最小二乘法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

吳小平

摘要：如何利用數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題是將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際的關(guān)鍵，通常需要將問(wèn)題進(jìn)行數(shù)據(jù)離散化處理，然后根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇不同的數(shù)學(xué)分析方法建立合適的函數(shù)關(guān)系。最小二乘法就是通過(guò)誤差平方最小時(shí)產(chǎn)生的限定條件，從而得到最佳擬合曲線(xiàn)的方法。本文通過(guò)最小二乘法的學(xué)習(xí)，探究如何利用實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生將理論與實(shí)踐相結(jié)合。

關(guān)鍵詞：最小二乘法? ?數(shù)學(xué)建模? ?函數(shù)關(guān)系

數(shù)學(xué)建模是解決實(shí)際問(wèn)題的有效方法，數(shù)學(xué)建模需要將問(wèn)題抽象化，建立函數(shù)關(guān)系式。首先需要確定的是所假設(shè)的條件，通過(guò)合適的數(shù)學(xué)方法對(duì)不同變量之間的關(guān)系進(jìn)行描述，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具進(jìn)行問(wèn)題的分析與測(cè)試，從而得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)，然后利用建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算，將得到的結(jié)果進(jìn)一步分析。因此，學(xué)生在進(jìn)行最小二乘法學(xué)習(xí)時(shí)要明確其原理，將模型理論與實(shí)際情形進(jìn)行對(duì)比，使得到的結(jié)果具有準(zhǔn)確性、合理性、適用性。一直以來(lái)，數(shù)學(xué)作為一種實(shí)用性學(xué)科在我們?nèi)粘Ｉ钆c生產(chǎn)中都發(fā)揮著舉足輕重的作用，并與其他學(xué)科之間存在密切聯(lián)系，促進(jìn)其他學(xué)科發(fā)展。

一、數(shù)學(xué)建模理論與應(yīng)用

模型的概念是對(duì)原型的抽象描述，而數(shù)學(xué)建模實(shí)際上就是將生活中的實(shí)際問(wèn)題抽象化，然后根據(jù)所獲的數(shù)據(jù)解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問(wèn)題。其根本目的是將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將復(fù)雜的實(shí)際情況抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模既是數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題之間溝通的橋梁，也是數(shù)學(xué)在各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛的工具。如解決生活生產(chǎn)、消費(fèi)休閑等實(shí)際問(wèn)題時(shí)需要從定量的角度進(jìn)行分析，需要深入觀察所研究問(wèn)題的固有特征、信息資料，然后針對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象化，再對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，引入相關(guān)數(shù)學(xué)符號(hào)、變量、參數(shù)等，通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述實(shí)際問(wèn)題，將結(jié)果反饋到實(shí)際問(wèn)題中總結(jié)規(guī)律。

二、數(shù)學(xué)建模與最小二乘法

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)分析方法的應(yīng)用已經(jīng)不僅僅局限在物理、化學(xué)等自然學(xué)科，還在經(jīng)濟(jì)、管理等社會(huì)學(xué)科中得到了廣泛的應(yīng)用，數(shù)學(xué)知識(shí)在越來(lái)越多的領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用，其中數(shù)學(xué)建模就是數(shù)學(xué)分析方法中比較常見(jiàn)的一種。數(shù)學(xué)建模是將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題通過(guò)細(xì)致的觀察與分析，進(jìn)行深入的研究與探討。數(shù)據(jù)與曲線(xiàn)擬合是模型參數(shù)估計(jì)、實(shí)驗(yàn)誤差分析的重要方法，而最小二乘法是解決以上問(wèn)題的有效方法之一。從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，最小二乘法是一種近似求解方法，首先就是大量觀察實(shí)際事件，然后對(duì)事件結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而獲得最佳估計(jì)或最可能發(fā)生的結(jié)果。因此，在教學(xué)最小二乘法時(shí)教師要為學(xué)生提供有效的教學(xué)情境，建立數(shù)學(xué)模型，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣和抽象概括能力。

在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到給定兩個(gè)變量，根據(jù)相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)尋找兩個(gè)變量之間的擬合函數(shù)的問(wèn)題，學(xué)生可以通過(guò)該函數(shù)對(duì)類(lèi)似情況做出相應(yīng)的判斷，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納整理，總結(jié)規(guī)律。在解決類(lèi)似問(wèn)題的時(shí)候，讓擬合函數(shù)兩個(gè)變量的值偏差平方和最小，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合所得到的最佳擬合數(shù)據(jù)方法被稱(chēng)為最小二乘法。

三、利用最小二乘法求線(xiàn)性回歸方程的步驟

最小二乘法主要用來(lái)求解兩個(gè)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的變量的回歸方程，該方法適用于求解與線(xiàn)性回歸方程相關(guān)的問(wèn)題，求解回歸直線(xiàn)方程并應(yīng)用它分析預(yù)報(bào)變量的取值等，解決此類(lèi)問(wèn)題一般分為以下幾個(gè)步驟：第一步，分析數(shù)據(jù)，即分析相關(guān)數(shù)據(jù)，求得相關(guān)系數(shù)r或利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線(xiàn)性關(guān)系，則需要將變量轉(zhuǎn)化成線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系。第二步，建立模型，根據(jù)題意確定兩個(gè)變量，結(jié)合數(shù)據(jù)分析的結(jié)果，建立回歸模型。第三步，確定參數(shù)，利用回歸直線(xiàn)y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式求得b、a的值，從而確定線(xiàn)性回歸方程。第四步，求預(yù)測(cè)值，將已知的解釋變量的值代入線(xiàn)性回歸方程y=bx+a中即可求得y的估計(jì)值。但是在回歸直線(xiàn)方程的求解與應(yīng)用中，要注意兩個(gè)方面：一是求解回歸直線(xiàn)方程時(shí)，利用樣本中心點(diǎn)一定在回歸直線(xiàn)上這一特點(diǎn)來(lái)求解相關(guān)參數(shù)的值。二是在回歸直線(xiàn)方程的應(yīng)用中，利用線(xiàn)性回歸方程求得的數(shù)值是一個(gè)估計(jì)值，而不是一個(gè)準(zhǔn)確值，可以用它來(lái)預(yù)測(cè)結(jié)果。

四、最小二乘法應(yīng)用

在“最小二乘估計(jì)”教學(xué)中，所探究的問(wèn)題是如何尋找一條直線(xiàn)可以更加合理地描述散點(diǎn)圖兩個(gè)變量之間的線(xiàn)性關(guān)系，通過(guò)最小二乘法可以尋找到這條線(xiàn)，然后根據(jù)所得到的直線(xiàn)預(yù)測(cè)實(shí)際結(jié)果，所以在教學(xué)中教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)聯(lián)想，通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析建立數(shù)學(xué)模型。如分析身高與鞋碼之間存在的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系時(shí)，教師可在班上現(xiàn)場(chǎng)隨機(jī)收集部分學(xué)生的鞋碼和身高數(shù)據(jù)，組織學(xué)生進(jìn)行討論與比較，不同的學(xué)生選取的數(shù)據(jù)是不同的，擬合的線(xiàn)性方程也是不同的，然后通過(guò)所獲得真實(shí)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，可以看到變化趨勢(shì)，再由最小二乘法估計(jì)問(wèn)題最優(yōu)參數(shù)。這可以讓學(xué)生體會(huì)到，在實(shí)際應(yīng)用中即使是同一個(gè)問(wèn)題，選取相同的樣本數(shù)，由于選取的樣本的隨機(jī)性決定了不同的人擬合出來(lái)的線(xiàn)性方程可能不相同，這是可能的，也是允許的。在教學(xué)中，教師要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，不斷提高學(xué)生獨(dú)立思考的能力。

當(dāng)研究的問(wèn)題是非線(xiàn)性時(shí)，比如在數(shù)學(xué)建模課程中常見(jiàn)的人口模型、汽車(chē)剎車(chē)距離模型、傳染病模型等，那么在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)往往需要分析實(shí)際問(wèn)題，對(duì)其加以處理之后建立模型，部分非線(xiàn)性問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性問(wèn)題處理。如果通過(guò)最小二乘法處理的數(shù)據(jù)計(jì)算量較大時(shí)，可以利用計(jì)算器輔助完成計(jì)算。同時(shí)，在實(shí)際計(jì)算中，采用相同方法最終所得到的計(jì)算結(jié)果可能存在一定的差異，因此為了保證預(yù)測(cè)結(jié)果更加可靠，選取的樣本要有代表性，并且所選擇的樣本容量要盡可能大，這樣最終所得到的數(shù)據(jù)才更有意義。

綜上所述，采用數(shù)學(xué)建模并將其應(yīng)用于最小二乘法中是解決實(shí)際問(wèn)題的有力手段。數(shù)學(xué)建?？梢詫?shí)際生活中的復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、數(shù)據(jù)化，利用數(shù)學(xué)中常用的公式、參數(shù)、變量等數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述實(shí)際生活，并通過(guò)最小二乘法擬合線(xiàn)性、非線(xiàn)性關(guān)系，可以高效地解決實(shí)際問(wèn)題。

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[2]鄭小洋， 魏正元.最小二乘法的原理以及在數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)中的作用[J]. 課程教育研究， 2015（15）：2.◆（作者單位：江西師范大學(xué)附屬中學(xué)）