基于觀測(cè)器的非線性多智能體系統(tǒng)的分組一致性

王 丹，李偉勛，張麗瓊，劉 佳

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津300222；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，天津300222）

近幾十年來(lái)，由于控制領(lǐng)域的快速發(fā)展，多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制得到了各領(lǐng)域?qū)＜覍W(xué)者們的高度重視。多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制應(yīng)用有如下方面：一致性問(wèn)題、同步、群集和蜂擁、編隊(duì)控制以及聚集問(wèn)題。其中，一致性作為最基礎(chǔ)和最重要的問(wèn)題，一直是控制領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。一致性問(wèn)題，即隨著時(shí)間的演化，通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)控制協(xié)議，使得復(fù)雜系統(tǒng)中所有智能體的狀態(tài)達(dá)到一致。Hu等[1]研究了耦合通訊時(shí)滯下的二階多智能體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問(wèn)題。由于現(xiàn)實(shí)生活中，很多系統(tǒng)不一定是線性系統(tǒng)，當(dāng)非線性取0時(shí)，即為一般線性多智能體系統(tǒng)[2]，因而它能退化成任意階的多智能體模型，故非線性系統(tǒng)的適用范圍更廣，且更具有一般性。如Shi等[3]提出非線性分布式控制協(xié)議，研究了非線性系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問(wèn)題。

實(shí)際生活中，智能體的狀態(tài)不會(huì)全部達(dá)到一個(gè)相同的狀態(tài)，往往是同一組智能體的狀態(tài)相同，而不同組是另外一個(gè)值。Yu等[4]第一次提出分組一致性的相關(guān)概念，即相同子網(wǎng)的智能體達(dá)到相同的收斂狀態(tài)，而不同子網(wǎng)間的智能體相互獨(dú)立，并研究了一階多智能體具有有向拓?fù)鋱D的組一致性問(wèn)題。組一致性作為一個(gè)新興的課題，其為常規(guī)一致性的特例，且適用范圍更廣，所以研究分組一致性十分必要。王強(qiáng)等[5]在連通二部圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下，通過(guò)使用基于競(jìng)爭(zhēng)的控制協(xié)議方法，分別研究了有時(shí)滯和無(wú)時(shí)滯下的一類多智能體系統(tǒng)的分組一致性問(wèn)題；Cui等[6-7]研究了有向切換拓?fù)湎露A多智能體系統(tǒng)的分組一致性跟蹤控制問(wèn)題和通訊時(shí)滯下二階多智能體系統(tǒng)的分組一致性問(wèn)題。

鑒于大多數(shù)文獻(xiàn)是基于鄰居智能體的相關(guān)信息構(gòu)建的一致性協(xié)議，而在實(shí)際操作中，由于成本或技術(shù)的原因，系統(tǒng)的某些狀態(tài)變量并不是都可以直接檢測(cè)，故需要設(shè)計(jì)基于鄰域的分布式觀測(cè)器。所謂分布式，是指當(dāng)一部分跟隨者和領(lǐng)導(dǎo)者之間無(wú)信息傳遞時(shí)，它們需要用分布式的方法從其鄰居那里得到領(lǐng)導(dǎo)者的信息。Hong等[8-9]構(gòu)造了一階多智能體系統(tǒng)和二階多智能體系統(tǒng)的基于分布式觀測(cè)器設(shè)計(jì)的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性的追蹤問(wèn)題。針對(duì)智能體狀態(tài)不可測(cè)的問(wèn)題，劉忠信等[10]通過(guò)設(shè)計(jì)基于觀測(cè)器的一致性算法，解決了一般線性系統(tǒng)的基于觀測(cè)器的一致性控制問(wèn)題。上述研究大多基于線性系統(tǒng)，針對(duì)非線性部分，Xu等[11]通過(guò)設(shè)計(jì)基于觀測(cè)器的分布式非連續(xù)的一致性控制協(xié)議，研究了帶有自適應(yīng)耦合參數(shù)的二階多智能體系統(tǒng)基于觀測(cè)器的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問(wèn)題。Chu等[12]提出了一個(gè)非連續(xù)的觀測(cè)器協(xié)議，利用矩陣?yán)碚?、交換系統(tǒng)理論以及平均方法研究了一般線性系統(tǒng)帶有Lipschitz非線性項(xiàng)的間歇通信非線性多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題。

Han等[13]采用基于擾動(dòng)觀測(cè)器的方法抑制由外部系統(tǒng)造成的擾動(dòng)，研究了具有外生擾動(dòng)的多智能體系統(tǒng)的包含控制問(wèn)題，雖然它們?cè)趧?dòng)力學(xué)方程中都不止含有1個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者，但此研究對(duì)一般線性系統(tǒng)帶有干擾觀測(cè)器的包含控制一致性問(wèn)題進(jìn)行了探討，即一致性實(shí)現(xiàn)途徑是跟隨者的狀態(tài)移動(dòng)到由領(lǐng)導(dǎo)者構(gòu)成的凸包中。與文獻(xiàn)[13]不同，本文分別考慮線性和非線性系統(tǒng)基于分布式觀測(cè)器的分組一致性問(wèn)題，即將智能體分為2組，每組有1個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者，并通過(guò)設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制協(xié)議，用基于觀測(cè)器的方法觀測(cè)每組智能體中跟隨者智能體跟隨領(lǐng)導(dǎo)者智能體的跟蹤狀態(tài)軌跡。

1 問(wèn)題描述與預(yù)備知識(shí)

1.1圖論

由于多智能體系統(tǒng)在協(xié)同各智能之間體有信息傳遞，其之間的信息交互可以通過(guò)拓?fù)鋱D來(lái)描述[14]，將每個(gè)智能體看作圖的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，從而使得結(jié)果更為直觀。假設(shè)由n+m個(gè)智能體的加權(quán)有向圖G表示為G=（V，E，A）。其中，每一個(gè)頂點(diǎn)表示一個(gè)智能體。頂點(diǎn)集合V={v1，v2，…，vn+m}，有向邊集合E?（vj，vi），每組智能體i的鄰居節(jié)點(diǎn)集合為N1i= {j∈V1：（i，j）∈E，j≠i}，N2i={j∈V2：（i，j）∈E，j≠i}，將它們寫成緊湊的形式得到Ni={j∈V：（i，j）∈E，j≠i}=N1i∪N2i。

非負(fù)加權(quán)鄰接矩陣A=[aij]n×n，aij>0。當(dāng)且僅當(dāng)（vj，vi）∈E，即表示頂點(diǎn)vj能接收到vi的信息，否則aij=0。

度矩陣定義為D=diag{d1（v1），d2（v2），…，dn+m（vn+m）}。式中：D為第i個(gè)跟隨者智能體與領(lǐng)導(dǎo)者智能體之間的連通矩陣。

平衡圖是指所有節(jié)點(diǎn)的入度與出度相等，即degin（vi）=degout（vi），頂點(diǎn)vi定義為

圖G的拉普拉斯矩陣定義為：L=D-A，Lij=

將n+m個(gè)智能體分2組。第1組：I1={1，2，…，n}，V1={1，2，…，n}追蹤第1個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者；第2組：I2={n+1，n+2，…，n+m}，V2={n+1，n+2，…，n+m}追蹤第2個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者。并且有I=I1∪I2，V=V1∪V2，E=E1∪E2。

定義1多智能體系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)組一致性跟蹤控制，如果滿足以下條件

假設(shè)12組之間入度平衡[14]的條件為

該條件保證了系統(tǒng)能達(dá)到分組漸近一致的條件，即不同組之間相互影響的權(quán)重之和為0。

1.2 模型構(gòu)建

假設(shè)2存在非負(fù)常數(shù)ρ1和ρ2，使得

假設(shè)3對(duì)于每一個(gè)跟隨者來(lái)說(shuō)，都至少有一條路徑與領(lǐng)導(dǎo)者連通。

引理1[15]對(duì)于任意的向量a，b∈Rn以及正定矩陣Φ∈Rn×n，下列不等式成立

針對(duì)多智能體基于觀測(cè)器的分組一致性分析，本文從非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)進(jìn)行闡述。

1.2.1 非線性系統(tǒng)

針對(duì)非線性系統(tǒng)，本文考慮有n+m個(gè)跟隨者和2個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者構(gòu)成的多智能體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問(wèn)題。其中，領(lǐng)導(dǎo)者的動(dòng)態(tài)方程為

式中：x*j、v*j、f分別為領(lǐng)導(dǎo)者的位置、速度和非線性項(xiàng)，x*j∈R，v*j∈R，f（x*j（t），v*j（t），t）；f：R×R×R。

跟隨者的動(dòng)態(tài)方程為

式中：xi∈R、vi∈R、f（xi（t），vi（t），t）分別為第i個(gè)智能體的位置、速度和非線性項(xiàng)；f：R×R×R。

針對(duì)非線性系統(tǒng)，由于部分跟隨者智能體得不到領(lǐng)導(dǎo)者智能體的信息，故需要設(shè)計(jì)分布式控制協(xié)議，使得每個(gè)跟隨者智能體利用其獲得鄰居智能體的信息，從而估計(jì)領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)。控制協(xié)議如下

式中：r、c為給定的常數(shù)；以所設(shè)計(jì)的控制協(xié)議的第1組為例，u*1為第1個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者智能體的控制輸入；為第i個(gè)智能體與其鄰居智能體狀態(tài)誤差的累加部分；di（xi（t）-x*1（t））為第i個(gè)智能體與領(lǐng)導(dǎo)者智能體狀態(tài)誤差項(xiàng)為第i個(gè)智能體對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者速度的觀測(cè)值與其速度的誤差；為第2組對(duì)第1組的影響。

觀測(cè)器下智能體的動(dòng)態(tài)方程為

由于跟隨者智能體得不到領(lǐng)導(dǎo)者的速度信息，故無(wú)法設(shè)計(jì)各跟隨者與其領(lǐng)導(dǎo)者智能體之間的速度誤差項(xiàng)，只能通過(guò)速度觀測(cè)值誤差進(jìn)而估計(jì)跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者的速度誤差，這是區(qū)分本文中分布式觀測(cè)器和分布式控制器設(shè)計(jì)的不同之處。

為了分析該二階非線性多智能體系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)基于觀測(cè)器的領(lǐng)導(dǎo)跟隨組一致性問(wèn)題，定義狀態(tài)誤差ξ1i（t）=xi（t）-x*1（t），（i=1，2，…，n）；ξ2i（t）=xi（t）-x*2（t），（i=n+1，n+2，…，n+m），則有ξi（t）=[ξT11（t），ξT12（t），…，ξT1n（t），ξT2，n+1（t），ξT2，n+2（t），…，ξT2，n+m（t）]T，（i=1，2，…，n+m）。

定義速度誤差η1i（t）=vi（t）-v*1（t），（i=1，2，…，n）；η2i（t）=vi（t）-v*2（t），（i=n+1，n+2，…，n+m），則有ηi（t）=[ηT11（t），ηT12（t），…，ηT1n（t），ηT2，n+1（t），ηT2，n+2（t），…，ηT2，n+m（t）]T，（i=1，2，…，n+m）。

標(biāo)記

則閉環(huán)系統(tǒng)的誤差方程可寫為

其中，

1.2.2 線性系統(tǒng)

針對(duì)線性系統(tǒng)，本文考慮有n+m個(gè)跟隨者和2個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者構(gòu)成的多智能體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問(wèn)題。其中，領(lǐng)導(dǎo)者的動(dòng)態(tài)方程為

式中：x*j∈R和v*j∈R分別表示領(lǐng)導(dǎo)者的位置和速度。

跟隨者的動(dòng)態(tài)方程為

式中：xi∈R和vi∈R分別為第i個(gè)智能體的位置和速度。

針對(duì)線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)如下的分布式控制協(xié)議

觀測(cè)器下智能體的動(dòng)態(tài)方程為

2 主要結(jié)果

以下的定理分別給出了基于觀測(cè)器的非線性系統(tǒng)以及線性系統(tǒng)分組一致性實(shí)現(xiàn)的條件。

2.1 基于觀測(cè)器的非線性系統(tǒng)的分組一致性

定理1考慮到給定的多智能體系統(tǒng)（1）、（2），系統(tǒng)滿足所有的假設(shè)條件。在控制協(xié)議（3）和觀測(cè)器（4）下，所有的跟隨者能跟蹤上領(lǐng)導(dǎo)者，并且跟蹤誤差趨于0，即表示所構(gòu)建的二階非線性多智能體系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)基于觀測(cè)器的分組一致性，如果以下條件成立

式中：

r、c為給定的常數(shù)；k∈R，k>1。

證明對(duì)于系統(tǒng)（1）、（2），選取Lyapunov函數(shù)為V=εTPε

對(duì)V沿著閉環(huán)系統(tǒng)的誤差方程（5）求導(dǎo)，可得

分別代入矩陣P、E、F計(jì)算得

由引理1得

令

則

式中：

如果有Q＜0，則可進(jìn)一步得到V˙＜0。因此，誤差系統(tǒng)（5）能實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定，即表示多智能體系統(tǒng)在狀態(tài)協(xié)議（3）下能達(dá)到基于觀測(cè)器的分組一致性。

2.2 基于觀測(cè)器的線性系統(tǒng)的分組一致性

定理2考慮到給定的多智能體系統(tǒng)（6）、（7），系統(tǒng)滿足所有的假設(shè)條件。在控制協(xié)議（8）和觀測(cè)器（9）下，所有的跟隨者能跟蹤上領(lǐng)導(dǎo)者，并且跟蹤誤差趨于0，即表示所構(gòu)建的二階線性多智能體系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)基于觀測(cè)器的分組一致性，如果以下條件成立

式中：

r、c為給定的常數(shù)；k∈R，k>1。

線性系統(tǒng)多智能體基于觀測(cè)器的分組一致性證明和定理1類似，這里不再贅述。

3 數(shù)值模擬

在這一部分中給出了基于定理1和推論1的仿真實(shí)例?？紤]了包含2個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和6個(gè)智能體的拓?fù)鋱D，令智能體①②③為第1組，智能體④⑤⑥為第2組，它們分別跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者⑦和⑧。取r=0.4，c=0.2，針對(duì)所分的2組，選取不同領(lǐng)導(dǎo)者的控制輸入分別為u1=5+0.5sin（t），u2=1+0.8cos（t）。跟隨者的非線性項(xiàng)為f=－0.2sin（t）－0.6vi+2.25cos（2.5t）。

非線性系統(tǒng)狀態(tài)圖和誤差圖中各智能體的初始狀態(tài)分別為

多智能體系統(tǒng)的拓?fù)鋱D為固定拓?fù)洌渫負(fù)鋱D如圖1所示。

圖1 多智能體系統(tǒng)的拓?fù)鋱D

由圖1可知，第1組的智能體①②能得到領(lǐng)導(dǎo)者⑦發(fā)出的信息，第2組的智能體④⑤能得到領(lǐng)導(dǎo)者⑧發(fā)出的信息，并且每組的領(lǐng)導(dǎo)者之間沒(méi)有信息交流。從而進(jìn)一步得出系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的鄰接矩陣和跟隨者之間對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣分別為

以下為通過(guò)Matlab仿真給出的基于觀測(cè)器下非線性系統(tǒng)多智能體的狀態(tài)軌跡圖以及其所對(duì)應(yīng)的跟蹤誤差圖，如圖2—圖5所示。

由圖2、圖3可知，每組智能體分別跟蹤上了其對(duì)應(yīng)的領(lǐng)導(dǎo)者。由圖4、圖5得到：位置誤差、速度誤差都可以在15 s內(nèi)收斂到0，故該仿真實(shí)驗(yàn)可以驗(yàn)證本文所構(gòu)建模型的合理性。

圖2 分組一致性位置狀態(tài)圖

圖3 分組一致性速度狀態(tài)圖

圖4 分組一致性位置跟蹤誤差軌跡圖

圖5 分組一致性速度跟蹤誤差軌跡圖

4 結(jié)語(yǔ)

本文研究了基于觀測(cè)器的二階非線性多智能體系統(tǒng)的分組一致性問(wèn)題，針對(duì)多智能體系統(tǒng)中領(lǐng)導(dǎo)者的速度信息不可測(cè)的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了分布式觀測(cè)器，即通過(guò)利用已知的、能觀測(cè)的跟隨者智能體的速度信息以及各跟隨者智能體速度觀測(cè)值與其速度的誤差，進(jìn)而估計(jì)跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者的速度誤差。為了實(shí)現(xiàn)分組一致性跟蹤問(wèn)題，基于觀測(cè)器的相對(duì)輸出信息，設(shè)計(jì)了分布式控制協(xié)議，通過(guò)構(gòu)建合適的Lyapunov函數(shù)以及使用舒爾補(bǔ)等相關(guān)引理，分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并由Matlab繪制出了非線性系統(tǒng)的狀態(tài)圖和誤差圖。結(jié)果表明，構(gòu)建的模型既保證了觀測(cè)器誤差趨于0，也實(shí)現(xiàn)了分組一致性跟蹤問(wèn)題。

由于實(shí)際的多智能體系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)往往不是一成不變的，所以本文接下來(lái)將研究在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為切換的情況下，基于觀測(cè)器的非線性多智能體系統(tǒng)的分組一致性問(wèn)題。由于本文考慮的是二階系統(tǒng)并且智能體的維數(shù)是一維的，所以會(huì)進(jìn)一步考慮如果系統(tǒng)是更高階或者智能體的狀態(tài)是高維的情況下，基于觀測(cè)器的多智能體系統(tǒng)的分組一致性實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題。