出了城(-)，對(duì)于城鎮(zhèn)來說是好事(+)，用數(shù)學(xué)語言表示即“負(fù)負(fù)得正”[8]．

素材三主要用乘法意義拓廣、公式拓廣、相反數(shù)、歸納、分配律等數(shù)學(xué)模型解釋有理數(shù)乘法的合理性．如早期教科書中出現(xiàn)的乘法意義拓廣的解釋：兩數(shù)相乘，乘數(shù)為正時(shí)，連加被乘數(shù)；乘數(shù)為負(fù)時(shí)，連減被乘數(shù)，由此得到“負(fù)負(fù)得正”．

(+4)×(+3)=+(+4)+(+4)+(+4)=+12；

(-4)×(+3)=+(-4)+(-4)+(-4)=-12；

(+4)×(-3)=-(+4)-(+4)-(+4)=-12；

(-4)×(-3)=-(-4)-(-4)-(-4)=+12．[10]

Benedict(1877)的歸納法取等差數(shù)列+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4，先將各項(xiàng)分別乘以+3，觀察所得等差數(shù)列的規(guī)律，得出“負(fù)正得負(fù)”，再將數(shù)列各項(xiàng)分別乘以-3，觀察新數(shù)列的規(guī)律，得出“負(fù)負(fù)得正”[11]．所謂相反數(shù)法，則是將(-a)×b和(-a)×(-b)看作一對(duì)相反數(shù)，若已知前者為負(fù)，則后者必為正．歐拉在《代數(shù)基礎(chǔ)》(1821)中先通過債務(wù)的倍數(shù)來說明正負(fù)得負(fù)：將-a視為債務(wù)，取3次，則債務(wù)必變成3倍，故(-a)×3=-3a．一般地，有(-a)×b=-ab(a>0,b>0)，故“正負(fù)得負(fù)”．由于(-a)>(-b)要么等于ab，要么等于-ab，但已證(-a)×b=-ab，故(-a)×(-b)=ab[12]．有些“負(fù)負(fù)得正”的解釋方法運(yùn)用(或逆用)了乘法分配律，F(xiàn)·克萊因稱之為“半邏輯證明”．例如，(a-a)×d=[a+(-a)]×d=ad+(-a)d=0，故(-a)×d=-ad；(a-a)×(-d)=a×(-d)+(-a)×(-d)=-ad+(-a)×(-d)=0，故(-a)×(-d)=ad[13]．

素材四介紹了以上現(xiàn)實(shí)情境及數(shù)學(xué)情境都只是對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的合理性做解釋，并非嚴(yán)格意義的邏輯證明．19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家漢克爾(H.Hankel,1839—1873)早就告訴我們：在形式化的算術(shù)中，“負(fù)負(fù)得正”是不能證明的．?dāng)?shù)學(xué)家F·克萊因也提出忠告：“我請(qǐng)求你們不要把不可能的證明講得似乎成立．”[14]“負(fù)負(fù)得正”只是一種規(guī)定，規(guī)定的合理性可以通過多種模型解釋，更為本質(zhì)的一個(gè)原因是數(shù)系擴(kuò)充所遵循的原則之一是運(yùn)算律的無矛盾性，雖然我們可以規(guī)定“負(fù)負(fù)得負(fù)”，但那意味著我們至少要放棄正整數(shù)集所滿足的其中一個(gè)運(yùn)算律．

素材五和素材六分別介紹了東西方文明中的負(fù)數(shù)與負(fù)負(fù)得正．在東方，13世紀(jì)我國數(shù)學(xué)家朱世杰明確提出負(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則，7世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多規(guī)定了負(fù)數(shù)加減乘除法則[15]．在西方，負(fù)數(shù)和正負(fù)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)展相對(duì)更加艱難，自13世紀(jì)負(fù)數(shù)及其運(yùn)算傳入西方，歷經(jīng)幾百年排斥和矛盾，直至19世紀(jì)才被比較普遍地接受[16]．

3 設(shè)計(jì)與改進(jìn)

3.1 初步設(shè)計(jì)

基于研修班提供的相關(guān)歷史素材，結(jié)合自身實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，筆者初步完成了教學(xué)設(shè)計(jì)(I)，見表1．

表1 “有理數(shù)的乘法”教學(xué)設(shè)計(jì)(I)

教學(xué)目標(biāo) (1)通過現(xiàn)實(shí)情境，理解有理數(shù)乘法的實(shí)際意義，歸納有理數(shù)的乘法法則，初步感受有理數(shù)乘法法則的合理性；(2)掌握有理數(shù)乘法的符號(hào)法則，并能熟練地進(jìn)行有理數(shù)乘法運(yùn)算；(3)通過具體算式歸納一般法則，提高歸納概括能力．了解數(shù)學(xué)家的相關(guān)故事，感悟質(zhì)疑的精神，培養(yǎng)科學(xué)求真的態(tài)度．

教學(xué)重點(diǎn) 掌握有理數(shù)的乘法法則，并能熟練進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算．

教學(xué)難點(diǎn) 理解有理數(shù)乘法法則的合理性．

3.2 集體研討與改進(jìn)

3.2.1集體研討

初步設(shè)計(jì)完成后，先在小組內(nèi)進(jìn)行了分享交流，之后研修班的全體教師針對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)各個(gè)環(huán)節(jié)展開線上視頻討論．經(jīng)過討論，筆者意識(shí)到初步教學(xué)設(shè)計(jì)并沒有體現(xiàn)數(shù)學(xué)史的深度融入，對(duì)歷史材料的解讀只是停留在講述故事和補(bǔ)充模型的層面上，沒有給予學(xué)生思考模型和討論的機(jī)會(huì)．具體來說，討論達(dá)成的共識(shí)及筆者反思如下：

(1)對(duì)教材中思考1的處理，教材提到“一個(gè)數(shù)乘以1等于這個(gè)數(shù)本身，一個(gè)正數(shù)乘以(-1)等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”，這兩句話都不是基本事實(shí)，只是猜想．乘法的意義目前只適用于正數(shù)，不能在有負(fù)數(shù)參與的乘法運(yùn)算中，貿(mào)然采用非負(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算律．

(2)學(xué)生對(duì)于“負(fù)負(fù)得正”的理解無疑是困難的，此時(shí)教師不要直接給學(xué)生講解模型，而是適時(shí)把司湯達(dá)的故事拋出，讓他們來想辦法幫助司湯達(dá)解釋困惑．這樣可以一下子鎖住學(xué)生的目光，激發(fā)學(xué)生內(nèi)心的求知欲，產(chǎn)生解決這一問題的內(nèi)心驅(qū)動(dòng)力，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)思考的積極性．

(3)教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該落實(shí)在為什么“負(fù)負(fù)得正”上．學(xué)生利用法則進(jìn)行計(jì)算并不難，難的是為什么負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)結(jié)果反而變成了正數(shù)，如果不弄清楚法則規(guī)定的合理性，學(xué)生會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)是“不講理”的，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中便不會(huì)主動(dòng)去探求其他數(shù)學(xué)規(guī)則的合理性．

(4)提出具有挑戰(zhàn)性的問題，讓學(xué)生以小組合作的方式對(duì)司湯達(dá)的困惑進(jìn)行探討，思考有理數(shù)乘法的實(shí)際意義，嘗試解釋有理數(shù)乘法法則的合理性，呈現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)新思維，還可以和古人的方法產(chǎn)生思想的交匯．

3.2.2修正后的教學(xué)設(shè)計(jì)

反思研討的相關(guān)議題及修改建議后，筆者對(duì)教學(xué)目標(biāo)、重難點(diǎn)和教學(xué)過程做了修正．其中教學(xué)目標(biāo)(1)和(2)不變，教學(xué)目標(biāo)(3)改為“通過法國著名作家司湯達(dá)的歷史小故事，培養(yǎng)學(xué)生的探究質(zhì)疑精神，感受數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系”．教學(xué)難點(diǎn)不變，教學(xué)重點(diǎn)改為“用合理的模型解釋負(fù)負(fù)得正”．修正后的教學(xué)設(shè)計(jì)見表2．

表2 “有理數(shù)的乘法”教學(xué)設(shè)計(jì)(II)

3.3 高校研討與改進(jìn)

3.3.1高校研討

在高校研討中，設(shè)計(jì)者首先介紹了教學(xué)設(shè)計(jì)與困惑，高校研究者和資深的HPM教學(xué)實(shí)踐者對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)提出了改進(jìn)建議．討論后達(dá)成的共識(shí)及筆者反思如下：

(1)復(fù)習(xí)引入部分，對(duì)學(xué)生預(yù)設(shè)的問題進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整．原設(shè)計(jì)預(yù)設(shè)的是學(xué)生能回答9個(gè)算式中的6個(gè)，不能回答含負(fù)數(shù)的3個(gè)算式，但實(shí)際上學(xué)生很有可能會(huì)全部回答出來，這時(shí)候可以緊接著提出問題：為什么“負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)會(huì)等于正數(shù)”呢？并順勢(shì)將司湯達(dá)等名人的故事前置，這樣一開始就可以聚焦問題的核心．

(2)在用現(xiàn)實(shí)情境解釋有理數(shù)乘法法則的過程中，舉兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘的例子是困難的．為了啟發(fā)學(xué)生通過現(xiàn)實(shí)模型說明法則合理性，可以從復(fù)習(xí)負(fù)數(shù)的本質(zhì)或?qū)嶋H意義入手，引導(dǎo)學(xué)生開放思維，尋找多樣的具有相反意義的量，再上升到二維的負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)．

(3)本節(jié)課涉及的模型較多，模型的選擇上不要求全，而要易于被學(xué)生理解．模型太多會(huì)導(dǎo)致課時(shí)容量過大，無法講完既定內(nèi)容，上課節(jié)奏過快也會(huì)使得學(xué)生無法真正理解每個(gè)模型的本質(zhì)，因此需要精簡(jiǎn)課上呈現(xiàn)的模型數(shù)量．

(4)現(xiàn)實(shí)模型是教師或?qū)W生在數(shù)學(xué)課堂中經(jīng)常使用的解釋方式之一，從數(shù)學(xué)本身入手是解釋法則合理性的重要角度，有必要讓學(xué)生了解保持運(yùn)算律也是數(shù)學(xué)中引入法則的主要依據(jù)之一．可以在結(jié)尾用微視頻的方式給予數(shù)學(xué)解釋，課下提供學(xué)生相關(guān)數(shù)學(xué)解釋的閱讀材料使其體會(huì)合理性．

(5)設(shè)計(jì)開放性的課后作業(yè)，讓學(xué)生思考更多的解釋方式．這樣的課后探究性作業(yè)使得有限的課堂得以延續(xù)，為學(xué)生提供更多的探究機(jī)會(huì)，為學(xué)生的個(gè)性發(fā)展提供了充分的空間，使學(xué)生有不同的數(shù)學(xué)發(fā)展，其開放性想法可得到相互補(bǔ)充啟發(fā)．

3.3.2修正后的教學(xué)設(shè)計(jì)

結(jié)合高校研討中的修改建議及自我反思，筆者對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)(II)作了修正，見表3．

表3 “有理數(shù)的乘法”教學(xué)設(shè)計(jì)(III)

教學(xué)目標(biāo)(1)和(2)不變，教學(xué)目標(biāo)(3)改為：“通過介紹法國作家司湯達(dá)的歷史小故事，培養(yǎng)學(xué)生的探究質(zhì)疑精神，建立數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系；通過小組合作討論，感受方法之美、探究之樂，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力．”教學(xué)重難點(diǎn)仍采用集體研討后的修正版．

4 實(shí)施與反饋

前段時(shí)間受疫情影響，上海市中小學(xué)實(shí)行線上教學(xué)，模式是空中課堂結(jié)合線上直播互動(dòng)教學(xué)．有理數(shù)的乘法這節(jié)課的空中課堂時(shí)長(zhǎng)21分鐘，直播互動(dòng)教學(xué)時(shí)長(zhǎng)15分鐘．由于直播課時(shí)間有限，筆者實(shí)施了教學(xué)設(shè)計(jì)(III)片段．首先通過列舉生活實(shí)例回顧說明負(fù)數(shù)的意義，接著討論了司湯達(dá)的歷史故事和美國數(shù)學(xué)家M·克萊因的債務(wù)模型．課后對(duì)兩個(gè)任教班級(jí)的76名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，收回問卷75份．調(diào)查顯示，約84%的學(xué)生可以理解負(fù)數(shù)的意義；約76%的學(xué)生能正確進(jìn)行有理數(shù)的乘法計(jì)算，清楚說出有理數(shù)乘法法則并做出解釋；約94.6%的學(xué)生認(rèn)為，“負(fù)負(fù)得正”不難，很有趣，歷史解釋有助于理解“負(fù)負(fù)得正”的合理性．

在開放性的課后作業(yè)中，學(xué)生對(duì)“負(fù)負(fù)得正”給出了很多解釋，可以歸為兩類；一類圍繞生活情境展開，如有學(xué)生提到砍樹問題和排水問題(圖1、圖2)．有學(xué)生把得到記為正、失去記為負(fù)，把支票記為正、欠條記為負(fù)，那么失去了一張欠條就是好事，所以“負(fù)負(fù)得正”．有些學(xué)生的解釋反映出學(xué)生可能混淆了負(fù)負(fù)相乘得正和正數(shù)相反數(shù)的相反數(shù)得正，這需要教師在后續(xù)教學(xué)中引起足夠重視．如有學(xué)生想到體育課中的四面轉(zhuǎn)體動(dòng)作，一個(gè)負(fù)號(hào)可理解為向后轉(zhuǎn)180°，另一個(gè)負(fù)號(hào)可理解為又向后轉(zhuǎn)180°，此時(shí)又轉(zhuǎn)回了原來的方向．也有學(xué)生用語文學(xué)科中的雙重否定表示肯定來解釋，“負(fù)”可理解為否定，“負(fù)負(fù)”可理解為雙重否定，而正可理解為肯定．

圖1

圖2

另一類借助數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律展開，有學(xué)生想到了相反數(shù)模型，兩個(gè)有理數(shù)相乘，如果改變其中一個(gè)因數(shù)的符號(hào)，積的符號(hào)也會(huì)隨之改變(圖3)．有學(xué)生利用數(shù)軸進(jìn)行了解釋：除了0以外，所有的有理數(shù)乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，相當(dāng)于先把這個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，在數(shù)軸上繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°(相當(dāng)于乘以-1)，再擴(kuò)大或者縮小相應(yīng)的倍數(shù)．有學(xué)生以乘法對(duì)加法的分配律為前提，通過具體數(shù)字運(yùn)算說明負(fù)負(fù)要得正，否則會(huì)出現(xiàn)矛盾，也有學(xué)生直接把正數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算律擴(kuò)充到有理數(shù)集得到“負(fù)負(fù)得正”(圖4、圖5)．還有學(xué)生使用乘法意義拓廣法，忽略(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd中a>b和c>d的條件，得到“負(fù)負(fù)得正”(圖6)．

圖3

圖4

5 反思與啟示

基于本次“有理數(shù)的乘法”課例研究，教師反思了整個(gè)過程，得到以下啟示．

(1)精讀數(shù)學(xué)發(fā)展史，促進(jìn)學(xué)生深層理解．實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，有的學(xué)生表面上是接受了“負(fù)負(fù)得正”，但并沒有真正理解．研究數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史本源對(duì)教師認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重難點(diǎn)是十分有利的．以“有理數(shù)乘法”為例，不僅要教會(huì)學(xué)生計(jì)算“負(fù)負(fù)得正”，更重要的是選擇適切的數(shù)學(xué)史料，合理地解釋“負(fù)負(fù)得正”，讓學(xué)生真正對(duì)數(shù)學(xué)概念有深刻的認(rèn)識(shí)，這種理解是刷題無法產(chǎn)生的效應(yīng)．

(2)給學(xué)生探索空間，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性．教師不能把固定的思維方式強(qiáng)加給學(xué)生，剝奪學(xué)生探索的機(jī)會(huì)．有理數(shù)乘法是一個(gè)非常開放的主題，有十分多樣的解釋方法，如果限定教材上的運(yùn)動(dòng)模型，并且規(guī)定好運(yùn)動(dòng)方向和時(shí)間正負(fù)，就封鎖了學(xué)生發(fā)揮的空間，限制了學(xué)生思考，進(jìn)而造成被動(dòng)學(xué)習(xí)．在這節(jié)課的教學(xué)中可以適當(dāng)留白，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，使其潛能得到最大限度的發(fā)揮．

(3)換位思考，理解學(xué)生．司湯達(dá)、袁隆平的學(xué)習(xí)體驗(yàn)讓教師在教學(xué)中不再急于讓學(xué)生接受法則，而是不斷地給出生活中的情景讓學(xué)生慢慢感受“負(fù)負(fù)得正”．因?yàn)閷W(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的差別，教師往往從自己的視角來看學(xué)生的學(xué)習(xí)，于是很多內(nèi)容變得“十分簡(jiǎn)單”，從而忽視了學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，了解歷史發(fā)展有利于教師摒棄自我中心的視角，更好地理解學(xué)生的想法，據(jù)此設(shè)計(jì)教學(xué)，給過快的教學(xué)節(jié)奏減速．

(4)精耕課堂，細(xì)作教學(xué)，秉承初心．有理數(shù)乘法的教學(xué)不應(yīng)該淪為有理數(shù)乘法法則的應(yīng)用，要傳授有文化的數(shù)學(xué)，打造有情趣的課堂，培養(yǎng)有無限生命力和創(chuàng)造力的學(xué)生．

歷史故事有利于鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑求真的理性精

神，啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考，探索“負(fù)負(fù)得正”合理性可以培養(yǎng)學(xué)生探究的能力，真正體會(huì)“做數(shù)學(xué)”的樂趣，不同時(shí)空的多元解釋可以開拓學(xué)生視野，讓不同學(xué)生有機(jī)會(huì)獲得不同發(fā)展，這都是本節(jié)課可以達(dá)成的教育價(jià)值．

致謝：感謝汪曉勤教授、栗小妮博士、賈彬老師、王進(jìn)敬老師及研修班同行的悉心指導(dǎo)與幫助．