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    從特征向量看高等教育中的“三化”教育教學(xué)改革*

    2022-11-25 02:15:46何章鳴
    智庫時代 2022年40期
    關(guān)鍵詞:三化頭像特征向量

    何章鳴

    (國防科技大學(xué)理學(xué)院)

    一、引言

    數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中“三化”是指案例化、信息化和過程化。特征向量是高等工程數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重點(diǎn)概念[1-2],也是生物識別技術(shù)的理論基礎(chǔ)。捆綁定義的方式導(dǎo)致很難同時理解特征值和特征向量的內(nèi)涵。本文試圖用旋轉(zhuǎn)、反射、投影、生物識別等生活案例來介紹特征值和特征向量,以期提高教學(xué)質(zhì)量,并探索以案例化、信息化和過程化為代表的教育教學(xué)改革實(shí)踐。

    當(dāng)今世界,科技突飛猛進(jìn)。人臉識別產(chǎn)品已廣泛應(yīng)用于金融、司法、軍隊(duì)、公安、邊檢、政府、航天、電力、工廠、教育、醫(yī)療及眾多企事業(yè)單位等領(lǐng)域[3-4]。但是放眼周圍,卻是另一番景象,先看三個案例。

    案例一:在2017年iPhoneX發(fā)布會上,蘋果公司使用了最新的生物識別技術(shù)(人臉識別)。不過,尷尬的是,現(xiàn)場第一次嘗試人臉識別時,居然失敗了,這也讓許多人擔(dān)心蘋果人臉識別的效果。

    案例二:從2015年起,微軟將人臉識別WindowsHello應(yīng)用于平板電腦SurfacePro4的登錄,遺憾的是效果只能說“不錯”,因?yàn)槭÷食^百分之一,最后常用PIN或密碼來解鎖電腦。識別失敗容易導(dǎo)致糟糕的心情,用戶能深刻感受到:使用時間越長,人臉識別失敗率越高,直到完全失效。微軟人臉識別的提示語往往是:“正在尋找你”“請確保你的位置居中,且直視相機(jī)”“太近,請離遠(yuǎn)一點(diǎn)”“確保是你本人”,最后是“無法識別你,請用PIN碼登陸”。

    案例三:與人臉識別不同,指紋信息是非常容易數(shù)字化的,然而指紋識別是否穩(wěn)定呢?某指紋就醫(yī)信息系統(tǒng)經(jīng)常出現(xiàn)“識別失敗,請重新按指紋”的提示。某單位的指紋簽到系統(tǒng),錯誤率很高,成為大家調(diào)侃的對象;另一單位的大門指紋識別系統(tǒng)被棄用,上面寫著“設(shè)備故障”;作者使用的筆記本指紋識別系統(tǒng)、手機(jī)屏幕指紋識別系統(tǒng)的錯誤率都非常高。

    總之,盡管以人臉識別、指紋識別和虹膜識別為代表的生物識別技術(shù)發(fā)展迅速,但是實(shí)踐表明:生物識別技術(shù)還不夠穩(wěn)健,難免失效。其實(shí),生物識別技術(shù)的理論基礎(chǔ)是特征值和特征向量,比如人臉識別中的特征向量稱為特征臉。結(jié)合經(jīng)典特征向量理論[5-6]和MATLAB數(shù)學(xué)軟件[7],本文將回答:

    (1)如何實(shí)施特征向量的案例化教學(xué)?

    (2)如何實(shí)現(xiàn)特征向量的教學(xué)信息化、過程化?

    二、案例化教學(xué)實(shí)施

    特征向量的規(guī)范表述為:若A是n階方陣,k是一個數(shù)字,x是非零n維向量,滿足Ax=kx,則稱k為A的特征值,x為A的對應(yīng)于k的特征向量。

    上述定義同時捆綁定義了特征值和特征向量,這種捆綁定義的方式使得概念很難理解。但是,如圖1和表1所示,特征值和特征向量在生活中是常見的,下面通過討論旋轉(zhuǎn)、反射和投影三種幾何變換小案例來理解特征值和特征向量。

    圖1 旋轉(zhuǎn)(左)、反射(中)和投影(右)

    表1 三種線性變換的特征值和特征向量

    (1)旋轉(zhuǎn)。繞OZ旋轉(zhuǎn)a角度的變換記為

    A=[c,-s,0;s,c,0;0,0,1]

    其中c=cos(a),s=sin(a),顯然OZ在旋轉(zhuǎn)中保持方向不變,伸縮比例等于1,故特征值1對應(yīng)的特征向量為OZ。特別地,當(dāng)a=180時,旋轉(zhuǎn)后,{OX,OY}長度不變,方向相反,故特征值-1對應(yīng)的特征向量為{OX,OY}。

    (2)反射。在{OX,OY}所在水平面的反射變換記為

    A=[1,0,0;0,1,0;0,0,-1]

    顯然OX,OY在反射中保持方向不變,伸縮比例等于1,故特征值1對應(yīng)的特征向量為OX,OY。另外,與水平面垂直的方向OZ,在反射中方向平行相反,伸縮比例等于1,故特征值-1對應(yīng)的特征向量為OZ。

    (3)投影。在{OX,OY}所在投影面的投影變換記為

    A=[1,0,0;0,1,0;0,0,0]

    顯然OX,OY在投影中保持方向不變,伸縮比例等于1,故特征值1對應(yīng)的特征向量為OX,OY。另外,與投影面垂直的方向OZ,投影后變?yōu)榱阆蛄?方向任意),伸縮比例等于0,故特征值0對應(yīng)的特征向量為OZ。

    從旋轉(zhuǎn)、反射和投影中發(fā)現(xiàn):特征向量實(shí)質(zhì)就是變換前后保持方向不變的量,特征值的絕對值實(shí)質(zhì)是變換前后長度的“伸縮比例”。

    下面用一個農(nóng)業(yè)人員和非農(nóng)人員比例案例解釋“特征值”的意義。

    例 在從事農(nóng)業(yè)工作的人員中,每年有四分之一改為從事非農(nóng)業(yè)工作。在從事非農(nóng)業(yè)工作的人員中,每年有六分之一改為從事農(nóng)業(yè)工作。若人員總數(shù)不變,預(yù)測多年之后農(nóng)業(yè)人員和非農(nóng)業(yè)人員從業(yè)情況的發(fā)展趨勢。

    分析 設(shè)最初農(nóng)業(yè)人員和非農(nóng)業(yè)人員的數(shù)量占比分別 為[x0;y0]= [1/2,1/2]。第1年末農(nóng)業(yè)人員和非農(nóng)業(yè)人 員 的 數(shù) 量 為x1,y1。依據(jù)題意有x1=3*x0/4+y*0/6,y1=x0/4+5*y0/6,人員遷移矩陣為A=[3/4,1/6;1/4,5/6]。第k年,農(nóng)業(yè)人員和非農(nóng)人員滿足[xk;yk]=Ak[x0;y0],因?yàn)閇3/4,1/6;1/4,5/6][2;3]=[2;3], [3/4,1/6;1/4,5/6][1;-1]=7/12[1;-1],所以兩個特征值為1,7/12,對應(yīng)的特征向量分別為[2;3],[1;-1]。 記P=[2,1;3,-1],有A=Pdiag([1,7/12])P-1。第k年,農(nóng)業(yè)人員和非農(nóng)人員滿足[xk;yk]=[2(1+(7/12)^k/2);3(1-(7/12)^k/2)]/5→[0.4;0.6](k→inf).

    備注1:直覺上,農(nóng)業(yè)人員會越來越少,非農(nóng)農(nóng)口會越來越多。但是,如圖2所示,農(nóng)業(yè)人員和非農(nóng)人員比例會趨向于穩(wěn)定在某個比例值,在本案例中該比例為2:3。

    圖2 農(nóng)業(yè)人員和非農(nóng)人員比例變化趨勢

    備注2:如圖2所示,特征值7/12反映了人員比例收斂的快慢。

    三、信息化和過程化教學(xué)實(shí)施

    下面用人臉識別技術(shù)說明特征向量的信息化和過程化教學(xué)實(shí)施。

    人臉識別技術(shù)是三種常見生物識別技術(shù)的之一。同一個人的頭像匯聚到一起,不同人的頭像會相互分離。因?yàn)轭^像可以用矩陣表示,而矩陣又可以拉直變成向量,因此頭像的匯聚程度可以用向量的距離來表示。受拍照條件影響,如光照、視角、背景、打扮等等,同一個人的頭像也存在很大的視覺差異。盡管如此,頭像有不容易被環(huán)境因素改變的信息,比如輪廓信息,稱為特征臉(Eigenfaces)。因此,一副人臉圖像可以分解為兩部分,一部分容易被光照、視角、背景、打扮等影響,代表了環(huán)境的特征,另一部分不容易被上述環(huán)境因素影響,代表了人臉的特征。前一部分張成的子空間為環(huán)境子空間,后一部分張成的子空間為特征臉子空間。兩個空間的并空間構(gòu)成整個圖像空間。

    人臉識別的關(guān)鍵是:把一副新的圖像投影到特征臉子空間,盡量減少環(huán)境對識別的影響,并通過它的投影點(diǎn)在子空間的位置進(jìn)行識別。

    下面用CroppedYale[7]數(shù)據(jù)庫進(jìn)行人臉識別實(shí)驗(yàn):經(jīng)過預(yù)處理,本實(shí)驗(yàn)使用了38個人的2242張頭像,每人59張頭像。每個頭像有個像素點(diǎn),因此每個頭像相當(dāng)于是一個的矩陣,矩陣?yán)弊兂傻南蛄俊拿總€人的59張頭像中隨機(jī)選中50張作為訓(xùn)練集,共38*50=1900張訓(xùn)練圖片;其余作為測試集,共38*(59-50)=342張測試圖片。

    訓(xùn)練集記為Xtrain =[xtrain_1,…,xtrain_1900],它是16384行1900列的矩陣,其 中xtrain_i,(i=1,…,1900)是16384維列向量,表示已知的人臉頭像集,也就是說與Xtrain對應(yīng)的訓(xùn)練標(biāo)簽集為Ytrain =[ytrain_1,…,ytrain_1900]是1行1900列的行向量,其中每個ytrain_i是已知的。

    測試集記為Xtest =[xtest_1,…,xtest_342]是16384行342列的矩陣,其中xtest_i,(i=1,…,342)是16384維列向量,表示未知的人臉頭像集,也就是說與Xtest對應(yīng)的訓(xùn)練標(biāo)簽集為Ytest =[ytest_1,…,ytest_342]是1行342列的行向量,其中每個ytest_i是未知的。

    常規(guī)人臉識別過程如下:

    第一步:求平均臉mtrain=[xtrain_1+…+xtrain_1900]/1900,結(jié)果見圖3;

    第二步:訓(xùn)練集的中心 化xtrain_i=xtrain_i -mtrain,(i=1,…,1900);

    第三步:求協(xié)方差矩陣A=Xtrain*XtrainT;

    第四步:求特征臉,特征分解為AP=PD,其中D=diag(k1,…,k1900)是A的非零特征值構(gòu)成的對角矩陣,按降序排列。16384行1900列的矩陣P就是特征臉,見圖4;

    圖4 不同特征值對應(yīng)的特征臉

    第五步:測試集的中心化xtest_j=xtest_j-mtrain,(j=1,…,342);

    第六步:求訓(xùn)練集和測試集在特征臉上的得分,實(shí)質(zhì)是求訓(xùn)練集的每個頭像在正交基(即特征臉)下的坐標(biāo);

    第七步:判斷每個測試頭像屬于誰,實(shí)質(zhì)就是求最小距離。若i0=argmin(norm(xtest_j-xtrain_i)),(j=1,…,342,i=1,…,1900),則xtest_j的 標(biāo)簽就是xtrain_i0的標(biāo)簽,即ytest_j=ytrain_i0。

    四、結(jié)論

    特征向量實(shí)質(zhì)就是那些在變換中方向不變量,特征值的絕對值就是長度變化的比例。環(huán)境的改變可能導(dǎo)致生物特征向量扭曲,導(dǎo)致識別率變低。降維技術(shù)可能改善生物識別的識別率,該識別過程會經(jīng)歷一個“欠學(xué)習(xí)-最優(yōu)學(xué)習(xí)-過學(xué)習(xí)”的過程。去掉最大特征值對應(yīng)的特征臉可以顯著提高識別率,這意味著類別的差異性不一定表現(xiàn)在大特征值對應(yīng)的特征臉,且類別差異性容易被環(huán)境扭曲。在特征值的教學(xué)工作中,應(yīng)該注意以下幾點(diǎn):

    (1)案例化:結(jié)合實(shí)踐案例,概念從生活中來到生活中去,同時結(jié)合信息時代背景,使學(xué)員、教員和課程收益。

    (2)信息化和過程化:結(jié)合數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件,把有限的精力從手算歷史中解放出來,學(xué)會利用數(shù)學(xué)軟件按規(guī)范過程解決現(xiàn)實(shí)問題,培養(yǎng)具有扎實(shí)理論基礎(chǔ)和實(shí)踐應(yīng)用能力的復(fù)合型人才。

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