雙軸運動系統(tǒng)GPCC與交叉耦合輪廓控制對比研究

張秀云，王志強，卞 杰

（1.天津職業(yè)技術師范大學天津市信息傳感與智能控制重點實驗室，天津300222；2.天津職業(yè)技術師范大學汽車與交通學院，天津300222；3.云南工業(yè)技師學院，曲靖655300）

在多軸輪廓軌跡的跟蹤控制中，提高輪廓精度、實現(xiàn)精密輪廓跟蹤一直是運動控制領域研究的重點課題之一。在傳統(tǒng)方法中，各軸的運動慣性、負載不平衡以及響應不及時等問題會造成軌跡轉(zhuǎn)折點處輪廓誤差大、動態(tài)響應速度慢的問題[1]，通?？梢酝ㄟ^降低單軸的跟蹤誤差來提高輪廓精度，近年來已有很多學者通過設計更高精度的單軸控制器來提升系統(tǒng)輪廓性能，如采用前饋控制[2]、零相位誤差跟蹤控制[3]等。但是僅僅提高單軸跟蹤精度不能完全保證多軸輪廓誤差的降低[4]，為此需要同時協(xié)同多軸控制，Koren[5]最早提出交叉耦合輪廓控制（cross-coupling contour control，CCCC）以提高雙軸運動系統(tǒng)的輪廓精度，隨后許多學者結(jié)合變增益控制[6]、魯棒控制[7]、自適應控制[8]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[9]、迭代學習控制[10]、預測控制[11]以及模糊控制[12]等設計控制器，改善雙軸運動系統(tǒng)的輪廓性能。廣義預測控制（generalized predictive control，GPC）是Clarke等[13]于1987年提出的一種自適應模型預測控制算法，該算法被廣泛應用于電機控制中。文獻[14-15]將顯式廣義預測控制用于三相永磁同步電機的速度和位置控制，并設計單積分和雙積分的預測算法跟蹤階躍和斜坡參考信號。文獻[16]提出基于廣義預測控制和擴展狀態(tài)觀測器的永磁同步電機控制，通過對擾動量的補償，提高魯棒性。

本文基于統(tǒng)一建模的思想建立統(tǒng)一預測模型，通過多步預測、滾動優(yōu)化和反饋校正的方法對雙軸運動系統(tǒng)的輪廓精度進行優(yōu)化。

1 雙軸運動系統(tǒng)輪廓誤差及交叉耦合輪廓控制

本文所選用的雙軸運動系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 雙軸運動系統(tǒng)

伺服軸的實際位置P與電機機械角位置θ之間的關系為

式中：r為滾珠絲杠的螺距。

跟蹤誤差e和線性輪廓誤差ε的計算方法為

式中：β為輪廓軌跡期望位置點處的切線與x軸正方向的夾角。

傳統(tǒng)交叉耦合輪廓控制策略簡稱為級聯(lián)CCCC策略，該控制策略結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 傳統(tǒng)交叉耦合控制結(jié)構(gòu)圖

從圖2可以看出，傳統(tǒng)交叉耦合輪廓控制結(jié)構(gòu)具有一定局限性：①控制結(jié)構(gòu)冗余，控制器參數(shù)調(diào)節(jié)繁瑣。②采用經(jīng)典級聯(lián)型控制結(jié)構(gòu)，多控制環(huán)極大地限制了系統(tǒng)的動態(tài)響應速度，存在軌跡轉(zhuǎn)折點處動態(tài)響應速度慢、輪廓誤差大等問題。

2 雙軸運動系統(tǒng)廣義預測輪廓控制

為了解決傳統(tǒng)級聯(lián)CCCC結(jié)構(gòu)的局限性，本文區(qū)別于傳統(tǒng)的“級聯(lián)”控制結(jié)構(gòu)，基于統(tǒng)一建模的思想，建立整合型同步控制架構(gòu)，并設計緊湊的預測輪廓控制器，其控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

從圖3可以看出，應用預測控制建立緊湊的預測輪廓控制器，能夠?qū)崿F(xiàn)輪廓誤差的預測控制，且具有建模直觀、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點。

2.1 永磁同步電機的數(shù)學模型

PMSM的動態(tài)方程和運動方程為

式中：ud、uq分別為d軸、q軸電壓；id、iq分別為d軸、q軸電流；Rs為定子電阻；Ls為定子電感；ω為電機轉(zhuǎn)子機械角速度；p為極對數(shù)；ψf為永磁體磁鏈；Te為電磁轉(zhuǎn)矩；KT為轉(zhuǎn)矩系數(shù)；J為轉(zhuǎn)動慣量；B為摩擦系數(shù)；TL為負載轉(zhuǎn)矩。

式（6）可以表示為關于θ的二次函數(shù)，即

當電機空載即TL=0，由式（7）和式（5）可得PMSM機械運動開環(huán)傳遞函數(shù)為

針對式（8），加入零階保持器，并進行z變換，得到PMSM機械運動z域傳遞函數(shù)為

式中：a1=-（1+e-Ts·B/J）；a2=e-Ts·B/J；b0=（KT/B）·[Ts-（J/B）·（1-e-Ts·B/J）]；b1=（KT/B）·[（J/B）·（1-e-Ts·B/J）-Ts·e-Ts·B/J]；Ts為采樣周期。

考慮隨機擾動，可得到單軸PMSM的受控自回歸積分滑動平均（CARIMA）模型為

式中：ξ（k）表示隨機擾動；Δ=1-z-1為差分算子；A（z-1）=1+a1z-1+a2z-2；B（z-1）=b0+b1z-1。

故雙軸運動系統(tǒng)CARIMA模型可以表示為

iq（k-1）=[iqx（k-1） iqy（k-1）]T；T表示轉(zhuǎn)置。

2.2 雙軸運動系統(tǒng)廣義預測輪廓控制算法

本文基于統(tǒng)一建模的思想，采用GPC設計x、y軸整體位置-電流多步預測控制器，得到輸出位置的預測序列，將預測序列與設定序列比較，得到跟蹤誤差與輪廓誤差序列，將輪廓誤差作為該雙軸運動系統(tǒng)的內(nèi)部變量，加入價值函數(shù)，通過最優(yōu)化價值函數(shù)，確定作用于當前時刻的電流控制量，電流環(huán)采用id*=0控制，將其簡稱為GPCC策略，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。

圖4 GPCC控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖中θx*、θy*為x、y軸電機的未來位置設定值；θx（k）、θy（k）為x、y軸電機當前時刻的位置反饋值。在當前采樣時刻kTs，基于統(tǒng)一預測模型，利用當前和未來Nu步的控制增量序列ΔIqT=[ΔIqxΔIqy]、過去的控制增量序列ΔIq_0T=[ΔIqx_0ΔIqy_0]以及當前和過去的系統(tǒng)輸出ΘT=[ΘxΘy]，對x、y軸電機未來有限時域[（k+1）·Ts，（k+N）Ts]的輸出序列進行預測，將得到的預測序列與經(jīng)平滑后的位置設定序列ΘrT=[ΘrxΘry]進行比較，得到x、y軸電機的跟蹤誤差序列ET=[ExEy]，經(jīng)過變換得到系統(tǒng)的輪廓誤差序列Φ，將E和Φ加入價值函數(shù)，通過對min J（k）進行最優(yōu)化處理，得到x、y軸電機當前時刻的控制量iqx*和iqy*。

（1）平滑

參考軌跡為一階滯后模型，有

式中：0≤α＜1，α被稱為柔化因子；j=1，…，N。

（2）優(yōu)化

價值函數(shù)選為

式中：μ為輪廓誤差系數(shù)；λ為控制加權系數(shù)。

（3）統(tǒng)一預測模型建立

若令N為預測域，Nu為控制域，nax和nay分別為Ax（z－1）和Ay（z－1）的最高階次，nbx和nby分別為Bx（z－1）和By（z－1）的最高階次，則可將x、y軸電機位置設定序列，預測序列和跟蹤誤差序列Θrx、Θry、Θ^x、Θ^y，Ex和Ey用統(tǒng)一符號Y表示，則有Y=[y（k+1），…，y（k+N）]；隨機擾動序列為ζ=[ξ（k），…，ξ（k+N）]；輪廓誤差序列為Φ=[ε（k），…，ε（k+N）]；x、y軸電機的當前、未來和過去時刻的控制增量序列分別為ΔIqx=[ΔIqx（k），…，Δiqx（k+Nu－1）]；ΔIqy=[Δiqy（k），…，Δiqy（k+Nu－1）]；ΔIqx_0=[Δiqx_0（k－ 1），…，Δiqx_0（k -nbx）]；ΔIqy_0=[Δiqy_0（k－1），…，Δiqy_0（k-nby）]；當前和過去的位置輸出序列分別為Θx=[θx（k），...，θx（k-nax）]；Θy=[θy（k），…，θy（k-nay）]。

為得到j步后輸出θ^（k+j）的最優(yōu)預測值，使用Diophantine方程，即

由已知的2臺電機Ax（z－1）、Ay（z－1）、Bx（z－1）和By（z－1），根據(jù)Diophantine方程參數(shù)的遞推公式可以得到x、y軸電機控制過程變量，分別為Dx、Fx、Gx、Hx和Dy、Fy、Gy、Hy，且D=diag[Dx，Dy]；F=diag[Fx，F(xiàn)y]；G=diag[Gx，Gy]；H=diag[Hx，Hy]；其中

因此N步最優(yōu)輸出預測值為

將式（16）代入式（15），可得

當前時刻廣義預測控制量為

3 雙軸運動系統(tǒng)GPCC性能分析

情況1：當μ=0，即價值函數(shù)不含輪廓誤差項時，代入式（18），可得

在這種情況下，為獲得令人滿意的同步性能，雙軸在動態(tài)和靜態(tài)下應該完全同步。

情況2：當Ax（z-1）=Ay（z-1），Bx（z-1）=By（z-1）且λ=0時，Gx（z-1）=Gy（z-1），代入式（18），可得

可以看出，當λ=0時，即價值函數(shù)中不含控制增量項，通過計算可以得到控制量與μ無關，但是為獲得穩(wěn)定及光滑的系統(tǒng)反饋，在大多數(shù)控制輸入計算中，通常選λ>0。

4 仿真研究與分析

為驗證所提出的GPCC策略對雙軸運動系統(tǒng)的控制效果，通過Matlab的Simulink模塊對雙永磁同步電機系統(tǒng)進行仿真研究。

4.1 GPCC與CCCC算法對比

給定雙軸運動系統(tǒng)折線運動軌跡，角度β為45°和-45°，x、y軸的進給速率均為10 mm/s，在0.1 s時，x軸電機加5 N負載，而y軸電機加3 N負載；在0.2 s時，x軸給定軌跡方向不變，y軸給定軌跡方向呈現(xiàn)90°彎折，即運動軌跡經(jīng)過拐點，分別給出傳統(tǒng)CCCC策略和所提出的GPCC策略下的軌跡、跟蹤誤差和輪廓誤差的變化曲線，傳統(tǒng)CCCC與GPCC下雙軸運動系統(tǒng)輸出響應如圖5所示。

圖5 傳統(tǒng)CCCC與GPCC下雙軸運動系統(tǒng)輸出響應

由圖5（a）可以看出，采用GPCC時軌跡的跟蹤效果更好，特別是在電機運行過程中外加負載擾動時，位置信號跌落更小，且更快地恢復到給定值。由圖5（b）和（c）可以看出，在加載和拐點時，采用GPCC時超調(diào)量更小，響應速度變快，即誤差能更快速地收斂，具有更好的動態(tài)特性。由圖5（d）可以看出，在加載和拐點時，采用GPCC時輪廓誤差更小，且能夠更快速地收斂，動態(tài)性能更好。

4.2 GPCC（μ=0）和GPCC（μ=2）對比

為了更好地驗證輪廓誤差項對于所提出的雙軸運動系統(tǒng)GPCC策略的作用，將μ=0時與μ=2時兩種情況相比較。給定與上述相同的雙軸運動系統(tǒng)折線運動軌跡，圖6為預測輪廓控制對應的軌跡、跟蹤誤差和輪廓誤差的變化曲線。

由圖6（a）可以看出，2種方法的跟蹤性能沒有明顯差別。由圖6（b）和（c）可以看出，在加載和拐點時，不含輪廓誤差項的x軸跟蹤誤差在拐點時由于參考信號不變，跟蹤誤差曲線近乎一條直線，但是增加輪廓誤差項時，x軸跟蹤誤差在拐點時會向y軸跟蹤誤差的方向傾倒，即犧牲一部分跟蹤性能以提高同步性能，加載時情況亦是如此。由圖6（d）可以看出，在加載和拐點時，采用改進算法時，輪廓誤差雖然幅值沒有明顯變小，但快速性提高，動態(tài)性能更好。

圖6 GPCC(μ=0)與GPCC(μ=2)下雙軸運動系統(tǒng)輸出響應

4.3 輪廓誤差系數(shù)對系統(tǒng)輪廓誤差的影響

為了說明輪廓誤差系數(shù)μ選取不同值時對輪廓誤差的影響，給定與上述相同的雙軸運動系統(tǒng)折線運動軌跡，圖7為不同μ時的輪廓誤差圖。

圖7 不同μ時的輪廓誤差圖

從圖7可以看出，當在加載或軌跡拐點時，μ=2比μ=0.1輪廓誤差動態(tài)響應快，但當μ=10時，會出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，這是因為當μ取很大的值時，相對來說跟蹤效果的調(diào)節(jié)作用變?nèi)酰菀壮霈F(xiàn)振蕩現(xiàn)象。

5 結(jié)論

本文通過對比研究所提出的廣義預測輪廓控制策略與交叉耦合輪廓控制策略，得到如下結(jié)論：

（1）本文所提算法基于統(tǒng)一建模的思想，將雙軸運動系統(tǒng)中2臺電機的位置環(huán)和速度環(huán)看作整體進行統(tǒng)一建模，能夠簡化雙軸運動系統(tǒng)的整體控制結(jié)構(gòu)，具有建模直觀的優(yōu)點。

（2）本文所提算法能夠在保證穩(wěn)態(tài)輪廓跟蹤性能的前提下，提高系統(tǒng)瞬態(tài)輪廓跟蹤性能，特別是在發(fā)生大轉(zhuǎn)折時，輪廓誤差會減小，且動態(tài)響應速度也會加快。

（3）本文所提算法易于拓展到三維運動軌跡，并且在多臺電機的協(xié)同控制中也能夠有較為廣泛的應用。