基于問題驅(qū)動的高中數(shù)學(xué)探究性教學(xué)
——以雙曲線拓展教學(xué)為例

陸 恬 沈新權(quán)

(1.浙江省桐鄉(xiāng)茅盾高級中學(xué) 314500；2.浙江省嘉興市第一中學(xué) 314050)

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).提倡獨立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展.”[1]同時國務(wù)院辦公廳印發(fā)的《關(guān)于新時代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》一文在創(chuàng)新教學(xué)組織管理中提出：“積極探索基于情境、問題導(dǎo)向的互動式、啟發(fā)式、探究式、體驗式等課堂教學(xué)，注重加強(qiáng)課題研究、項目設(shè)計、研究性學(xué)習(xí)等跨學(xué)科綜合性教學(xué)，認(rèn)真開展驗證性實驗和探究性實驗教學(xué)”[2].這給我們高中數(shù)學(xué)教師提供了新的教學(xué)思路：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).”[1]

2 案例呈現(xiàn)

2.1 問題提出

在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，隨著知識的不斷深入與完善，不免會遇到學(xué)習(xí)上的困惑.比如在解析幾何中，我們學(xué)習(xí)了雙曲線之后，善于思考的學(xué)生就會產(chǎn)生困惑，初中階段學(xué)的反比例函數(shù)也叫雙曲線，那么高中階段的雙曲線與初中階段的雙曲線是不是同一種類型的曲線呢? 還有沒有其它的雙曲線方程形式呢?

對于學(xué)生的這種疑問，我們要抓住契機(jī)，在課堂上，利用學(xué)生的困惑進(jìn)行探索，最終啟發(fā)學(xué)生通過解析幾何中的雙曲線的定義來判斷初高中所講的雙曲線是不是同一種類型的曲線.

2.2 探究反比例函數(shù)、一次分式型函數(shù)與雙曲線的關(guān)系

探索：引導(dǎo)學(xué)生從雙曲線的定義出發(fā)，尋找兩個定點，使得反比例函數(shù)圖象上的任意一點到這兩個定點的距離之差的絕對值為定值(且定值小于這兩個定點間的距離).

設(shè)M(x,y)是C上的任意一點，我們?nèi)ふ覂蓚€定點P(x1,y1)，Q(x2,y2)，使得||MP|-|MQ||為定值.

如何尋找P(x1,y1)，Q(x2,y2)？從哪里開始入手？我們學(xué)過的雙曲線的定義和幾何性質(zhì)能不能給我們提供一些啟發(fā)？

學(xué)生：對于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程來講，這兩個定點是在雙曲線的對稱軸上的.

教師：那么曲線C有沒有對稱軸呢？

學(xué)生：有的，曲線C的對稱軸就是直線y=x，這樣我們需要尋找的點的坐標(biāo)可以簡單的設(shè)為P(m,m)，Q(n,n)，而且由雙曲線的幾何性質(zhì)我們知道這兩個定點是關(guān)于原點對稱的，因此，進(jìn)一步可以把所尋找的定點的坐標(biāo)設(shè)為P(m,m)，Q(-m,-m)，從而||MP|-|MQ||=

教師：為了考查||MP|-|MQ||能否為常數(shù)，我們從哪里入手？

到這里，學(xué)生先前的疑問得以解決，不少學(xué)生的思維可能就到此為止了，但實際上要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究，這僅僅是開始.接下來，我們繼續(xù)創(chuàng)設(shè)情境，聯(lián)系舊知，引發(fā)猜想，進(jìn)一步提出問題，為學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)與活動創(chuàng)造條件.

拓展2 探討坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)公式

學(xué)生：就像物理中觀察物體時所用的參照系一樣，它們方程之間的差異在于坐標(biāo)系的不同.如果適當(dāng)?shù)母淖冏鴺?biāo)系，我覺得它們的方程應(yīng)該可以是一樣的.

教師：對，很好！這樣的思考，跨度就比較大了，它涉及到坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的概念.坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)對我們來講是新的概念，但這一步不是不可跨越.就像這位學(xué)生說的，坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)就是參照系的變化引起點的坐標(biāo)的變化，從而引起曲線方程的變化.

說明：這個環(huán)節(jié)，如果沒有教師的引導(dǎo)，學(xué)生就很難進(jìn)行下去，所以，教師可以進(jìn)一步啟發(fā).

教師：不改變坐標(biāo)的位置和單位長度，只改變坐標(biāo)軸方向的坐標(biāo)系的變換，叫做坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)，我們首先需要解決的問題是把坐標(biāo)軸繞著原點O旋轉(zhuǎn)一定的角度后，直角坐標(biāo)系中的點是如何變化的？

設(shè)點M在原坐標(biāo)xOy中的坐標(biāo)為(x,y)，坐標(biāo)軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角以后，坐標(biāo)系變成x′Oy′，設(shè)點M在新的坐標(biāo)系x′Oy′下的坐標(biāo)為(x′,y′).現(xiàn)在的問題是，我們?nèi)绾稳ふ襵′,y′與x,y之間的關(guān)系？

此時，教師可以適度啟發(fā)：點M到原點的距離不變，坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)，變化的是角度，因此，我們的切入點在哪里？

通過坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)我們得到了平面直角坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)公式，下面我們就利用這個旋轉(zhuǎn)公式來探討一次分式型函數(shù)與雙曲線的關(guān)系.

對于反比例函數(shù)而言，它的對稱軸所在的直線方程是y=±x，而雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，其對稱軸所在的直線方程是x,y軸，如果我們把x,y軸旋轉(zhuǎn)到與y=±x重合，會發(fā)生什么情況呢？

化簡可得x′2-y′2=2k.

教師：由此可見，經(jīng)過坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)以后反比例函數(shù)的解析式與等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程在形式上是一致的.

2.3 探究對勾函數(shù)與雙曲線的關(guān)系

我們可以先從如下的問題作為探究起點.

問題：點P到兩定點A(1,2)與B(-1,-2)的距離差的絕對值等于4，求點P的軌跡方程.

2.4 雙曲線的一般方程

拓展5 從上面的探討可知，一次分式型函數(shù)與對勾函數(shù)都是雙曲線，那么中心在原點的雙曲線的一般方程又是什么

(b2cos2θ-a2sin2θ)x′2+(b2sin2θ-a2cos2θ)y′2+2sinθcosθ(a2+b2)x′y′=a2b2.(*)

由此得到如下結(jié)論：

3 教學(xué)思考

3.1 反思成為探究的起跑點

探究性學(xué)習(xí)可以引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識的反思.比如，在學(xué)生原先的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，反比例函數(shù)、對勾函數(shù)，雙曲線分別在代數(shù)和幾何中以獨立的形式存在，通過雙曲線的拓展教學(xué)，學(xué)生進(jìn)行反思，能夠發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)、對勾函數(shù)、雙曲線本質(zhì)上是一樣的，它們原本屬于同一種幾何圖形.這樣的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步加深了學(xué)生對原有知識和知識體系的認(rèn)識，從而可以進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的研究思路與方法的反思.在雙曲線的拓展教學(xué)中，我們經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)相似——舉例實驗——探索驗證——生成結(jié)論這一系列的過程，這個過程不僅完善了雙曲線這一知識體系，而且可以啟發(fā)學(xué)生在進(jìn)行代數(shù)與幾何中的相關(guān)問題研究時，我們常常采用的方法是以“形”來發(fā)現(xiàn)，以“數(shù)”來驗證，以此來推動學(xué)生邏輯思維的順利展開，而這也是科學(xué)研究的方法之一.

3.2 內(nèi)化成為素養(yǎng)的發(fā)動機(jī)

再有，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)到的是知識還是智慧，這取決于學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的內(nèi)化程度.學(xué)習(xí)論認(rèn)為，我們不僅要學(xué)習(xí)知識，更要把知識轉(zhuǎn)化成智慧，而積極的參與交流是知識轉(zhuǎn)化為智慧的路徑之一.“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，這說明理不辯不明，知識不討論不探索印象就不深.所以學(xué)生的探究性活動是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題和任務(wù)，全身心參與的學(xué)習(xí)活動，它非常注重知識間的關(guān)聯(lián)性、層次性和整體性，因此更能夠體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的價值，可以加快學(xué)生對所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、方法與思想的內(nèi)化，也更有助于學(xué)生分析問題、解決問題能力的提高，從而逐步提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).

3.3 評價成為學(xué)習(xí)的催化劑

首先，探究式的課堂教學(xué)應(yīng)該是在教師的引導(dǎo)下，以問題串為主線，通過有效的提問驅(qū)動學(xué)生的思維，學(xué)生在探索過程中，或“發(fā)現(xiàn)”結(jié)論，或探索失敗，這都是正常的現(xiàn)象.在這一過程中，教師要給予及時的點評與反饋，并且不斷地關(guān)注學(xué)生的思維動態(tài)，進(jìn)行持續(xù)性的評價，可以推動學(xué)生不斷的進(jìn)行反思.評價既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過程.通過評價，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生認(rèn)識自我，從而實現(xiàn)學(xué)生對整個學(xué)習(xí)過程的反思.因此，師生在一起探索過程中，教師的評價不僅有利于鼓勵學(xué)生探索問題的積極性，而且更能夠促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深入思考.

4 結(jié)束語

探究性的學(xué)習(xí)活動是學(xué)生成就自我的學(xué)習(xí)，是學(xué)生對知識渴求的一種內(nèi)驅(qū)力，體現(xiàn)的是學(xué)生的主體性，教師在其中的引領(lǐng)作用不可或缺.在基于問題導(dǎo)向的探究式的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師的引導(dǎo)、啟發(fā)和評價是為了促進(jìn)學(xué)生的感知、體驗和參與，促進(jìn)學(xué)生的反思和探索，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理性思維的發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生學(xué)科核心思維的養(yǎng)成，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).這其實就是數(shù)學(xué)教學(xué)的魅力所在．