幾何代數(shù)熔一爐 向量恒等式溝通數(shù)與形

彭翕成 張景中,2

(1.華中師范大學(xué) 國(guó)家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 430079； 2.廣州大學(xué) 計(jì)算科技研究院, 510006)

解析幾何的建立，使得幾何問(wèn)題能轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題，從而按部就班地操作，也可以認(rèn)為是架構(gòu)了一座從幾何通向代數(shù)的橋梁.反之，如何基于解析幾何從代數(shù)通向幾何？這方面的研究，似乎還比較少見.一座橋梁，當(dāng)然最好是兩邊互通，而不是單向的.我們研究發(fā)現(xiàn)，向量幾何，特別是向量恒等式能很好地溝通數(shù)形關(guān)系.之前的研究[1-10]已詳細(xì)介紹基于點(diǎn)幾何，從幾何題出發(fā)生成代數(shù)恒等式的案例.本文重點(diǎn)介紹如何從代數(shù)通向幾何.

下面先給出一些代數(shù)恒等式(含條件恒等式)，單看這些代數(shù)式，可能會(huì)覺得枯燥乏味，但認(rèn)識(shí)到這些代數(shù)式的幾何意義之后，則會(huì)改變看法.這樣的多角度審視，會(huì)使得數(shù)學(xué)變得豐富多彩.因?yàn)楸疚闹攸c(diǎn)在于介紹代數(shù)與幾何之間的轉(zhuǎn)化，因此對(duì)所給代數(shù)式不加證明，請(qǐng)有興趣的讀者自證.

1 一次恒等式

單純從代數(shù)式角度來(lái)看，此式實(shí)在簡(jiǎn)單.但若從點(diǎn)幾何的角度來(lái)看，短短式子，等價(jià)于幾何命題：四邊形中，一組對(duì)邊平行且相等的充要條件是另一組對(duì)邊平行且相等.四邊形對(duì)邊平行且相等的充要條件是四邊形的對(duì)角線相互平分.

詳細(xì)寫出：A-B=D-C?A-D=B-C

圖1

=(A-B)+(D-C).

圖2

(3)如果AB∥CD，此時(shí)四邊形為梯形，AB∥CD∥MN，2MN=AB+DC表示梯形的中位線定理.

(4)如果AB∥CD，且C、D兩點(diǎn)錯(cuò)位(圖3)，此時(shí)四邊形為梯形，AB∥CD∥MN，2MN=AB-DC表示梯形兩對(duì)角線的中點(diǎn)的連線平行于底邊且等于兩底差的一半.

圖3

圖4

幾何意義：如圖5，已知M、N為平面內(nèi)任意四邊形一組對(duì)邊AD、BC的中點(diǎn)，A1、A2三等分AB，D1、D2三等分DC.求證：MN被A1D1、A2D2三等分且A1D1、A2D2又被MN平分.

圖5

幾何意義：如圖6，△ABC中，在各邊上作三等分點(diǎn)，這些三等分點(diǎn)與對(duì)邊頂點(diǎn)連接后，產(chǎn)生交點(diǎn)X、Y、Z、U、V、W，求證：XU、YV、ZW交于一點(diǎn).

圖6

幾何意義：如圖7，任意六邊形ABCDEF，AB、CD、EF各邊中點(diǎn)構(gòu)成的三角形的重心，AF、BC、DE各邊中點(diǎn)構(gòu)成的三角形的重心，△ABF的重心與△CDE重心的中點(diǎn)，……求證：這些點(diǎn)重合.

圖7

說(shuō)明：A、B、C、D、E、F六點(diǎn)無(wú)需共面.點(diǎn)的個(gè)數(shù)越多，可組合的形式也越多.讀者可自行嘗試一些組合.

2 二次恒等式

例8設(shè)a、b、c、d四數(shù)成等比數(shù)列，求證：

(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.

這是一道數(shù)列題，看似與幾何題風(fēng)馬牛不相及.根據(jù)題目生成恒等式[(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2-(a-d)2]-2(b2-ac)-2(c2-bd)-2(ad-bc)=0.

例9證明：

(a+b+c-d)2+(a+b-c+d)2+

(a-b+c+d)2+(-a+b+c+d)2

=4(a2+b2+c2+d2).

為使得幾何意義更加明顯，改寫恒等式為

a2+ad+d2=b2+bc+c2.

根據(jù)題目生成恒等式：

[(a-d)2-(b-c)2]+

[(a+b+c)(b+c+d)-

(c+d+a)(d+a+b)]-3(bc-ad)=0.

幾何意義：四邊形ABCD中，O是任意點(diǎn)，M、N、P、Q分別是△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的重心，若AD=BC，求證：

例11已知b2+c2=a2，求證：

根據(jù)題目生成恒等式：

幾何意義：如圖8，G是△ABC的重心，四邊形BCAD、CABE、ABCF是平行四邊形，O是任意點(diǎn)，求證：

圖8

幾何意義：G是△ABC的重心，四邊形BCAD、CABE、ABCF是平行四邊形，O是任意點(diǎn)，求證：9OG2+OD2+OE2+OF2=4(OA2+OB2+OC2).

例13(ay-bx)(cw-dz)+(az-cx)(dy-bw)+(aw-dx)(bz-cy)=0.

取其特例，設(shè)x=y=z=1，w=2，即

(A-B)(2C-D)+(B-C)(2A-D)

+(C-A)(2B-D)=0.

幾何意義：如圖9，△ABC中,O為任意點(diǎn)，延長(zhǎng)OA至X，使得OX=2OA，延長(zhǎng)OB至Y，使得OY=2OB，延長(zhǎng)OC至Z，使得OZ=2OC，分別過(guò)X、Y、Z向BC、CA、ZK作垂線，則三條垂線交于點(diǎn)D.

圖9

說(shuō)明：當(dāng)取其他系數(shù)時(shí)，幾何意義有所不同.特別地當(dāng)x=y=z=w=1，(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)+(C-A)(B-D)=0時(shí)，此式的幾何意義為垂心定理，而且A、B、C、D四點(diǎn)地位相等，可將D(A、B、C)看成是△ABC(△BCD、△CDA、△DAB)的垂心.從這容易引出垂心組的概念：以三點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，另一點(diǎn)為該三角形的垂心的四點(diǎn)稱為垂心組.垂心組中的四點(diǎn),每一點(diǎn)都可為其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心.

例14(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2+(ay-bx)2+(bz-cy)2+(cx-az)2.

取其特例，設(shè)x=y=z=1，即

A2+B2+C2

其幾何意義就是著名的萊布尼茨公式：G為△ABC的重心,P為任意點(diǎn)，則

=3PG2+GA2+GB2+GC2.

能否將a和x都看作是點(diǎn)？以目前我們的研究來(lái)說(shuō)，不行，因?yàn)闊o(wú)法解釋a2x2.也就是兩點(diǎn)之間可定義乘法為向量?jī)?nèi)積，三個(gè)點(diǎn)(更多點(diǎn))之間如何定義乘法，使得幾何意義明顯，還有待進(jìn)一步研究.因此本文所涉及的僅為一次和二次代數(shù)恒等式.

下面也是一個(gè)經(jīng)典代數(shù)恒等式，其幾何意義留與讀者練習(xí).

(a2+b2+c2+d2)(x2+y2+z2+t2)

=(ax+by+cz+dt)2+(ay-bx+ct-dz)2+(az-bt-cx+dy)2+(at+bz-cy-dx)2

=(ax+by+cz+dt)2+(ay-bx)2+(az-cx)2+(at-dx)2+(bz-cy)2+(bt-dy)2+(ct-dz)2

我們甚至可以“隨手”寫一些恒等式，然后去解讀幾何意義.

圖10

解讀此恒等式比較簡(jiǎn)單，只要選擇原點(diǎn)O在BC中垂線上，設(shè)O=0，則上述恒等式的幾何意義：如圖11，四邊形ABCD，E、F、G分別是CD、BA、AD的中點(diǎn)，O是BC中垂線上的點(diǎn)，作平行四邊形FOEN，求證：GN⊥BC.

圖11

例17如圖12，在△ABC中，設(shè)BC為最大邊，在BC上取點(diǎn)P、Q，滿足BA=BQ，CA=CP，求證：PQ2=2BP·QC?AB⊥AC.

圖12

證法1設(shè)a=BC，b=CA=CP，c=BA=BQ，BP=a-b，PQ=-a+b+c，QC=a-c，根據(jù)恒等式(-a+b+c)2-2(a-b)(a-c)=b2+c2-a2，命題得證.

證法2設(shè)A=0，則

[(P-Q)2-2(B-P)(Q-C)]-2BC+[C2-(C-P)2]+[B2-(B-Q)2]=0.

例18(A-C)2+(B-D)2-(A-B)2-(C-D)2-2(B-C)(A-D)=0.

幾何意義1：四邊形ABCD中，AD⊥BC，求證：AC2+BD2=AB2+CD2.

幾何意義2：梯形ABCD中，AD∥BC，求證：AC2+BD2=AB2+CD2+2BC·AD.

3 小結(jié)

不論數(shù)學(xué)如何發(fā)展，數(shù)形之間的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化，都是一個(gè)非?；竞椭匾膯?wèn)題.本文中的大量案例表明，向量恒等式確實(shí)在數(shù)形之間架構(gòu)了一座橋梁，數(shù)形結(jié)合更加緊密，有助于幾何、代數(shù)之間的融合.人類研究初等數(shù)學(xué)幾千年，積累了大量的代數(shù)式和幾何題.如果按照本文的方法，基于代數(shù)式生成幾何題或基于幾何題生成代數(shù)式，幾何和代數(shù)攜起手來(lái),兩者都會(huì)變得更加豐富多彩.