HPM研究的框架與進展①

王 鑫 岳增成 汪曉勤

(1. 成都市樹德中學(xué) 610031; 2. 杭州師范大學(xué)教育學(xué)院 311121;3. 華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 引言

1972年開始作為國際數(shù)學(xué)教育大會(ICME)研究小組、1976年開始成為國際數(shù)學(xué)教育委員會(ICMI)國際附屬研究小組的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育(History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM)，是數(shù)學(xué)教育中成立最早且較為重要的研究領(lǐng)域之一.然而，直到2005年西安第一屆全國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會議的召開，才標志著HPM開始進入我國學(xué)術(shù)界的視野.近些年來，HPM在國內(nèi)受到了廣泛關(guān)注，一方面，通過中國知網(wǎng)檢索發(fā)現(xiàn)，2010年以來每年與之相關(guān)的文獻超過100篇，另一方面，以國內(nèi)最有影響力的數(shù)學(xué)教育類期刊之一《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》為例，2010年后載文下載頻次前20的論文中，就有6篇與數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化對數(shù)學(xué)教育的作用有關(guān)[1].但是，目前HPM在國內(nèi)的發(fā)展也存在一些問題，比如對已有研究不關(guān)注，研究方法缺乏科學(xué)性，缺少數(shù)學(xué)史家與一線數(shù)學(xué)教師的合作，缺少對學(xué)生認知發(fā)展的關(guān)注等[2].因此，有必要梳理國內(nèi)HPM的大致發(fā)展脈絡(luò)，以引領(lǐng)我國HPM學(xué)科的發(fā)展.

2 基于實踐的HPM理論框架

20世紀上葉，一些歐美數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家、數(shù)學(xué)教育家，如F·克萊因(C. F. Klein，1849～1925)、卡約黎(F. Cajori，1859～1930)、史密斯(D. E. Smith，1860～1944)、波利亞(G. Polya，1887～1985)、弗賴登塔爾(H. Freudenthal，1905～1990)等大力提倡在數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)學(xué)史，正是由于這些先驅(qū)者的不懈推動，HPM成為了國際數(shù)學(xué)教育的新思潮，并發(fā)展出了為何與如何之探討、教育取向之歷史研究、歷史相似性實證研究、教學(xué)實踐與案例開發(fā)、HPM與教師專業(yè)發(fā)展、數(shù)學(xué)史融入教科書研究等研究方向.21世紀初HPM理念傳入中國后，起初，高校研究者以純數(shù)學(xué)史研究為主，并介紹一些國外HPM理論，中小學(xué)一線教師則主要通過講述數(shù)學(xué)家的奇聞軼事來激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，因此，HPM進入中國的早期階段，理論與實踐處于分離狀態(tài).在這樣的大背景下，汪曉勤教授受華東師范大學(xué)原校長劉佛年教授“教育研究工作者要深入實際，參加教育工作的調(diào)查和學(xué)校的教育試驗”的啟示，從2007年開始扎根中小學(xué)一線，與中小學(xué)數(shù)學(xué)教師合作開發(fā)HPM課例，目前已開發(fā)100余個課例，內(nèi)容涵蓋代數(shù)、幾何、解析幾何、三角和微積分等內(nèi)容.在豐富的實踐經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，逐步形成了以教育取向的數(shù)學(xué)史研究和關(guān)于HPM的理論探討為基礎(chǔ)，以HPM課例開發(fā)為核心，包括HPM課例應(yīng)用、案例教學(xué)、課例分析等在內(nèi)的，具有中國特色的HPM研究體系(如圖1).

圖1 國內(nèi)HPM研究體系

關(guān)于HPM的理論探討，主要包括“數(shù)學(xué)史的教育價值”與“數(shù)學(xué)教學(xué)中如何運用數(shù)學(xué)史”兩個方面，學(xué)術(shù)界對此都缺乏統(tǒng)一的分析框架.

對于前者，F(xiàn)auvel總結(jié)了數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)學(xué)史可以增加學(xué)生的學(xué)習(xí)動機、使數(shù)學(xué)不那么可怕、有助于發(fā)展多元文化等15條理由[4]；Tzanakis和Arcavi從五個方面總結(jié)了數(shù)學(xué)史的教育價值：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)、教師的背景知識、數(shù)學(xué)情感、作為文化活動的數(shù)學(xué)[5]；Gulikers和Blom從概念、文化、動機三個視角分別論述了數(shù)學(xué)史對于學(xué)生和教師的教育價值[6]；Jankvist則從“工具”和“目標”兩個維度進行分類，其中“工具”又分為“認知”和“情感”兩個子維度[7].在國外對HPM教育價值研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合我國數(shù)學(xué)教育中“四基”、“四能”、“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”、“情感信念”等目標，構(gòu)建了中國的HPM教育價值體系(見圖2).下面結(jié)合初中HPM課例“三角形內(nèi)角和”來說明數(shù)學(xué)史的教育價值.課堂伊始，教師講述了泰勒斯(Thales，公元前6世紀)到朋友家做客，偶然觀察到地板上鑲嵌的三角形地磚的故事，并設(shè)計拼圖活動，在課堂上再現(xiàn)泰勒斯當年探究和發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和的過程，滲透了從特殊到一般的思想，可見數(shù)學(xué)史有助于揭示數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展的自然性，體現(xiàn)了知識之諧的價值；學(xué)生受拼圖的啟發(fā)，聯(lián)想到輔助線的多種做法，與畢達哥拉斯(Pythagoras，公元前6世紀)、克萊羅(Clairaut，1713～1765)、歐幾里得(Euclid，公元前3世紀)等數(shù)學(xué)家以及19世紀末美國教科書上的證明方法不謀而合，這些不同的證明思路體現(xiàn)了方法之美；數(shù)學(xué)史上的問題為學(xué)生提供了探究機會，有助于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，獲得成功的體驗，體現(xiàn)了探究之樂；三角形內(nèi)角和定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程揭示了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的多元性，體現(xiàn)了文化之魅；學(xué)生與古代數(shù)學(xué)家“對話交流”，數(shù)學(xué)家仿佛成了課堂上一名額外的學(xué)生，有助于學(xué)生樹立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，體現(xiàn)了德育之效；此外，在基于歷史的活動中，學(xué)生獨立思考、小組合作、數(shù)學(xué)交流等能力也有所提升，體現(xiàn)出了能力之助.

圖2 中國的HPM教育價值體系的構(gòu)建[8]

對于后者，F(xiàn)auvel提出講述過去數(shù)學(xué)家的奇聞軼事、為學(xué)生介紹新概念的歷史、開展數(shù)學(xué)史課等十種具體的運用方式[4]；Tzanakis和Arcavi總結(jié)出三種方式：直接運用法、間接運用法即發(fā)生教學(xué)法、開發(fā)對數(shù)學(xué)及其社會文化背景的深刻意識[5]；Jankvist則歸納出另三種方式：啟發(fā)法、模塊法和基于歷史法[7].在國外理論探討的基礎(chǔ)上，結(jié)合我國豐富的實踐經(jīng)驗，對國外的分類方法進行了整合與改進，總結(jié)出了數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)學(xué)史的四種方式：附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式[9].下面結(jié)合高中HPM課例“數(shù)列的概念”來分析這四種方式的內(nèi)涵及其應(yīng)用.在情景引入環(huán)節(jié)中，古巴比倫泥版上的月相表、萊因德紙草書上的貓和老鼠趣味問題都是直接源于數(shù)學(xué)史上的問題，在數(shù)學(xué)史的運用方式上屬于復(fù)制式，另外，教師將數(shù)學(xué)史上原本的約瑟夫問題改編為10人圍成一圈按照特定規(guī)則點數(shù)做游戲的問題，貼近學(xué)生生活，易于學(xué)生理解和接受，該用法屬于順應(yīng)式.在最后的拓展環(huán)節(jié)，教師介紹了數(shù)列與谷神星的發(fā)現(xiàn)之間的奧秘，去掉后對教學(xué)內(nèi)容幾乎沒有影響，這種情況則屬于附加式.又如初中“三角形中位線定理”，整節(jié)課利用三角形土地分割問題將中位線概念的產(chǎn)生、中位線性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)、中位線性質(zhì)的證明串在了一起，把知識的歷史發(fā)展順序、知識的內(nèi)在邏輯順序與學(xué)生的認知發(fā)展順序融合到了一起，是重構(gòu)式運用的體現(xiàn).

此外，HPM課例開發(fā)可以與數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的知識、信念和能力三維目標結(jié)合在一起，其中，知識維度是目前研究的重要方向，可以用美國數(shù)學(xué)教育家鮑爾(D. L. Ball)提出的Mathematical Knowledge for Teaching(簡稱MKT)來刻畫.MKT指的是“完成數(shù)學(xué)教學(xué)工作所需要的數(shù)學(xué)知識”，其組成成分如圖3所示.HPM與MKT有著密切的關(guān)系，一方面數(shù)學(xué)史有助于MKT的完善，另一方面MKT對研究數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)史的運用也有所幫助[10].下面結(jié)合高中“函數(shù)的概念”來說明數(shù)學(xué)史對教師MKT的豐富和完善作用.教師通過系統(tǒng)了解函數(shù)概念的發(fā)展歷史，知悉了初中函數(shù)“解析式”定義的局限性，理解了為什么需要學(xué)習(xí)函數(shù)的新定義，從而自身的SCK得以增長；知悉了學(xué)生對函數(shù)概念的理解具有歷史相似性，即學(xué)生對函數(shù)概念的理解主要停留在“解析式”或“變量依賴關(guān)系”層面，這與歐拉(L. Euler，1707～1783)早期對函數(shù)的認識相一致，有助于教師自身KCS的增長；在前兩者的基礎(chǔ)上，教師將函數(shù)概念的歷史發(fā)展、學(xué)生的認知基礎(chǔ)、函數(shù)知識的邏輯順序融入到函數(shù)概念的教學(xué)中，自身的KCT也有所增長；另外，在這個過程中，教師查閱了函數(shù)概念的歷史材料，這屬于KCC的范疇.

圖3 數(shù)學(xué)教師MKT的結(jié)構(gòu)[11]

經(jīng)過10余年的扎根，逐漸形成了基于實踐的HPM理論框架，可以概括為“一個視角、兩座橋梁、三維目標、四種方式、五項原則、六類價值”.其中三維目標指教師專業(yè)發(fā)展的知識、信念和能力三個方面，四種方式即數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)學(xué)史的方式，六類價值是課堂中運用數(shù)學(xué)史對學(xué)生而言所體現(xiàn)出的教育價值，這些已在上文中有所介紹.另外，一個視角是指HPM的視角，兩座橋梁是指數(shù)學(xué)史架起了數(shù)學(xué)與人文、歷史與現(xiàn)實之間的兩座橋梁，五項原則是指史料選取的原則，包括趣味性、科學(xué)性、可學(xué)性、有效性和新穎性，即歷史材料必須讓學(xué)生覺得有趣，最好含有數(shù)學(xué)故事，而非枯燥無味；必須符合史實，而非隨意編造；必須符合學(xué)生的生活經(jīng)驗和認知基礎(chǔ)，而非艱澀難懂；必須切合教學(xué)目標，而非為歷史而歷史；必須令人耳目一新，而非老調(diào)重彈、稀松平常[12].

3 HPM的基石：教育取向的數(shù)學(xué)史研究

教育取向的數(shù)學(xué)史研究作為HPM研究的基石，在HPM領(lǐng)域居于重要的地位.與純數(shù)學(xué)史研究相比，HPM視角下的數(shù)學(xué)史研究不是為歷史而歷史，而是為教育而歷史，其目的是期望通過研究歷史上相關(guān)知識(概念、公式、定理等)的演變，獲取教學(xué)啟示，為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供相關(guān)材料，為今日教科書的編寫提供借鑒[13].因此，教育取向的數(shù)學(xué)史研究為解決HPM領(lǐng)域長期存在的“無米之炊”問題帶來了方法和啟示.教育取向數(shù)學(xué)史研究的途徑主要有兩種：一是對已有數(shù)學(xué)著作的研究，如中國古代的《九章算術(shù)》、國外數(shù)學(xué)史著作《古今數(shù)學(xué)思想》、《數(shù)學(xué)史》等；二是對早期教科書的研究，主要是19、20世紀以美國為主的西方早期教科書.比如為了開發(fā)初中“三角形中位線定理”，一方面通過查閱數(shù)學(xué)著作，搜集可能會給教學(xué)活動帶來啟示的數(shù)學(xué)史料，包括古巴比倫泥版上的三角形土地分割問題、歐幾里得《幾何原本》中的相關(guān)命題，以及我國數(shù)學(xué)家劉徽(3世紀)采用割補法推導(dǎo)出三角形面積公式：“半底乘以高”與“底乘以半高”；另一方面從西方早期教科書入手，通過對近現(xiàn)代幾何教科書中三角形中位線定理的考察梳理，發(fā)現(xiàn)歷史上還曾出現(xiàn)過各種各樣的證明方法，如反證法、同一法、平行四邊形法等.總之，數(shù)學(xué)史為我們打開了一扇大門，打破了思維定勢，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維，讓我們得以領(lǐng)略古人的智慧和創(chuàng)新，而不再局限于教科書上的“唯一”證法.

4 HPM理論與實踐的互動

4.1 HPM課例開發(fā)

盡管國際上HPM已有40多年的歷史，目前也處于繁榮階段，但HPM(包括HPM與教師教育)與一般數(shù)學(xué)教育研究框架、理論構(gòu)建與方法論之間缺少清晰的聯(lián)系，因此HPM與一般數(shù)學(xué)教育理論之間的聯(lián)系還需要進一步加強[14].中國的HPM實踐有所不同，因為它以國際上較為認可.且在中國具有60多年歷史的課例研究(Lesson Study)為載體，成功架起了HPM與一般數(shù)學(xué)教育的橋梁，加之課例研究是一個實踐依據(jù)、研究導(dǎo)向的專業(yè)發(fā)展的合作模式，它能夠促進教師學(xué)習(xí)，改善教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)，有利于課程實施與教學(xué)結(jié)果的共享，還有利于理論與實踐的互動[15].中國的HPM實踐還架起了HPM與在職教師專業(yè)發(fā)展的橋梁，這與國際上HPM與教師專業(yè)發(fā)展的主流方式也有所不同，因為國際上主要以課程的形式促進職前教師的專業(yè)發(fā)展[16].目前，已有很多中小學(xué)數(shù)學(xué)教師與HPM研究團隊、教師專業(yè)發(fā)展指導(dǎo)團隊、學(xué)校教研團隊這三個團隊中的一個或幾個，按照如圖4所示的流程，在共同體的支持下、以HPM理論框架為指導(dǎo)合作進行HPM課例研究，開發(fā)出了一系列較為成熟的HPM課例，如初中的“三角形中位線定理”、“三角形內(nèi)角和”、“字母表示數(shù)”、“平行線的判定”、“平方差公式”，高中的“函數(shù)概念”、“對數(shù)概念”、“棱柱定義”、“橢圓定義”、“正弦定理”、“數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入”、“三角函數(shù)序言課”等等.

圖4 HPM課例開發(fā)的流程

但以上課例都只是針對某一節(jié)課進行的融入數(shù)學(xué)史的嘗試，事實上，數(shù)學(xué)史可以融入更多聯(lián)系緊密的數(shù)學(xué)內(nèi)容中，這就是模塊的方法(The modules approaches)，包括三種規(guī)模：最小規(guī)模的歷史包，通常在某一主題下的2-3節(jié)課中融入數(shù)學(xué)史；中等規(guī)模的模塊，大約需要在10-20節(jié)課中融入數(shù)學(xué)史；最大規(guī)模的是課程，整門課程都融入數(shù)學(xué)史[7].將數(shù)學(xué)史融入單元模塊教學(xué)有其必要性和合理性，因為任何一塊數(shù)學(xué)內(nèi)容都不是孤立存在的，數(shù)學(xué)教學(xué)與教科書編寫都是根據(jù)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯順序展開的，前后內(nèi)容具有不可分割的聯(lián)系，其價值包括史料應(yīng)用的連續(xù)性、知識發(fā)生的自然性和情感滲透的整體性.基于單元模塊教學(xué)的HPM行動研究分為計劃、行動、反饋、反思四個部分.以立體幾何單元為例，在教學(xué)的計劃階段，通過對20世紀中葉以前97種西方早期教科書等歷史文獻的研究，選取出合適的史料，對平面的概念、空間中的線線關(guān)系、面面平行的判定、線面垂直的判定這四節(jié)課進行初步的教學(xué)設(shè)計；接下來就是行動階段，先對高一、高三學(xué)生進行調(diào)查，通過回收的數(shù)據(jù)改進教學(xué)設(shè)計，然后進行教學(xué)實踐；在反饋階段，每節(jié)課后對全班學(xué)生進行后測，對收集到的問卷、訪談結(jié)果和課堂錄像加以分析，反觀教學(xué)目標的達成情況；在反思階段，教師反思教學(xué)過程，結(jié)合實踐中遇到的問題對四節(jié)課進行再設(shè)計，然后整理編寫，形成數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的初始材料.為了開發(fā)出較為完善的HPM課例，行動研究的這四個步驟往往需要經(jīng)過多次循環(huán)實施.

4.2 HPM課例分析

評價一個HPM課例精彩與否的標準是什么？這是HPM課例研究的重要基礎(chǔ)之一，因為只有運用科學(xué)的評價框架對教學(xué)設(shè)計、課堂教學(xué)進行評價，才能指引HPM課例開發(fā)向著更好的方向發(fā)展.但目前國際上缺少針對HPM視角下數(shù)學(xué)教與學(xué)的評價框架，這也是實踐與教學(xué)方面反對HPM視角的重要原因之一[17].鑒于此，沈中宇等基于上述的HPM理論框架，從史料的適切性、方式的多元性、融入的自然性、價值的深刻性等方面構(gòu)建了HPM課例的分析框架[18].結(jié)合這一框架，HPM研究團隊又構(gòu)建了HPM視角下同課異構(gòu)的分析框架.

對于HPM與非HPM的同課異構(gòu)，可以從新課引入、概念建構(gòu)、公式探究、新知鞏固、課堂小結(jié)這五個教學(xué)環(huán)節(jié)分別進行宏觀比較和微觀比較.比如高中“任意角”的HPM課重在概念建構(gòu)，通過追溯角的歷史，演示日晷實驗來創(chuàng)造角，而非HPM課則重在公式探究，通過設(shè)問引導(dǎo)來探究角的推廣公式.由此，總結(jié)出HPM視角下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一些特點，相比之下，HPM視角下的教學(xué)更加體現(xiàn)了知識之諧、探究之樂、文化之魅和德育之效.

對于HPM與HPM的同課異構(gòu)，可先從教學(xué)目標、重難點及教學(xué)流程上進行宏觀比較，再從HPM課例分析框架的四個維度進行微觀比較.對于小學(xué)“字母表示數(shù)”的兩節(jié)HPM課，在史料的適切性方面，A課用視頻呈現(xiàn)了代數(shù)發(fā)展三階段的史料，B課則改編畢達哥拉斯的形數(shù)問題，相比之下，B課更能凸顯史料的有效性及新穎性.在方式的多元性方面，兩節(jié)課均借助微視頻呈現(xiàn)古代數(shù)學(xué)家的故事，屬于附加式，A課提煉出算數(shù)到代數(shù)的三階段，是對歷史內(nèi)容的重構(gòu)；B課改編形數(shù)問題，探究任意一個的情形，也屬于重構(gòu)，但B課對復(fù)制式和順應(yīng)式的運用更為突出.兩節(jié)課均把史料自然地融入在教學(xué)中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史的多種教育價值.

5 HPM研究進展

5.1 HPM視角下閱讀材料的編寫

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗稿)》指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分.數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當介紹數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢……”[19]，2017年普通高考考試大綱中也增加了對數(shù)學(xué)文化的要求，因此數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)加強對數(shù)學(xué)文化的重視.以數(shù)學(xué)史為主題的閱讀材料是教科書中傳播數(shù)學(xué)文化的重要途徑，但調(diào)查發(fā)現(xiàn)教師和學(xué)生對這部分內(nèi)容的關(guān)注度普遍偏低，這與編寫閱讀材料的初衷大相徑庭，因此閱讀材料的編寫與使用是一個值得探討的問題.日本有關(guān)教材開發(fā)方面的理論值得我們借鑒，教材開發(fā)專家有田和正認為：所謂教材開發(fā)，就是指“對那些在學(xué)生周圍無限存在的素材，通過轉(zhuǎn)換視角、重組內(nèi)容、改變順序等方式進行加工，使學(xué)生能從中產(chǎn)生問題，激發(fā)起探究的熱情”.[20]根據(jù)教材開發(fā)的理論及數(shù)學(xué)課程標準的相關(guān)要求，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，總結(jié)出閱讀材料編寫應(yīng)遵循的五項原則：科學(xué)性、趣味性、可學(xué)性、有效性和人文性.以高中人教版教科書中的閱讀材料“三角學(xué)與天文學(xué)”為例，它存在著趣味性不足，對學(xué)習(xí)三角學(xué)的必要性、三角學(xué)與對數(shù)之間的關(guān)系的闡述不夠充分，缺少對三角學(xué)的歷史意義和應(yīng)用價值的介紹，缺少數(shù)學(xué)人文的一面等問題.為了彌補這些不足，就需要對三角學(xué)進行教育取向的歷史研究，還原三角學(xué)的前世今生，并從中提煉出一些有價值的、可融入閱讀材料的素材，如托勒密定理與兩角和與差的正弦、余弦公式的推導(dǎo)，韋達(F. Vieta，1540～1603)利用倍角公式解45次方程問題，還有生命不息、學(xué)術(shù)不止的歐拉，勇?lián)厝蔚睦赘衩伤?Regiomontanus，1436～1476)，傳承學(xué)術(shù)的雷提庫斯(G. J. Rhaeticus，1514～1576)等等.

5.2 HPM視角下的序言課

序言課是數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中一個比較新穎的研究方向，它的主要任務(wù)是揭示數(shù)學(xué)學(xué)科研究的對象、內(nèi)容和解決問題的思想方法，具有承上啟下的作用[21].假若教師能在某一章或關(guān)聯(lián)程度極高的某幾章內(nèi)容之前，以序言課的形式幫助學(xué)生理清楚“為什么學(xué)？”“學(xué)什么？”“如何學(xué)？”，將會有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究熱情，幫助他們了解前后內(nèi)容之間的聯(lián)系，初步構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).然而在實際教學(xué)中，一方面，教師對序言課不甚了解，沒有認識到序言課的重要性，加之課時緊張，常常將其“束之高閣”；另一方面，教師缺乏理論指導(dǎo)和相關(guān)實踐經(jīng)驗，很難將學(xué)生未曾學(xué)習(xí)但高度相關(guān)的許多內(nèi)容融合到一節(jié)課中，且要以學(xué)生能夠理解和參與的方式組織教學(xué)活動.數(shù)學(xué)史為序言課的開發(fā)提供了新的思路，因為從教育取向的數(shù)學(xué)史研究出發(fā)，教師不僅了解了歷史上數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展背后的動因，能夠幫助學(xué)生理解知識學(xué)習(xí)的必要性，即“為什么學(xué)”，而且更加宏觀地知悉了數(shù)學(xué)知識體系及其內(nèi)部知識之間的聯(lián)系，有助于讓學(xué)生精準了解“學(xué)什么”，此外，數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展過程中出現(xiàn)的解決數(shù)學(xué)問題的方式、方法，還有助于啟發(fā)今天的學(xué)生“如何學(xué)”.目前已開發(fā)了多節(jié)HPM視角下的序言課，比如“三角函數(shù)序言課”、“圓錐曲線序言課”，產(chǎn)生了不錯的效果.

5.3 HPM課例應(yīng)用與HPM案例教學(xué)

盡管HPM課例開發(fā)對教師的專業(yè)發(fā)展促動很大，比如個案教師通過HPM課例開發(fā)，在確定教學(xué)目標、設(shè)計教學(xué)內(nèi)容、使用數(shù)學(xué)史料等方面有了一定的提升，MKT的各個維度有了一定的豐富，數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)史的使用觀念也發(fā)生了正向的轉(zhuǎn)變[22].但在開發(fā)新課例的過程中，教師需要投入大量的時間與精力，需要HPM研究團隊、一線教師和教師專業(yè)發(fā)展指導(dǎo)者等在課例研討、課例打磨過程中的共同參與，且教師個體開發(fā)HPM課例對HPM理念傳播的貢獻十分有限.因此，促進HPM理念傳播與教師專業(yè)發(fā)展的路徑還需要進一步的探索，HPM課例應(yīng)用與HPM案例教學(xué)就是基于HPM課例開發(fā)探索出的新路徑.

HPM課例應(yīng)用是對已開發(fā)的較為成熟的HPM課例的二次利用，教師根據(jù)其教學(xué)目標及任教班級的實際情況，對已有課例中的一些環(huán)節(jié)進行修改和完善，然后用于自己的教學(xué)實踐，因此能夠大大節(jié)省時間，提高效率.以四年級“角的概念”為例，教師進行課例應(yīng)用的第一步是研讀教科書和相應(yīng)參考資料，對教學(xué)目標、重難點進行再定位.第二步是根據(jù)教學(xué)目標和任教班級的實際情況，研讀已開發(fā)的HPM課例，找出其中的問題，予以修改完善，并進行試講.第三步是根據(jù)試講效果，對教學(xué)設(shè)計進行再修改.第四步是反思課例應(yīng)用的全過程.由此可見，HPM課例應(yīng)用不僅進一步促進了一節(jié)更完美的HPM課例的生成，而且只要HPM課例一經(jīng)發(fā)表，就會有更多感興趣的教師將其應(yīng)用于自己的教學(xué)實踐中.

HPM案例教學(xué)是傳播HPM理念、促進教師專業(yè)發(fā)展的另一種重要途徑.運用已開發(fā)的HPM課例于教師教育課程“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育”，其流程主要包括教材呈現(xiàn)—歷史分析—設(shè)計研討—案例展示—評價反饋等步驟.以“數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入”案例教學(xué)為例，首先呈現(xiàn)相關(guān)教材內(nèi)容，讓師范生或在職教師回顧自己的教學(xué)經(jīng)歷，反思自己的教學(xué)困惑；接著，呈現(xiàn)揭示虛數(shù)概念的本源及其產(chǎn)生的必要性的豐富素材，比如卡丹問題、邦貝利三次方程問題等，讓師范生或在職教師研討這些素材的融入能否解決自己的教學(xué)困惑，并嘗試進行教學(xué)設(shè)計；然后，展示已開發(fā)的HPM課例，包括教學(xué)流程與教學(xué)反饋；最后，呈現(xiàn)職前和在職教師對于復(fù)數(shù)概念產(chǎn)生的意象，并調(diào)查了復(fù)數(shù)概念案例教學(xué)對本科師范生、全日制碩士、在職教育碩士和在職教師四類群體的影響.

6 總結(jié)與展望

中國的HPM經(jīng)過十余年的發(fā)展，已從扎根實踐到理論生成，又從理論生成到理論與實踐的互動，并出現(xiàn)了新的研究動態(tài)：不再僅僅局限于教育取向的數(shù)學(xué)史研究與HPM課例開發(fā)，而是形成了基于教育取向的數(shù)學(xué)史研究，在共同體支持下，以HPM課例開發(fā)為核心，包括課例開發(fā)、課例應(yīng)用、案例教學(xué)在內(nèi)的，特色鮮明的教師專業(yè)發(fā)展與HPM理念傳播體系，且以課例研究為載體的課例開發(fā)不再局限于單個課例的開發(fā)，出現(xiàn)了模塊教學(xué)、序言課等新類型，閱讀材料等傳播數(shù)學(xué)文化的課程素材也受到了一定的關(guān)注，課例評價體系的雛形已形成.但總體而言，中國的HPM還處于發(fā)展階段，理論與實踐的互動還有待進一步加強，特別是需要借助更多像MKT、課例研究這樣的一般數(shù)學(xué)教育理論，從而使得HPM與一般數(shù)學(xué)教育的聯(lián)系更為密切；HPM與教師專業(yè)發(fā)展的體系還需要進一步完善，一方面，課例開發(fā)、課例應(yīng)用、案例教學(xué)方面的研究還需要進一步深化，另一方面，它們之間的最佳組合方式及其最優(yōu)切入口還需要深入探索；數(shù)學(xué)史融入教科書的研究，以及包含課堂評價、學(xué)生評價等在內(nèi)的評價框架的構(gòu)建需要投入更多的精力，因為無論國際上、還是國內(nèi)，這方面的研究都很少，且它們也是加強與一般數(shù)學(xué)教育聯(lián)系的關(guān)鍵；最后，認識論與數(shù)學(xué)史的關(guān)系在中國處于真空狀態(tài)，需要予以關(guān)注.