簡諧振動(dòng)圓頻率教學(xué)引入方法探討

王金華

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津300222）

圓（角）頻率ω是大學(xué)物理中非常重要的概念，一般在講授簡諧振動(dòng)這一知識點(diǎn)時(shí)引入。由于理工科公共基礎(chǔ)課程的課時(shí)關(guān)系，教師無法對其深入講解，在教學(xué)過程中，學(xué)生對圓頻率的理解和接受存在許多困惑。同時(shí)，理工科專業(yè)《大學(xué)物理》教科書在引入圓頻率時(shí)，大部分采用“定義”方式，即“定義”或“令ω=（以彈簧振子簡諧振動(dòng)為例）[1-9]”，直接稱其為圓頻率；同時(shí)部分參考書依據(jù)圓頻率與頻率間關(guān)系，將圓頻率表示為2πs內(nèi)完成振動(dòng)的次數(shù)[10-11]。有些物理教學(xué)工作者對此提出異議，認(rèn)為2π沒有“s”的涵義[12]，因此，學(xué)生容易對圓頻率這一概念產(chǎn)生不解和困惑。本文對理工科專業(yè)大學(xué)物理授課過程中圓（角）頻率ω的引入方法進(jìn)行探討，提出基于學(xué)生“形象化”思維習(xí)慣，在講授旋轉(zhuǎn)矢量分析法時(shí)引入圓（角）頻率ω概念，可以減少學(xué)生理解圓（角）頻率ω時(shí)的困惑。

1 形象化理解圓頻率ω的分析討論

頻率是單位時(shí)間內(nèi)完成（事件）的次數(shù)。由于中學(xué)物理中講授諸多物理原理和概念時(shí)，大多從日常生活中的現(xiàn)象入手，所以學(xué)生在理解物理概念和原理時(shí)有“形象化”思維慣性[13]。因此，學(xué)生在面對圓頻率時(shí)，易簡單、機(jī)械、形象化地將“圓頻率”與“頻率”建立直接聯(lián)系，在腦海中尋找相關(guān)物理或幾何圖像。“圓頻率”概念在“頻率”前面冠以“圓”字，但是以彈簧振子為模型的振動(dòng)方程講授過程中不存在“圓”的信息或圖像，此處引入“圓頻率”概念，對于學(xué)生常按幾何物體、物理圖像、物理現(xiàn)象為知識基礎(chǔ)和思維習(xí)慣的學(xué)習(xí)行為來講，理解圓頻率這一概念時(shí)就會(huì)產(chǎn)生諸如“為什么稱之為圓頻率，它與頻率是否是同一概念，與圓有什么關(guān)系”等困惑。一般地，理工科常見參考書以講授彈簧振子簡諧振動(dòng)為例，彈簧振子的振動(dòng)如圖1所示。

圖1 彈簧振子的振動(dòng)

一輕彈簧（質(zhì)量忽略不計(jì)）勁度系數(shù)為k，左端固定，右端連一質(zhì)量為m的物體，放在光滑水平面上，物體所受阻力忽略不計(jì)。物體位于O處時(shí)，彈簧具有自然長度。根據(jù)胡克定律與牛頓第二定律，有

求解方程（2），得到簡諧運(yùn)動(dòng)方程

運(yùn)動(dòng)方程（3）為周期函數(shù)，其函數(shù)值隨自變量變化周期性循環(huán)出現(xiàn)。因此，從x=A cosθ（t）的周期性來看，“頻率”也與其函數(shù)值的周期性變化相關(guān)。

簡諧運(yùn)動(dòng)方程x=A cosθ（t）中相位（相角）是極其重要的量，其不僅是該周期函數(shù)的自變量，反映周期函數(shù)在同一函數(shù)值下的不同時(shí)間或時(shí)間差，還包含了相位（相角）隨時(shí)間變化的快慢。進(jìn)一步求解，得到

與后續(xù)講授的旋轉(zhuǎn)矢量分析法相結(jié)合，旋轉(zhuǎn)矢量分析法示意圖如圖2所示。

圖2 旋轉(zhuǎn)矢量分析法示意圖

以上是基于學(xué)生形象化的思維習(xí)慣，結(jié)合大學(xué)物理旋轉(zhuǎn)矢量分析法知識點(diǎn)，對彈簧振子簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程、運(yùn)動(dòng)方程、相位、相關(guān)函數(shù)關(guān)系的周期、頻率、圓（角）頻率等概念引入過程的重新解讀，有助于理工科專業(yè)學(xué)生在學(xué)習(xí)大學(xué)物理時(shí)基于“形象化”思維習(xí)慣，進(jìn)一步理解和掌握相關(guān)概念。但是，這種有益的理解方式并非真正的理解，而是為減少學(xué)習(xí)過程中暫時(shí)出現(xiàn)的困惑，畢竟對物理量、物理概念的理解和掌握要從物理學(xué)的發(fā)展歷史、實(shí)驗(yàn)背景、數(shù)學(xué)處理方法等角度綜合把握。

2 形象化思維習(xí)慣的圓頻率ω授課引入方法

上述關(guān)于形象化理解“圓頻率”的分析思路是基于熟練掌握圓頻率所涉及微分方程、余弦函數(shù)周期、簡諧振動(dòng)振動(dòng)特點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)矢量分析法等知識的前提下形成的，如把旋轉(zhuǎn)矢量分析法與求解彈簧振子動(dòng)力學(xué)微分方程合并講解，進(jìn)行“前后呼應(yīng)”分析。此處的“前后呼應(yīng)”是指利用旋轉(zhuǎn)矢量法的幾何圖像，從“形象化”角度幫助區(qū)分或理解頻率和圓頻率，并非利用旋轉(zhuǎn)矢量法定義圓頻率。在大學(xué)物理實(shí)際教學(xué)過程中，由于授課順序、學(xué)時(shí)的關(guān)系，無法按照上述思路對這一系列知識點(diǎn)進(jìn)行整體講授，因此參考書或課堂授課過程常出現(xiàn)直接“定義”或“令（以彈簧振子簡諧振動(dòng)為例）”，并稱其為圓頻率。該模式下講授彈簧振子簡諧振動(dòng)并涉及圓頻率時(shí)，由于受授課順序、課時(shí)限制等原因影響，不能做到“及時(shí)呼應(yīng)”，或前后呼應(yīng)時(shí)間間隔太長（因課時(shí)關(guān)系，講授彈簧振子簡諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、周期、頻率等與旋轉(zhuǎn)矢量分析法這一知識點(diǎn)存在課次間隔）。對于“圓頻率”這一直接定義的物理量，學(xué)生容易對定義為圓頻率、圓頻率的本質(zhì)等產(chǎn)生一系列疑惑。

基于學(xué)生的形象化思維習(xí)慣，以及授課順序、課時(shí)限制等矛盾，建議可在授課過程中采用如下兩種方案引入圓（角）頻率ω：

3 結(jié)語

在物理學(xué)公式、原理、概念的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生?；谛蜗蠡季S習(xí)慣理解相關(guān)概念。簡諧振動(dòng)中圓頻率概念，因沒有“圓”形象，學(xué)生易對“頻率”和“圓頻率”概念產(chǎn)生困惑。本文提出旨在減少學(xué)生理解困惑的引入方法或講授圓頻率的方法，考慮到授課順序及學(xué)生形象化思維習(xí)慣，在求得x=A cosθ（t）運(yùn)動(dòng)方程后，不直接定義為圓頻率；待講授至旋轉(zhuǎn)矢量分析法時(shí)，結(jié)合其“圓”形象特征及振幅矢量的旋轉(zhuǎn)角速率，給出圓頻率符號、概念數(shù)量關(guān)系等。利用這一方法講授圓頻率概念，有助于學(xué)生在“圓”形象基礎(chǔ)上理解圓頻率，避免理解頻率、圓頻率時(shí)產(chǎn)生混淆和困惑，達(dá)到提高課堂授課效果的目的。