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    數(shù)學(xué)問題解答

    2021-08-06 02:59:18任迪慧,張小林
    數(shù)學(xué)通報 2021年6期
    關(guān)鍵詞:朝陽區(qū)四邊形均值

    2021年5月號問題解答

    (解答由問題提供人給出)

    2601(1)題目在第5期刊出后,供題人安振平老師又復(fù)核了問題,發(fā)現(xiàn)題目中的條件a+b+c=abc是多余的,故在解答中去除.在此我們對安老師的認真細致表示感謝!已知a,b,c∈R,求證:

    (a2+1)(b2+1)(c2+1)≥(ab+bc+ca-1)2.

    (陜西省咸陽師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院 安振平 712000)

    證明已構(gòu)造復(fù)數(shù)z1=1+ai,z2=1+bi,z3=1+ci,則

    (a2+1)(b2+1)(c2+1)=(|z1||z2||z3|)2

    =|z1z2z3|2

    =|(1+ai)(1+bi)(1+ci)|2

    =|[(1-ab)+(a+b)i](1+ci)|2

    =|(1-ab-bc-ca)+(a+b+c-abc)i|2

    =(1-ab-bc-ca)2+(a+b+c-abc)2

    ≥(ab+bc+ca-1)2,

    所以(a2+1)(b2+1)(c2+1)≥(ab+bc+ca-1)2.

    2602已知,在△ABC中, ∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,點F1,F(xiàn)2在BC上,且∠CAF1=∠BAF2,AF1,AF2與CD分別交于點E1,E2.

    (北京市朝陽區(qū)教育研究中心 蔣曉東 100028;北京市朝陽區(qū)芳草地國際學(xué)校富力分校 郭文征 100121)

    證明如圖,因為∠ACB=90°,

    所以∠CAF1+∠AF1C=90°.

    因為CD⊥AB,

    所以∠BAF2+∠AE2D=90°.

    因為∠CAF1=∠BAF2,

    所以∠AE2D=∠AF1C.

    又∠AE2D=∠E1E2F2,

    所以∠AF1C=∠E1E2F2.

    從而E1,E2,F(xiàn)2,F(xiàn)1四點共圓.

    所以CE1·CE2=CF1·CF2.

    因為∠CAF1=∠BAF2,

    所以AF1,AF2為△ABC的∠CAB的內(nèi)等角線.

    由三角形的內(nèi)等角線定理,得

    ?AC2[BC2-BC(CF1+CF2)+CF1·CF2]

    =AB2·(CF1·CF2)

    當(dāng)且僅當(dāng)∠CAB的內(nèi)等角線合并為∠CAB的平分線時,不等式中的等號成立.

    (天津水運高級技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

    那么就有

    又由熟知的歐拉比公式

    我們可得

    (1)

    利用三元均值定理及兩個熟知的三角公式

    即不等式(1)成立,故原不等式成立.

    2604已知a,b,c>0,且abc=1.

    (湖北省公安縣第一中學(xué) 楊先義 434300)

    (2)由于abc=1,所以a,b,c必有不大于1者,不妨設(shè)0

    則f(a)是減函數(shù),

    當(dāng)且僅當(dāng)a=1取等號,此時bc=1,

    綜上所述,使不等式

    (安徽省六安第二中學(xué) 陶興紅 237005 )

    解過A作AD⊥BC,垂足為D,

    由tanB=4tanC,可得

    可設(shè)BD=x,CD=4x,AD=h,

    則由勾股定理得

    b2=16x2+h2,c2=x2+h2,

    所以由均值不等式得

    2021年6月號問題

    (來稿請注明出處——編者)

    2606設(shè)凸四邊形ABCD的邊長和對角線長分別為BC=a,CD=b,DA=c,AB=d,AC=m,BD=n,四邊形的面積為Δ,則

    (a+c)2+(c+d)2-m2-n2≥4Δ,

    當(dāng)且僅當(dāng)四邊形為正方形時等號成立.

    (山東省泰安市寧陽第一中學(xué) 劉才華 271400)

    2607設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為

    (河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467001)

    2608已知a,b,c∈R,且a,b,c中至多一個為0,則有

    ≥ab+bc+ca.

    (云南省大理州漾濞縣第一中學(xué) 秦慶雄 范花妹 672500)

    (浙江臺州市洪家中學(xué) 鄔天泉 318015)

    2610設(shè)任意△ABC的三邊長,對應(yīng)的三中線分別為a、b、c,mambmc,則有

    當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時等號成立.

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