基于旋量理論的三頂點(diǎn)剛性折紙可折疊性分析*

莊彥帥， 張 帆， 崔國(guó)華

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海 201620)

0 引 言

折紙機(jī)構(gòu)近年來(lái)發(fā)展迅速，它可以實(shí)現(xiàn)從二維平面到三維立體的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變。現(xiàn)在研究的折紙機(jī)構(gòu)都為剛性折紙，即繞折痕旋轉(zhuǎn)的面板為剛性的，且都在圍繞剛性折紙的可折疊性進(jìn)行科學(xué)探究。折紙機(jī)構(gòu)有著豐富的數(shù)學(xué)理論[1]，日本的三浦公亮曾提出了著名的“三浦折疊”理論，該理論開始應(yīng)用在包裝太陽(yáng)能電池板[2]，之后出現(xiàn)在一種全固態(tài)的可折疊超級(jí)電容器中[3]。折紙?jiān)趹?yīng)用領(lǐng)域方面開始被漸漸關(guān)注，在實(shí)用性上有了重大突破，但是缺乏對(duì)可折疊性的證明，于是在對(duì)剛性折紙可折疊性理論的證明上又引起眾多研究者的探究。EVANS等[4]通過(guò)折紙二面角之間存在的關(guān)系與頂點(diǎn)配置來(lái)判斷剛性折疊性，這種方法使得剛性折紙可折疊性研究可以從角度關(guān)系和配置類型方向探討，為后續(xù)研究奠定了基礎(chǔ)；WU等[5]利用四元數(shù)和對(duì)偶四元數(shù)來(lái)討論剛性折紙可折疊性，后者可適用于分析多頂點(diǎn)折紙的可折疊性，提出了旋轉(zhuǎn)矢量模型，并建立了一組特征矢量之間的環(huán)路封閉條件，可以有效地跟蹤具有單個(gè)頂點(diǎn)或多個(gè)頂點(diǎn)的初始平面或非平坦的整個(gè)剛折疊過(guò)程。但是空間定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的四元數(shù)理論應(yīng)用范圍非常有限，不適用于其他更多形態(tài)可折疊結(jié)構(gòu)。CAI等[6]基于對(duì)偶四元數(shù)的方法，提出了頂點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法來(lái)探究圓柱形折紙可折疊性，通過(guò)對(duì)多頂點(diǎn)折紙系統(tǒng)的QRS法來(lái)分析折角，利用對(duì)偶四元數(shù)計(jì)算所有頂點(diǎn)的坐標(biāo)，可以檢驗(yàn)剛性折紙折疊性，提出了新型的折紙機(jī)構(gòu)即圓柱形折紙機(jī)構(gòu)，但是由于多頂點(diǎn)折紙的折疊角和頂點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜性較高，未能開發(fā)一種檢測(cè)更多不同類型圓柱折紙算法；STERN等[7]通過(guò)尋找能量景觀的基態(tài)來(lái)闡述自疊式折紙的折疊復(fù)雜性，指出了能量景觀在紙張中可編程性的基本限制；ABEL等[8]提出一種線性時(shí)間算法來(lái)測(cè)試具有規(guī)定邊緣長(zhǎng)度和角度的平面圖的可折疊性，以及一種多項(xiàng)式時(shí)間算法來(lái)計(jì)算不同折疊狀態(tài)的數(shù)目，為開發(fā)其他算法提供了方向；SONG等[9]在梯形折痕的折疊運(yùn)動(dòng)學(xué)下，提出了折疊仿真算法和基本逆設(shè)計(jì)理論，還討論了由兩層可獨(dú)立折疊或相容折疊的折疊環(huán)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)條件和程序，提出的框架在設(shè)計(jì)工程雙曲結(jié)構(gòu)中具有很高的應(yīng)用價(jià)值，如飛機(jī)上雙曲夾層結(jié)構(gòu)的可展開圓頂和折疊芯；FENG等[10]研究了廣義三角折紙的峰谷配置及導(dǎo)出的6R連桿，利用D-H法確定單頂點(diǎn)的角度關(guān)系，并拓展到三頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)，確定了32種M-V配置方案，對(duì)用折紙剛性可折疊性進(jìn)行判斷。這些方法都是基于單個(gè)頂點(diǎn)的折紙模型，方法驗(yàn)證了單頂點(diǎn)的峰谷線配置、二面角及扇形角關(guān)系等，并拓展到多頂點(diǎn)的構(gòu)型，提供了折紙機(jī)構(gòu)可折疊性證明的數(shù)理關(guān)系，并開始將折紙與機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)建立聯(lián)系。但是在對(duì)多頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方面還需要進(jìn)一步探究，尤其是利用機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)等效分析的方法還鮮有涉及。

在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析中，利用運(yùn)動(dòng)旋量分析復(fù)雜的空間機(jī)構(gòu)十分便捷，任一齊次變換矩陣T均可以表示為相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)旋量的矩陣指數(shù)[11]。旋量理論在閉環(huán)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析上被普遍應(yīng)用[12-14]。按照旋量的加法規(guī)則，旋量之間的原部與對(duì)偶部也線性相關(guān)。根據(jù)Grassmann線幾何原理，可以根據(jù)線簇種類確定維數(shù)，并通過(guò)維數(shù)進(jìn)一步確定線矢量線性相關(guān)性。偶量為自由矢量，方向相同即可線性相關(guān)。空間共點(diǎn)的一般旋量空間維度最大為6，最小為3[15]。綜上所述，可以通過(guò)旋量之間的線性相關(guān)性來(lái)分析機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)。

在單頂點(diǎn)折紙模型的基礎(chǔ)上，利用現(xiàn)有的折紙配置及角度關(guān)系，提出通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)等效機(jī)構(gòu)及旋量理論證明多頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)剛性可折疊的方法。此方法將折紙與機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)緊密聯(lián)系，區(qū)別于以往的證明方法，從旋量理論的角度解釋可折疊的折紙，由單頂點(diǎn)模型拓?fù)涞饺旤c(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)，對(duì)三頂點(diǎn)折紙進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)的機(jī)構(gòu)等效與剛性可折疊性分析。首先將三頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)等效為3種6R閉環(huán)機(jī)構(gòu)，并且固定其中一根連桿使之為定平臺(tái)，將相對(duì)的連桿定義為動(dòng)平臺(tái)，該機(jī)構(gòu)最終轉(zhuǎn)化為擁有一個(gè)動(dòng)平臺(tái)與一個(gè)定平臺(tái)的雙支鏈6R閉環(huán)機(jī)構(gòu)。計(jì)算出運(yùn)動(dòng)副的當(dāng)前運(yùn)動(dòng)旋量，并由此建立速度方程，對(duì)運(yùn)動(dòng)副運(yùn)動(dòng)旋量間的線性相關(guān)性進(jìn)行分析，當(dāng)閉環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)旋量之間線性無(wú)關(guān)，可證明閉環(huán)機(jī)構(gòu)不具有可動(dòng)性，即不可折疊。當(dāng)運(yùn)動(dòng)旋量之間線性相關(guān)，進(jìn)一步被動(dòng)副可以線性表示出主動(dòng)副，閉環(huán)機(jī)構(gòu)瞬時(shí)速度不全為零，則可驗(yàn)證該機(jī)構(gòu)具有可動(dòng)性，即可折疊。利用機(jī)構(gòu)學(xué)中的旋量理論，以運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度，提出了一種解決三頂點(diǎn)折紙剛性可折疊性的驗(yàn)證方法，并解析三頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)的折疊運(yùn)動(dòng)過(guò)程，分別驗(yàn)證三對(duì)折痕平行、一對(duì)折痕平行及全不平行的3種折紙構(gòu)型的剛性可折疊性。以此為基礎(chǔ)可以進(jìn)行更多頂點(diǎn)的剛性折紙的研究，尤其以三頂點(diǎn)折紙的研究為理論，很容易擴(kuò)展到其他類型的折紙圖案，例如擁有四頂點(diǎn)折紙的正四邊形的機(jī)構(gòu)類型。對(duì)3種不同類型的三頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)的剛性折疊性和機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的深入研究為折紙機(jī)器人的模塊化單元奠定了理論基礎(chǔ)。折紙連續(xù)體機(jī)械臂需要滿足單元模塊間的可折疊，三頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)的類型作為模塊化單元在設(shè)計(jì)中具有很大的應(yīng)用價(jià)值。

1 閉環(huán)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)旋量當(dāng)前表示形式

旋量理論可以將物體的運(yùn)動(dòng)描述為繞某一定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿該軸的直線平移運(yùn)動(dòng)。根據(jù)旋量理論，閉鏈機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解指數(shù)積公式可以表示為[11]

三頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)可以運(yùn)動(dòng)學(xué)等效為6R連桿機(jī)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)學(xué)等效過(guò)程在下一節(jié)有具體表述。通過(guò)利用機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解指數(shù)積公式表示出6個(gè)運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)由初始狀態(tài)下到經(jīng)剛體變換后的位姿。由此可以建立機(jī)構(gòu)末端速度與關(guān)節(jié)速度的線性關(guān)系[12]：

(1)

由此可以建立運(yùn)動(dòng)學(xué)等效的6R機(jī)構(gòu)末端關(guān)節(jié)速度與其余各關(guān)節(jié)速度的線性關(guān)系，并進(jìn)一步將運(yùn)動(dòng)方程與關(guān)節(jié)速度相聯(lián)系。螺旋理論是探究機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)，所以需要得到變化的運(yùn)動(dòng)旋量，因此當(dāng)前位形下單位運(yùn)動(dòng)旋量坐標(biāo)有：

(2)

(3)

(4)

式(4)中：qi(0)為初始位形下軸線上一點(diǎn)的位置矢量。

可以寫出運(yùn)動(dòng)學(xué)等效后6R連桿機(jī)構(gòu)各關(guān)節(jié)當(dāng)前位形下的運(yùn)動(dòng)旋量坐標(biāo)，將得到的各關(guān)節(jié)當(dāng)前位形下的運(yùn)動(dòng)旋量代入到所建立的速度方程中。

1.2 閉環(huán)機(jī)構(gòu)的速度方程

將三頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)等效成6R連桿的閉環(huán)機(jī)構(gòu)，在運(yùn)動(dòng)學(xué)中探究機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性往往是通過(guò)建立閉環(huán)機(jī)構(gòu)的速度方程完成的。將其中一桿件固定，另一桿件作為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，便形成了兩支鏈的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。將當(dāng)前位形下機(jī)器人各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)旋量坐標(biāo)代入式(1)中，得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)的閉環(huán)速度方程為

(5)

得到當(dāng)前的向量方程形式：

(6)

進(jìn)一步可以整理為

(7)

將三頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)首先運(yùn)動(dòng)學(xué)等效為6R連桿閉環(huán)機(jī)構(gòu)，又根據(jù)該折紙運(yùn)動(dòng)形式將其分解為雙支鏈的閉環(huán)機(jī)構(gòu)，從而構(gòu)成并聯(lián)機(jī)構(gòu)。對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)來(lái)說(shuō)，各個(gè)支鏈所連接的末端執(zhí)行器的位姿是相同的，因此建立了如式(7)所示的閉環(huán)機(jī)構(gòu)的速度方程，其中ξnn表示第n條支鏈的第n個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)旋量；θnn表示為第n條支鏈的第n個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量。求解由位姿方程得到的速度方程，來(lái)探究簡(jiǎn)化的6R閉環(huán)機(jī)構(gòu)6關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)旋量之間的線性相關(guān)性，通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)旋量之間的線性相關(guān)性判斷，來(lái)確定運(yùn)動(dòng)學(xué)等效機(jī)構(gòu)的可動(dòng)性，再基于Grassmann線幾何原理，得到不同類型剛性折紙機(jī)構(gòu)的維數(shù)，從而確定不同類型折紙機(jī)構(gòu)的剛性可折疊性。

2 機(jī)構(gòu)等效與約束關(guān)系

2.1 機(jī)構(gòu)等效

三頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)具有3種形式結(jié)構(gòu)，即具有三對(duì)折痕平行、一對(duì)折痕平行和每個(gè)折痕都不平行的情況。折紙機(jī)構(gòu)可運(yùn)動(dòng)學(xué)等效為一個(gè)閉環(huán)機(jī)構(gòu)，以三對(duì)折痕平行的折紙(圖1)為例，實(shí)線為峰線，虛線為谷線，每條折痕可等效為轉(zhuǎn)動(dòng)副(圖2)，剛性板等效為連桿，中間板可不予考慮，將其中一桿件固定形成定平臺(tái)，選擇其中一桿為動(dòng)平臺(tái)，于是可以形成擁有兩條支鏈并聯(lián)的閉環(huán)機(jī)構(gòu)(圖3(a))。假設(shè)在此閉環(huán)機(jī)構(gòu)中，R11為主動(dòng)副，其余為被動(dòng)副，用同樣方法也可得到一對(duì)折痕平行與折痕均不平行的兩種構(gòu)型等效機(jī)構(gòu)即圖3(b)和3(c)，找到機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)間的關(guān)系，并建立基坐標(biāo)系和工具坐標(biāo)系。

圖1 三對(duì)折痕平行折紙F(tuán)ig. 1 Three pairs of creases parallel origami

圖2 折痕等效轉(zhuǎn)動(dòng)副Fig. 2 The equivalent rotating pair of crease

(a) 三對(duì)折痕平行

(b) 一對(duì)折痕平行

(c) 折痕均不平行

圖3中αi為關(guān)節(jié)間扇形角，其中i=1，2，3。

(1) 三對(duì)折痕平行的6桿機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)軸線之間存在如下關(guān)系：

關(guān)節(jié)軸線的平行關(guān)系：R11∥R21，R12∥R13，R23∥R22；關(guān)節(jié)軸線的共點(diǎn)關(guān)系：R11與R12，R13與R23，R21與R22共點(diǎn)。

(2) 一對(duì)折痕平行的6桿機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)軸線之間存在如下關(guān)系：

關(guān)節(jié)軸線的平行關(guān)系：R11∥R21；關(guān)節(jié)軸線的共點(diǎn)關(guān)系：R11與R12，R13與R23，R21與R22共點(diǎn)。

(3) 折痕均不平行的6桿機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)軸線之間存在如下關(guān)系：

關(guān)節(jié)軸線的平行關(guān)系：不存在；關(guān)節(jié)軸線的共點(diǎn)關(guān)系：R11與R12，R13與R23，R21與R22共點(diǎn)。

2.2 約束關(guān)系

2.2.1 單頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)峰線谷線的角度關(guān)系

由單頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)的角度關(guān)系推導(dǎo)出三頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)之間的角度關(guān)系，以此來(lái)進(jìn)行角度之間的換算求導(dǎo)。虛線表示谷線，實(shí)線表示峰線，單頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)峰線與谷線部分類型如圖4所示。

(a) 類型一

(b) 類型二

(c) 類型三

單頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)峰線谷線的配置類型在扇形角和關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角上存在一定的關(guān)系，這些角度關(guān)系在分析機(jī)構(gòu)中有重要作用。

在圖4(a)與在圖4(c)中有：

β23+β41=π，β12+β34=π，θ1=-θ3，θ2=θ4

(8)

在圖4(b)中有：

β23+β41=π，β12+β34=π，θ1=θ3，θ2=θ4

(9)

其中：β為扇形角；θ為關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角。

2.2.2 三頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)峰線谷線的角度關(guān)系

三頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)峰線谷線之間的角度關(guān)系可由單頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)峰線谷線的角度關(guān)系得到。

三頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)的折線配置類型如圖5所示，虛線表示谷線，實(shí)線表示峰線。由圖5所示，3個(gè)單頂點(diǎn)峰線谷線配置類型符合圖4所示類型，A頂點(diǎn)符合類型一，B頂點(diǎn)符合類型二，C頂點(diǎn)符合類型三，由式(8)和式(9)所示得到角度關(guān)系：

(10)

進(jìn)一步，由式(10)所示，可知關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角的角度關(guān)系：

θ12=-θ22，θ13=θ21，θ11=θ23

(11)

(12)

圖5 三頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)峰線谷線配置類型Fig. 5 Peak-line and valley-line configuration type of three-vertex origami mechanism

3 機(jī)構(gòu)線性關(guān)系與可折疊性分析

3.1 三對(duì)折痕平行機(jī)構(gòu)的分析

將閉環(huán)機(jī)構(gòu)分成兩個(gè)支鏈，根據(jù)式(2)、式(3)和式(4)，寫出當(dāng)前位形下各個(gè)關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)副旋量坐標(biāo)如下：

一條軸線的運(yùn)動(dòng)旋量可以用僅有原部和偶部的矢量來(lái)進(jìn)行表示：

(13)

其中：

X1=L2[-sα2cα3sθ11sθ12+cθ12sα2(cα1cα3cθ11-

sα1sα3cθ21)-cα2(sα1cα3cθ11+cα1sα3cθ21)]

X2=L2[-sα2cα3cθ11sθ12+cθ12sα2(sα1sα3sα21-

cα1cα3sθ11)+cα2(sα1cα3sθ11+cα1sα3sθ21)]

X3=L2sα3[-sα2sθ12c(θ11-θ12)+cα1sα2cθ12c(θ11+

θ21)+sα1cα2s(θ11-θ21)]

由式(7)(12)和(13)可以得到：

整理得到：

(14)

進(jìn)行賦值運(yùn)算，即

(15)

將式(15)代入式(14)得到如式(16)所示：

(16)

將計(jì)算出的當(dāng)前位形下的運(yùn)動(dòng)旋量坐標(biāo)代入式(16)，即可以得到具體的表達(dá)式，由于結(jié)構(gòu)式太長(zhǎng)，不再進(jìn)行具體表述。以式(16)所示進(jìn)行分析，等式右側(cè)是由兩個(gè)過(guò)原點(diǎn)的原部與4個(gè)空間偶部組成。根據(jù)Grassmann線幾何原理，空間共點(diǎn)條件下任意多條線矢量所組成的集合維數(shù)為3，即構(gòu)成三維線簇。因此共點(diǎn)的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副是可以線性表示另一單一轉(zhuǎn)動(dòng)，而此式僅存在兩個(gè)共點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)副，其維數(shù)僅為2，無(wú)法線性表示另一轉(zhuǎn)動(dòng)。由于偶量為自由矢量，方向相同的偶量即可線性相關(guān)，且維數(shù)最大為3，此式存在4個(gè)空間偶部，是線性相關(guān)的。綜合原部與對(duì)偶部的分析，此結(jié)構(gòu)式無(wú)法求出滿足速度方程的解，進(jìn)一步無(wú)法積分得到位姿方程的解，該機(jī)構(gòu)不具有可動(dòng)性，即三對(duì)折痕平行的折紙類型是不可以折疊的。

3.2 一對(duì)折痕平行機(jī)構(gòu)的分析

根據(jù)式(2)(3)(4)和式(13)所示，寫出當(dāng)前位形下各個(gè)關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)旋量坐標(biāo)：

將當(dāng)前位形下各個(gè)關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)旋量坐標(biāo)與式(12)代入式(7)，可得到：

整理得到：

(17)

將系數(shù)相同的矢量合并：

(18)

3.3 折痕均不平行機(jī)構(gòu)的分析

根據(jù)式(2)(3)(4)和(13)所示，寫出當(dāng)前位形下各個(gè)關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)旋量坐標(biāo)：

將當(dāng)前位形下各個(gè)關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)旋量坐標(biāo)與式(12)代入式(7)可得到：

整理得到：

(19)

將系數(shù)相同的矢量合并：

(20)

4 結(jié) 論

將三頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)等效為成雙支鏈閉環(huán)的6R機(jī)構(gòu)，根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈的特點(diǎn)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)中的旋量理論，建立了閉環(huán)機(jī)構(gòu)的速度方程，通過(guò)運(yùn)動(dòng)旋量間的線性相關(guān)性來(lái)證明機(jī)構(gòu)的可動(dòng)性，即證明折紙機(jī)構(gòu)的可折疊性。三頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)有多種峰線谷線的配置類型，會(huì)存在不同的扇形角，都可以通過(guò)本文的運(yùn)動(dòng)學(xué)等效機(jī)構(gòu)方法，將折痕等效為轉(zhuǎn)動(dòng)副，剛性板等效為連桿，從而建立僅存在轉(zhuǎn)動(dòng)副的連桿機(jī)構(gòu)。以運(yùn)動(dòng)旋量線性相關(guān)性的角度來(lái)探究折紙機(jī)構(gòu)的可折疊性，并以運(yùn)動(dòng)學(xué)等效的機(jī)構(gòu)為模型，進(jìn)行下一步的運(yùn)動(dòng)仿真。不同參數(shù)類型的多頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)是否可折疊，則需要將具體數(shù)值代入速度方程中判斷是否存在相應(yīng)系數(shù)，以驗(yàn)證該類型的可折疊性。可依據(jù)此驗(yàn)證方法，來(lái)探究三頂點(diǎn)以上的多頂點(diǎn)剛性折紙機(jī)構(gòu)的可折疊性，并以三頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)為模型，提供了折紙機(jī)器人模塊化單元設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)理論。