構造法在高中數(shù)學解題中的應用

吳鴻儒

【摘要】培養(yǎng)數(shù)學思維是高中教育環(huán)節(jié)中不可缺少的一部分，在日常教學過程中，教師雖然不會單獨將數(shù)學思維的培養(yǎng)作為一門課程進行教授，但是將數(shù)學思維的培養(yǎng)滲透在知識的教學中卻是十分必要的.構造法的數(shù)學思維是數(shù)學思想中比較重要的一類，通過對無法直接求解的問題進行抽象，然后將抽象后的問題利用現(xiàn)有知識進行求解框架的構造，再結合題目所給的已知條件進行求解，這類似于簡單的數(shù)學建模思維.這種方法是解決復雜問題的常用方法，也是提高學生解題效果的重要手段.

【關鍵詞】構造法;高中數(shù)學;解題應用

一、引言

在高中數(shù)學學習中，如果學生面對復雜的綜合性題目無法正面求解計算，就會產(chǎn)生挫敗感并降低其學習數(shù)學的興趣.構造法就是解決這一問題的方法之一，其利用數(shù)學建模思想對于復雜問題進行抽象和梳理，再構造出解決問題的初等模型，然后根據(jù)題目給出的信息進行求解.這個求解的過程就是開拓數(shù)學思維的過程，它可以充分鍛煉學生的思維能力，以及面對復雜問題的分析能力.

二、構造法的概念

（一）構造法的基本概念

構造法的含義是在面對正常思維無法直接求解的復雜問題時，根據(jù)題目所設定的條件，以及所求問題的特征，利用數(shù)學建模的思維，將已知的復雜問題進行抽象和分析，得出題目所給的條件和所求解問題的結論、計算結果間的聯(lián)系[1].它利用題目中的數(shù)據(jù)、形式、變量名等特性，以題目里所設定的已知條件為基礎，采用自身所掌握的數(shù)學知識以及理論關系為工具，在思維或其他媒介中構造出符合題目規(guī)定并且能夠體現(xiàn)求解結果的數(shù)學公式或其他對象.學生利用上述方法可將原有題目中所隱藏的數(shù)學邏輯關系，以及數(shù)學性質(zhì)在新構造的數(shù)學模型中更加清楚地體現(xiàn)出來，并且能根據(jù)其更迅速地分析題目所求解的問題，從而更加準確地得出問題的答案.

（二）構造思維在數(shù)學中的體現(xiàn)

在了解了構造法的基本概念之后，教師在日常教學過程中不僅應該鍛煉學生應用構造法去解決實際數(shù)學問題，更應該在潛移默化中培養(yǎng)他們形成構造法的數(shù)學思維.數(shù)學思維的養(yǎng)成體現(xiàn)在平時的方方面面，表現(xiàn)在學生面對復雜問題時，能夠靈活地對題目中所包含的有效信息進行抽象，并在腦海里構造出求解問題的基本方法.這種思維的養(yǎng)成有利于學生在未來的學習中更加高效地解決問題，這不僅對數(shù)學科目的學習有很大的意義，對其他理工類科目的學習也同等重要.

三、構造法的意義

（一）對于解題的意義

構造法是學生面對復雜題目時常用的數(shù)學解題方法，其對于求解復雜的數(shù)學題目有著明顯的優(yōu)勢，對于此類問題而言，一般的思維方式與解題方法是無法對其進行直接求解和計算的.構造法相當于利用簡單的數(shù)學模型，對于復雜問題抽象出符號、公式進行中轉(zhuǎn)處理，它是一種高效的間接求解法.對于比較復雜的高中數(shù)學題目，尤其是高考數(shù)學題目，構造法都是高效解題的重要方法.

（二）對于培養(yǎng)數(shù)學思維的意義

在學生的數(shù)學學習中，數(shù)學思維的培養(yǎng)遠遠比單純數(shù)學能力的培養(yǎng)要重要得多.具有良好數(shù)學思維的學生總是可以很快地找到合適的解題方法，再利用自身儲備的數(shù)學知識對問題進行求解[2].因此數(shù)學思維就好比醫(yī)生治病的藥方，而數(shù)學知識就像治病的良藥，藥方的確定自然是正確用藥的基礎，也是快速將病人醫(yī)治好的保障.構造法作為數(shù)學思維中最重要的思維方式之一，其對于學生數(shù)學思維的培養(yǎng)有著巨大的作用，因此合理應用構造法進行題目的求解，是對數(shù)學思維的培養(yǎng)和鍛煉.

四、構造法的舉例

在面對復雜的難題時，知識的交叉應用就顯得異常關鍵.構造法的思想之一就是利用較為簡單的基礎知識，例如數(shù)列、平面向量等的性質(zhì)與運算方式，去解決一般需要利用導數(shù)或是產(chǎn)生較大運算量的題目.這就需要學生不僅要掌握構造法的相關知識，還要熟練掌握其他數(shù)學知識，并能夠?qū)⑵潇`活運用.基于對數(shù)學構造法進行基礎闡述之后，以下將針對高中數(shù)學知識中的幾個實例，應用數(shù)學構造法對其求解，以具體地說明構造法的重要性.

（一）構造向量

在高中數(shù)學的解題方法中，向量的應用十分廣泛，靈活使用構造向量法會使解題更加清晰和簡單.例如，求解一個函數(shù)的最大值：fx=3 2-x+3 x+2.直接對其進行求解過程過于復雜，而且需要利用導數(shù)等計算量較大的運算方法，學生在計算時很容易出錯、失去耐心或是在考試時浪費大量時間[3].而此時利用數(shù)學構造法思想構造出平面向量對函數(shù)f（x）進行表示，再利用平面向量的相關知識和性質(zhì)對該問題進行簡化計算，不但降低了計算難度，還大大減少了完成題目所需要的時間，可以使學生在考試過程中占得先機.例如，構造平面向量a（3，3），b（ 2-x， x+2），利用向量的數(shù)量積公式求a與b的數(shù)量積，得到的結果恰好為待求函數(shù)f（x），再利用向量的基本性質(zhì)進行比較運算，則有a·b≤ab=6 2，至此就以向量形式實現(xiàn)了對于函數(shù)最大值的求解.其中，構造平面向量a，b是解決此問題的關鍵，也是構造法的實際體現(xiàn)之一.

（二）構造數(shù)列

數(shù)列在高中數(shù)學中占有重要的地位，熟練應用構造數(shù)列法可以更加快速地解題，并且還能提高準確性，其有著很高的使用價值.但是構造數(shù)列法對學生的數(shù)學基礎要求很高，必須要有扎實的功底，靈活的思維，才能靈活、熟練地構造數(shù)列進行題目的證明與求解.

1.簡單數(shù)列的構造

例如，證明不等式1+2nn<1+2n+1n+1，若要對此不等式進行直接證明需要比較復雜的定理，還需花費大量的時間[4]，但若采用構造數(shù)列的方式，就可以較為輕松且清晰地解決該問題.例如，構造數(shù)列x1=x2=…=xn=1+2n，xn+1=1，再利用均值不等式的性質(zhì)對其進行化簡，得到x1+…+xn+1n+1≥n+1x1·…·xn+1，因此得出n+1[]1+2nn≤1+n1+2nn+1=1+2[]n+1，結論顯然成立.

上述例題充分說明了構造法在求解復雜題目時的作用，熟練、靈活地掌握構造法的相關知識可以使學生的日常解題過程更加迅速、高效，正確率也將更上一個臺階，對于培養(yǎng)學生的自信心與成就感有著重要的作用.