都是“經(jīng)驗(yàn)”惹的禍

韓冬青

[摘? 要] 為提高教學(xué)效率、學(xué)習(xí)效率，老師和學(xué)生都希望把題目歸類，舉一反三，避免無謂的重復(fù)，這當(dāng)然無可厚非，絕大多數(shù)情況下確實(shí)提高了教學(xué)效率和學(xué)習(xí)效率. 但有時(shí)我們歸納得不夠完整，不夠完善，或者不夠嚴(yán)謹(jǐn)，甚至?xí)霈F(xiàn)錯(cuò)誤. 文章針對(duì)不太完整、不太準(zhǔn)確或不太嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臍w納舉了幾個(gè)例子，如“SSA”問題、借助平移求面積問題、線段旋轉(zhuǎn)掃過的面積問題. 經(jīng)驗(yàn)會(huì)讓我們受益匪淺，也會(huì)讓我們固步不前，甚至?xí)屛覀兎附?jīng)驗(yàn)主義錯(cuò)誤.

[關(guān)鍵詞] “SSA”;旋轉(zhuǎn);平移;轉(zhuǎn)化;經(jīng)驗(yàn)

古語說“經(jīng)驗(yàn)大于學(xué)問”，可見經(jīng)驗(yàn)之重要. 當(dāng)然，經(jīng)驗(yàn)至少可以分為兩類，一類是成功的經(jīng)驗(yàn)，另一類是失敗的經(jīng)驗(yàn). 成功的經(jīng)驗(yàn)會(huì)讓我們少走很多彎路，失敗的經(jīng)驗(yàn)則會(huì)提醒我們避開那條失敗的路，總之無論是成功的經(jīng)驗(yàn)，還是失敗的經(jīng)驗(yàn)，都會(huì)讓我們受益匪淺. 下面，筆者就數(shù)學(xué)上常見的幾個(gè)問題談?wù)勛约旱目捶?

“SSA”問題

很多學(xué)生都知道“SSA”是一個(gè)假命題，但對(duì)其本質(zhì)了解得并不清楚，看到“兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”就認(rèn)為兩個(gè)三角形不全等;很多教師知道“SSA”雖然是一個(gè)假命題，但在特殊條件下也能成立，卻忽視了“在特殊的圖形關(guān)系中，滿足‘SSA的兩個(gè)圖形也能全等”這一事實(shí). 教材上為什么給出了那樣的反例？反例是不是要具備特殊的條件？“SSA”有沒有成立的可能？在什么情況下成立？在什么情況下不成立？筆者通過查閱資料和自己的思考，找出了“SSA”成立和不成立的根本原因.

在三角形全等的證明方法中，“SSS”“SAS”“ASA”等都是借助尺規(guī)作圖來進(jìn)行探究的，只要作出來的三角形與原三角形能夠完全重合，便得到了“SSS”“SAS”“ASA”證明全等的基本事實(shí)，所以“SSA”是否成立也可以借助尺規(guī)作圖來看作出的三角形是不是和原三角形全等. “兩組邊及其中較大邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. ”“如果兩個(gè)三角形滿足最大的角對(duì)應(yīng)相等，那么無論是銳角三角形還是鈍角三角形，‘SSA能說明兩個(gè)三角形全等. 當(dāng)‘SSA中角的對(duì)邊大于或等于鄰邊時(shí)，‘SSA能證明兩個(gè)三角形全等. ”現(xiàn)筆者對(duì)上面的命題進(jìn)行再次探究.

現(xiàn)在對(duì)圖1（α<90°）進(jìn)行分類討論：

（1）若b>a，我們用尺規(guī)作圖，作出滿足上述條件的△DEF，我們發(fā)現(xiàn)所作的△DEF是唯一的（如圖2），所以此時(shí)△DEF與△CBA全等.

（2）若b=a，△ABC是等腰三角形，我們不需要通過尺規(guī)作圖，便可根據(jù)“SAS”或“ASA”或“AAS”得到這樣的兩個(gè)等腰三角形全等.

（3）若b=asinα，即AB⊥AC，此時(shí)△ABC是直角三角形，我們?nèi)菀椎玫酵ㄟ^尺規(guī)作圖作出符合條件的直角三角形唯一（如圖3），所以兩三角形全等.

（4）若asinα

這里，我們不需要再討論已知角為直角或鈍角的情況，因?yàn)橐阎菫橹苯腔蛘哜g角時(shí)，我們都能得到它的對(duì)邊比鄰邊長，此時(shí)作出的三角形是唯一的，它們和已知三角形一定全等.

綜上可知，在三角形全等的判定中，“SSA”能否證明兩個(gè)三角形全等，與已知角的對(duì)邊和已知鄰邊的數(shù)量關(guān)系有關(guān)：當(dāng)已知角的對(duì)邊不小于已知鄰邊，或已知角的對(duì)邊等于已知鄰邊與已知角的正弦值之積時(shí)，“SSA”能判定兩個(gè)三角形全等，這和已知角的大小無關(guān). 當(dāng)已知角為直角或鈍角時(shí)，已知角的對(duì)邊總是大于已知角的鄰邊，所以“SSA”一定能判定兩個(gè)三角形全等，即使已知角為銳角，“SSA”能判定兩個(gè)三角形全等的可能性依舊很大，甚至比“SSA”不能判定兩個(gè)三角形全等的可能性還要大. 因此筆者想提醒老師和學(xué)生，對(duì)于可以舉反例的命題，我們還要看到此命題正確的可能性有多大，反例的可能性又有多大，而不僅僅是舉個(gè)反例而已.

借助平移求面積問題

有下面一道數(shù)學(xué)題：分別求出圖6、圖7、圖8空白部分的面積.

對(duì)于圖6，所求面積S=（6-2）×（10-2）=32;對(duì)于圖7，所求面積S=6×10-6×2-10×2+2×2=32;對(duì)于圖8，所求面積S=6×10-6×2-10×2+ × =31.

通過上面的計(jì)算我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，圖7中空白部分的面積和圖6中空白部分的面積是一樣的，也就是說圖7中空白部分的面積可以轉(zhuǎn)化為圖6中空白部分的面積來計(jì)算，但是圖8中空白部分的面積卻和圖6中空白部分的面積不相等，也就是說圖8中空白部分的面積無法轉(zhuǎn)化為圖6中空白部分的面積來計(jì)算. 圖8不能轉(zhuǎn)化為圖6的根本原因是什么呢？根本原因是兩個(gè)陰影重合部分（矩形）的面積不相等. 那是不是所有類似圖8的圖形都不能轉(zhuǎn)化為圖6來計(jì)算呢？是不是所有類似圖8的空白部分的面積都比圖6空白部分的面積小呢？下面我們逐一探究.

（1）請(qǐng)用含a，b，x的式子表示圖9中空白部分的面積S.

答案：方法一，S=ab-bx;方法二，可通過平移將圖9轉(zhuǎn)化為圖10，從而得S=（a-x）b=ab-bx.

（2）請(qǐng)用含a，b，x的式子表示圖11中空白部分的面積S.

答案：方法一，S=ab-bx;方法二，可通過平移以及同底等高的平行四邊形與矩形的面積相等將圖11轉(zhuǎn)化為圖12，從而得S=（a-x）b =ab-bx.

（3）請(qǐng)用含a，b，x的式子表示圖13中空白部分的面積S.

答案：方法一，S=ab-ax-bx+x2;方法二，可通過平移將圖13轉(zhuǎn)化為圖14，從而得S=（a-x）（b-x）=ab-ax-bx+x2.

（4）請(qǐng)用含a，b，x的式子表示圖15中空白部分的面積S.

答案：方法一，S=ab-ax-bx+x2;方法二，可通過平移以及同底等高的平行四邊形與矩形的面積相等將圖15轉(zhuǎn)化為圖16，從而得S=（a-x）（b-x）=ab-ax-bx+x2.

（5）請(qǐng)用含a，b，x的式子表示圖17中空白部分的面積S.

答案：S=ab-ax-bx+S .

問題？搖 圖17中空白部分的面積能否轉(zhuǎn)化為圖18中空白部分的面積？

根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)圖17中兩個(gè)平行四邊形（陰影部分）的面積和等于圖18中兩個(gè)大矩形（陰影部分）的面積和，所以圖17中空白部分的面積應(yīng)該和圖18中空白部分的面積相等. 那么事實(shí)又是怎樣的呢？我們不難算出圖18中空白部分的面積S=（a-x）（b-x）=ab-ax-bx+x2，但圖17中空白部分的面積又該如何表示呢？

由圖19易證重合部分是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的面積計(jì)算公式，可得（α+β≠90°）S = （此處需借助三角函數(shù)知識(shí)完成）. 當(dāng) =1時(shí)，如α=90°或β=90°時(shí)，S =x2，此時(shí)圖17中空白部分的面積等于圖18中空白部分的面積，可以把圖17轉(zhuǎn)化為圖18來解決;當(dāng) >1時(shí)，如α=60°，β=60°時(shí)，S >x2，此時(shí)圖17中空白部分的面積不等于圖18中空白部分的面積，不可以把圖17轉(zhuǎn)化為圖18來解決;當(dāng) <1時(shí)，如α=30°，β=120°時(shí)，S

綜上可知，遇到圖17這樣的問題時(shí)，我們可以這樣做：

①先算出圖17中兩個(gè)大平行四邊形（陰影部分）的面積，再用整個(gè)圖形的面積減去兩個(gè)大平行四邊形的面積和，所得的差加上兩個(gè)大平行四邊形（陰影部分）重合部分的面積，從而求得空白部分的面積，即（圖17中）S空白=S整個(gè)矩形-S陰影大平行四邊形1-S陰影大平行四邊形2+S兩陰影重合部分.

②如果想將圖17中的空白部分轉(zhuǎn)化成矩形來計(jì)算，務(wù)必謹(jǐn)慎，一定要看其是否具備轉(zhuǎn)化條件. 不能認(rèn)為所有這種類型的問題都可以轉(zhuǎn)化為圖18來計(jì)算.

另外，筆者還有一個(gè)猜想：如果α，β均為銳角，或α，β均為鈍角，有S > S ;如果α為銳角且β為鈍角，或α為鈍角且β為銳角，有S

一條線段繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)掃過

的面積問題

這里只探究旋轉(zhuǎn)中心不在已知線段所在直線上時(shí)，旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形面積問題.

問題？搖 如圖20，已知線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（α°<180°），即線段AB旋轉(zhuǎn)至線段CD所在的位置，求線段AB在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積S.

常見的解決辦法：S=S +S -（S +S ）=S -S? .

那么，是不是所有類似這樣的問題都可以這樣解決呢？能用這種方法解決的問題有沒有一些隱含條件呢？

不知大家是否注意到，圖20中的∠OAB是鈍角（OB>OA），如果∠OBA是鈍角（OA>OB），那么上述問題的結(jié)果就會(huì)變成S=S -S . 如果∠OAB（或∠OBA）是直角或者是銳角，結(jié)論是否會(huì)發(fā)生變化呢？我們來逐一研究.

（1）如果∠OAB=90°，如圖21，此時(shí)S=S +S -（S +S ）=S -S .這與∠OAB為鈍角時(shí)的求解方法相同;如果∠OBA=90°，則S=S -S .

（2）若∠OAB和∠OBA都是銳角，且∠OAB>∠OBA 時(shí)，如圖22，（∠OAB<∠OBA類似）解決方法是否還和上面的方法一樣呢？我們發(fā)現(xiàn)，這種情況不再和上述兩種情況一樣了，那么出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是什么呢？

在這種情況下，你會(huì)發(fā)現(xiàn)線段AB掃過的圖形是圖22中的陰影部分，那是因?yàn)椋€有一條更短的線段OC，即△OAB的邊AB上的高，點(diǎn)C在線段AB旋轉(zhuǎn)的過程中的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)更小的圓的一部分，所以線段AB在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積S應(yīng)該這樣計(jì)算：

S=S -S +S =S -S +S -S .

（3）若∠OAB和∠OBA都是銳角，且∠OAB=∠OBA ，即OA=OB時(shí)，如圖23，此時(shí)S=S -S +S =S -S +S -S .

綜上可知，一條線段繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)與線段不在同一條直線上）一定角度（<180°），旋轉(zhuǎn)過程中線段掃過的圖形面積與兩個(gè)角的大小有關(guān)，這兩個(gè)角為這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段同這條線段所形成的兩個(gè)夾角. 于是這個(gè)問題可分為兩大類：

第一類，當(dāng)這兩個(gè)夾角中有一個(gè)角為鈍角或直角時(shí)，這條線段在旋轉(zhuǎn)過程中掃過圖形的面積就是兩個(gè)扇形面積之差（大扇形-小扇形）;

第二類，當(dāng)這兩個(gè)夾角均為銳角時(shí)，就不再是兩個(gè)扇形的面積之差了.

當(dāng)然對(duì)于第二類問題，很多同學(xué)理解起來會(huì)感到比較吃力，因此絕大多數(shù)考試都會(huì)考查第一種情況，但是作為教師，最好能留意到這種情況，在總結(jié)此類問題時(shí)，不要一刀切，即不要簡單地總結(jié)為兩個(gè)扇形的面積之差.

總結(jié)

筆者首先對(duì)“SSA”何時(shí)成立和何時(shí)不成立分別進(jìn)行了細(xì)致的分類，找出了“SSA”成立和不成立的源頭：與已知角的對(duì)邊和鄰邊的大小關(guān)系有關(guān)，與已知三角形的形狀沒有直接的關(guān)系，與已知角的大小也沒有必然的關(guān)系;其次，對(duì)于利用平移求面積問題，要注意在什么情況下可以通過平移對(duì)圖形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，什么情況下不能通過平移解決問題，即不是所有這類問題都可以通過平移來解決;最后，求一條線段繞一個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)和線段不在同一條直線上）旋轉(zhuǎn)一定角度（暫時(shí)先探究旋轉(zhuǎn)角<180°）掃過的面積時(shí)，不能一刀切地總結(jié)為兩個(gè)扇形面積之差，其實(shí)結(jié)論和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段同這條線段形成的兩個(gè)夾角的大小有關(guān)，要分情況而定.

筆者寫這篇文章的目的之一，是希望今后我們?cè)诳偨Y(jié)某類數(shù)學(xué)問題的求解方法時(shí)，不能以偏概全，草草地總結(jié)，應(yīng)嚴(yán)謹(jǐn)，以免給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來困擾或阻礙（雖然表面上看起來是捷徑）. 所以我們一定不能犯經(jīng)驗(yàn)主義錯(cuò)誤. 經(jīng)驗(yàn)本無錯(cuò)，總結(jié)需謹(jǐn)慎.

本文仍有很多不足之處，敬請(qǐng)大家批評(píng)指正. 在此，特別感謝筆者所在學(xué)校數(shù)學(xué)組的同事在日常教研活動(dòng)中注意到以上幾個(gè)問題，讓筆者有機(jī)會(huì)接觸這樣的問題，感謝數(shù)學(xué)組的王瑞同事，感謝阜陽四中的李得意老師前期參與線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)求面積的畫圖協(xié)作，感謝阜陽市數(shù)學(xué)教研員、阜陽市教育科學(xué)研究所副所長王志剛的督促，使此文成形.