多點(diǎn)思維 多點(diǎn)開花
——以2018年全國Ⅱ文第12題為例

劉美景

(江蘇省徐州市侯集高級(jí)中學(xué) 221121)

著名數(shù)學(xué)家蘇步青在《談?wù)勗鯓訉W(xué)好數(shù)學(xué)》中寫到：“正確地理解數(shù)學(xué)的基本概念之所以重要，是因?yàn)樗钦莆諗?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提.猶如造房屋那樣，基礎(chǔ)打得牢靠些，將來在它的上面造起來的房屋就不會(huì)坍毀.”在解決一些數(shù)學(xué)問題時(shí)，一定要充分理解數(shù)學(xué)的基本概念與基本性質(zhì)，挖掘內(nèi)涵，這才是解決問題的本質(zhì).2018年高考全國Ⅱ卷文科第12題中的函數(shù)問題，就是一道可以充分深挖內(nèi)涵、巧妙拓展的好題.

一、真題在線

高考真題(2018·全國Ⅱ文·12，理·11)已知f(x)是定義域?yàn)?-∞，+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

二、多向思維

結(jié)合抽象函數(shù)的基本性質(zhì)與關(guān)系式，通過奇函數(shù)的性質(zhì)、周期函數(shù)等來轉(zhuǎn)化與處理，可以直接利用函數(shù)的基本性質(zhì)來切入，也可以借助特殊函數(shù)的引入來解決.

思維角度1(函數(shù)基本性質(zhì)法1)

解法1 由于f(x)是奇函數(shù)，且滿足f(1-x)=f(1+x)，則有f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1)，可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)的周期為T=4.

結(jié)合f(x+1)=-f(x-1)，f(1)=2，可得f(3)=-f(1)=-2，而f(2)=f(-2)=-f(2)，可得f(2)=0，則有f(4)=-f(2)=0，則有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2，故選C.

思維角度2(函數(shù)基本性質(zhì)法2)

解法2 由于f(x)是奇函數(shù)，且滿足f(1-x)=f(1+x)，則有f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1)，可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)的周期為T=4.

而f(x)是定義域?yàn)?-∞，+∞)的奇函數(shù)，則有f(0)=0.結(jié)合f(x+1)=-f(x-1)，f(1)=2，可得f(3)=-f(1)=-2，f(2)=-f(0)=0，則有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2，故選C.

思維角度3(特殊函數(shù)法1)

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2，故選C.

三、拓展變式

通過深入分析該題，改變條件，拓展思維，可以得到意想不到的效果，真正達(dá)到“認(rèn)真解答一個(gè)題，拓廣解決一類題，變式深化一片題，思維能力一起高”的美好目的.

變式方向1 改變條件，轉(zhuǎn)化求解代數(shù)式

變式1 已知f(x)是定義域?yàn)?-∞，+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(2018)+f(2019)=( ).

A.2018 B.-2 C.2 D.2019

解析由于f(x)是奇函數(shù)，且滿足f(1-x)=f(1+x)，則有f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1)，可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)的周期為T=4.

而f(x)是定義域?yàn)?-∞，+∞)的奇函數(shù)，則有f(0)=0，可得f(2018)=f(504×4+2)=f(2)=f(0)=0，f(2019)=f(505×4-1)=f(-1)=-f(1)=-2.

所以f(2018)+f(2019)=0-2=-2.故選B.

變式方向2改變條件，增加和式

變式2 已知f(x)是定義域?yàn)?-∞，+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=( ).

A.-2018 B.0 C.2 D.2018

解析由于f(x)是奇函數(shù)，且滿足f(1-x)=f(1+x)，則有f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1)，可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)的周期為T=4.結(jié)合f(x+1)=-f(x-1)，f(1)=2，可得f(3)=-f(1)=-2，而f(2)=f(-2)=-f(2)，可得f(2)=0，則有f(4)=-f(2)=0，則有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=504×0+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=2，故選C.

變式方向3改變條件，給出給定區(qū)間的函數(shù)解析式

變式3 已知f(x)是定義域?yàn)?-∞，+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x).當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，f(x)=2x3，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=( ).

A.-2018 B.0 C.2 D.2018

解析由于f(x)是奇函數(shù)，且滿足f(1-x)=f(1+x)，則有f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1)，可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)的周期為T=4，而f(x)是定義域?yàn)?-∞，+∞)的奇函數(shù)，則有f(0)=0，而當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，f(x)=2x3，可得f(1)=2，結(jié)合f(x+1)=-f(x-1)，可得f(3)=-f(1)=-2，f(2)=-f(0)=0，則有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=504×0+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=2，故選C.

變式方向4改變條件，增加三角函數(shù)內(nèi)容

A.-2018 B.0 C.2 D.2018

而f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=504×0+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=2，故選C.

羅增儒教授說過：“一旦獲解，就立即產(chǎn)生感情上的滿足，從而導(dǎo)致心理封閉，忽視解題后的再思考，恰好錯(cuò)過了提高的機(jī)會(huì)，無異于入寶山而空返.”通過一題多解，一題多變等實(shí)踐，沒有停留在原有的解出題目的基礎(chǔ)上，而是解題后進(jìn)行了變式探究.通過一題多變，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)向機(jī)智及思維的應(yīng)變性，實(shí)現(xiàn)提高發(fā)散思維的變通性.把課本練習(xí)題、考題等通過變換條件，變換結(jié)論，變換命題等，使之變?yōu)楦袃r(jià)值，有新意的新問題，從而應(yīng)用更多的知識(shí)來解決問題，獲得“一題多練”“一題多得”的效果.