在新課教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象思維能力培養(yǎng)的研究

姚春明

【摘要】數(shù)學(xué)抽象思維能力的培養(yǎng)是核心素養(yǎng)下課堂教學(xué)研究的一個(gè)重要課題.教師應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)抽象思維發(fā)展的規(guī)律，運(yùn)用學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展和認(rèn)知心理的原理，遵循科學(xué)教學(xué)規(guī)律，確定策略和實(shí)施方案.實(shí)施數(shù)學(xué)抽象思維能力的培養(yǎng)有以下五個(gè)策略：1.循“序”漸進(jìn)的策略;2.表征積累策略;3.要素突顯策略;4.數(shù)學(xué)符號(hào)化、形式化策略;5.互化訓(xùn)練策略.

【關(guān)鍵詞】一核;四層;四翼;數(shù)學(xué)抽象思維;表征;數(shù)學(xué)符號(hào)化;數(shù)學(xué)形式化

一、序言

（一）抽象思維培養(yǎng)的意義

教育部考試中心制定的《中國高考評(píng)價(jià)體系》一書，是指導(dǎo)高考的綱領(lǐng)，也是中學(xué)教學(xué)的指揮棒.高考評(píng)價(jià)體系主要由“一核”“四層”“四翼”三部分內(nèi)容組成（如右圖所示），其中的“四層”強(qiáng)調(diào)了抽象思維能力的重要性.

（二）數(shù)學(xué)抽象思維發(fā)展的基本規(guī)律

數(shù)學(xué)抽象思維的教學(xué)實(shí)施一般通過以下四個(gè)步驟完成：

1.研究教材和教學(xué)內(nèi)容;2.確定待抽象的數(shù)學(xué)事物即知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)概念等;3.用數(shù)學(xué)符號(hào)或形式抽象地表示本質(zhì)屬性，建構(gòu)抽象物的表征和圖式;4.應(yīng)用表征和圖式進(jìn)行數(shù)學(xué)推理分析，由抽象到具體，還原抽象物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而解決實(shí)際問題.

本文以高中數(shù)學(xué)必修一（新教材）“集合”“對(duì)數(shù)函數(shù)”為載體，研究和實(shí)施數(shù)學(xué)抽象思維能力的培養(yǎng).本文立足于抽象思維能力在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)施，結(jié)合教學(xué)實(shí)際，從高處著眼，小處著手，研究日常教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象思維能力的培養(yǎng)，以近期的教學(xué)內(nèi)容為切入點(diǎn)，深入、具體地探究如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力.

二、新課中培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維能力的步驟與策略

（一）研究教材和教學(xué)內(nèi)容

集合是抽象的，沒有一個(gè)確切的定義（因?yàn)榧喜荒芟露x），因此怎樣讓學(xué)生真正理解集合的概念需要教師動(dòng)動(dòng)腦筋.新編人教版的教材處理得非常得當(dāng)，由具體到抽象，層層深入.對(duì)數(shù)的概念以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算比較抽象，學(xué)生很難理解，所以教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該遵循認(rèn)知規(guī)律，循序漸進(jìn)，結(jié)合學(xué)生已有知識(shí)，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)域出發(fā)，溫故而知新.

教材開篇即從小學(xué)和初中的認(rèn)知開始，如，自然數(shù)的集合、同一平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（即圓）等.然后教材提出“為了更有效地使用集合語言，我們需要進(jìn)一步了解集合的有關(guān)知識(shí)”，接著以“1～10之間的所有偶數(shù)、立德中學(xué)今年入學(xué)的全體高一學(xué)生”等六個(gè)集合為例，給出集合的含義，然后闡述集合的有關(guān)概念以及元素與集合的關(guān)系，再引出表示集合的自然語言法、列舉法、描述法等方法.集合的三種表示法中，描述法是最為抽象的，也是教學(xué)難點(diǎn).對(duì)數(shù)概念的引入是從已學(xué)知識(shí)——指數(shù)開始的，通過多個(gè)特殊的求指數(shù)的值的實(shí)例，引出非特殊值如何求指數(shù)，讓學(xué)生意識(shí)到這是一種新的運(yùn)算，并由此引出對(duì)數(shù)的概念.

（二）確定數(shù)學(xué)抽象分布的位置以及具體的待抽象的數(shù)學(xué)事物，即知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)概念

集合的描述法確定為待抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象，教師教學(xué)時(shí)應(yīng)遵循循序漸進(jìn)的原則，從學(xué)生熟悉的一元一次不等式的解集入手.

不等式x-7<3的解集是x<10，因?yàn)闈M足x<10的實(shí)數(shù)有無數(shù)個(gè)，所以x-7<3的解集無法用列舉法表示.但是，我們可以利用解集中元素的共同特征，即x是實(shí)數(shù)，且x<10，把解集表示為

{x∈R|x<10}.

又如，整數(shù)集Z可以分為奇數(shù)集和偶數(shù)集，對(duì)于每一個(gè)x∈Z，如果它能表示為x=2k+1（k∈Z）的形式，那么x除以2的余數(shù)為1，它是一個(gè)奇數(shù);反之，如果x是一個(gè)奇數(shù)，那么x除以2的余數(shù)為1，它能表示為x=2k+1（k∈Z）的形式.所以，x=2k+1（k∈Z）是所有奇數(shù)的一個(gè)共同特征，于是奇數(shù)集可以表示為

{x∈Z|x=2k+1，k∈Z}.

對(duì)數(shù)的意義和對(duì)數(shù)的表達(dá)形式是待抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象.因?yàn)閷?duì)數(shù)是一種新的運(yùn)算和新的概念，所以教學(xué)宜從學(xué)生熟知的加、減、乘、除、乘方、指數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算符號(hào)開始對(duì)比研究.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的基本運(yùn)算有：加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、乘法運(yùn)算、除法運(yùn)算，這四種運(yùn)算的運(yùn)算符號(hào)為：+，-，×，÷;開方運(yùn)算也有運(yùn)算符號(hào)，而且運(yùn)算符號(hào)具有了結(jié)構(gòu)性的特征，即根指數(shù)和被開方數(shù)的位置有明確的要求;至于乘方運(yùn)算，它沒有明顯的運(yùn)算符號(hào)出現(xiàn)，只是通過底數(shù)和指數(shù)的位置結(jié)構(gòu)來表達(dá);對(duì)數(shù)運(yùn)算（概念）也是如此，并且表現(xiàn)形式更為抽象和復(fù)雜.

（三）建構(gòu)抽象物的表征和圖式

上面對(duì)概念的引入教材處理得很好，教師教學(xué)時(shí)應(yīng)重視這個(gè)過程，不能跳躍得太快.例如，對(duì)“描述法”的教學(xué)，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象從結(jié)構(gòu)上進(jìn)行分析，以豎線為界，分析其結(jié)構(gòu)和含義，體會(huì)和領(lǐng)悟用描述法表示集合的關(guān)鍵，然后給出“描述法”的說法，建構(gòu)“描述法表示集合”的表征和圖式，如教材所示：

有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線，寫成

{x∈A：P（x）}或

{x∈A;P（x）}.

一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所組成的集合表示為

{x∈A|P（x）}，

這種表示集合的方法稱為描述法.

然后，教材應(yīng)用表征和圖式進(jìn)行數(shù)學(xué)推理分析，解決問題.這里尊重教材，采用教材上的例2.

例2

試分別用描述法和列舉法表示下列集合：

（1）方程x2-2=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合A;

（2）由大于10且小于20的所有整數(shù)組成的集合B.

解：（1）設(shè)x∈A，則x是一個(gè)實(shí)數(shù)，且x2-2=0.因此，用描述法表示為

A={x∈R|x2-2=0}.

方程x2-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根2，-2，因此，用列舉法表示為

A={2，-2}.