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    一類隨機(jī)互惠模型的遍歷性和最優(yōu)收獲策略*

    2021-07-21 01:24:40
    關(guān)鍵詞:測(cè)度效力擾動(dòng)

    羅 俊 威

    (南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,南京 210023)

    0 引 言

    近年來(lái),隨著可持續(xù)發(fā)展戰(zhàn)略被大力宣傳與實(shí)施,更多的研究者也把注意力放在了自然資源的分配與使用中,例如天然氣、化石燃料、金屬以及生物資源都受到了重視。雖然部分資源本身具有可再生的能力,但是過(guò)度開(kāi)采已經(jīng)使得那些不可再生資源處于短缺甚至耗盡邊緣, 而且很多動(dòng)物在大肆的捕獲下也瀕臨滅絕。因此,最優(yōu)收獲問(wèn)題應(yīng)運(yùn)而生,如何控制收獲力度保證可持續(xù)發(fā)展成為很多生物研究者的研究主題。

    目前,大部分的研究(如文獻(xiàn)[3,6,9,11])都是對(duì)典型的線性Lotka-Volterra模型進(jìn)行一系列的研究,本文則主要考察May在文獻(xiàn)[7]中提到的一類非線性互惠模型,其表達(dá)式如下:

    (1)

    其中:x(t),y(t)代表兩個(gè)物種在時(shí)刻t時(shí)的數(shù)量密度;ri(i=1,2)表示物種x(t),y(t)的內(nèi)在增長(zhǎng)率;K1是在沒(méi)有y(t)的影響下環(huán)境對(duì)x(t)的容納量,K2反之;qi(i=1,2)表示分別對(duì)x(t),y(t)的收獲效力;bi表示互惠系數(shù);εi表示種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)系數(shù);ri,Ki,bi,εi都是正常數(shù),并且f(·),g(·)為單調(diào)連續(xù)遞增的正函數(shù);Wi(t)(i=1,2)是兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),其中 {Ft}t≥0代表域流為一個(gè)σ-代數(shù),αi2(i=1,2)代表著白噪聲的強(qiáng)度。f,g的存在也讓這個(gè)模型具有代表性,下面主要對(duì)其在白噪聲擾動(dòng)下的隨機(jī)性質(zhì)以及最優(yōu)收獲問(wèn)題進(jìn)行探討。

    (1)x(t)和y(t)都是持續(xù)存在的;

    (2) 確定期望的可持續(xù)產(chǎn)出(ESY):

    有最優(yōu)值或范圍。

    1 預(yù)備知識(shí)

    引理1[8-9]設(shè)φ(t)∈[Ω×[0,+∞),R+],

    (1) 如果存在3個(gè)常數(shù)λ0,λ和T≥0,使得對(duì)所有的t≥T,有

    其中α是常數(shù), 于是

    (2) 如果存在3個(gè)常數(shù)λ0,λ和T≥0, 使得對(duì)所有的t≥T, 有

    于是

    定義1 如果x(t),y(t) 滿足條件:

    于是就說(shuō)式(1)是平均持續(xù)的。

    2 主要結(jié)論

    系統(tǒng)正解的存在唯一性對(duì)后續(xù)性質(zhì)的探討起著至關(guān)重要的作用,接下來(lái),先證明式(1)存在唯一全局正解。

    定理1 對(duì)于給定的正初值(x0,y0),式(1)有一個(gè)唯一全局正解(x(t),y(t))。

    證明令u(t)=lnx(t),v(t)=lny(t),對(duì)式(1)使用It公式,得到

    (2)

    其中:t≥0,初值u(0)=lnx0,v(0)=lny0,由于系數(shù)滿足李普希茨條件,再利用文獻(xiàn)[14]中隨機(jī)微分方程的理論,可證式(1)在t∈[0,τ)上有唯一局部解,其中τ為爆破時(shí)間,因此(x(t),y(t))有唯一局部解。對(duì)于全局解,即τ→+∞時(shí),利用隨機(jī)方程的比較原理,參考文獻(xiàn)[10]中的方法,得證。

    生物的持續(xù)與滅絕對(duì)維持自然界物種多樣性起著至關(guān)重要的作用,物種生物量的多少也決定著人類如何實(shí)施最優(yōu)收獲策略。下面開(kāi)始討論生物持續(xù)生存的條件。

    證明對(duì)式(1)的第一個(gè)等式使用It公式,可以得到

    同樣, 對(duì)y(t),有

    從而證明了系統(tǒng)平均持續(xù)性。

    探討最優(yōu)收獲策略不僅能幫助人類充分利用自然資源并獲得最大收益,而且也能保證物種生物量維持在一個(gè)合理的水平,避免因過(guò)度開(kāi)發(fā)而滅絕。在確定最優(yōu)收獲策略之前,先給出一個(gè)引理。

    證明證明方法可參考文獻(xiàn)[11]。

    定理3 式(1)的測(cè)度μ(·)具有遍歷性。

    證明根據(jù)引理2,可知式(1)的不變測(cè)度μ(·)是唯一的。利用文獻(xiàn)[12]中的推論3.4.3,可得μ(·)是強(qiáng)混合的。同樣,基于文獻(xiàn)[12]中的定理3.2.6,則μ(·)具有遍歷性。

    現(xiàn)在,開(kāi)始確定式(1)的最優(yōu)收獲策略。

    以及

    證明令Q=(q1,q2)T>0,并且x(t),y(t)是平均持續(xù)的,得到

    (3)

    通過(guò)引理2, 再利用文獻(xiàn)[12]中的式(3.3.2),有

    (4)

    設(shè)τ(X)表示式(1)的平穩(wěn)概率密度,則

    (5)

    由于式(1)的不變測(cè)度具有唯一性,推出

    (6)

    結(jié)合式(3)—(6)得到最優(yōu)收獲的表達(dá)式:

    其中:

    由于連續(xù)性,可以知道存在兩個(gè)正常數(shù)

    使得

    3 數(shù)值模擬

    利用數(shù)值模擬的方法展示前面章節(jié)所得到的結(jié)果, 并觀察在引入最優(yōu)收獲時(shí), 生物持續(xù)和滅絕的情況。根據(jù)文獻(xiàn)[13]中 Milstein的方法,確定一些常量r1=1,r2=1.2,ε1=0.7,ε2=0.8,b1=0.9,b2=0.7,K1=K2=2以及f(y)=ey,g(x)=ex,且初值為X(0)=(0.6,0.4)。

    圖1表示了在自然隨機(jī)擾動(dòng)條件下,生物的生長(zhǎng)情況,其中α1=0.15,α2=0.18,q1=q2=0。圖2模擬在和圖1同等強(qiáng)度隨機(jī)干擾的情況下,施加最優(yōu)收獲效力后生物的生長(zhǎng)變化,即q1=0.494,q2=0.592,可以看到生物的數(shù)量明顯下降了一個(gè)等級(jí),但卻仍能持續(xù)存在。并且通過(guò)對(duì)比圖1,圖2 的生物數(shù)量變化,可以發(fā)現(xiàn)x(t)的數(shù)量從平均值為1下降到平均值為0.5左右,大約下降了0.5,而y(t)則由1.1下降到了0.52,大致下降了0.58。這與通過(guò)上一部分計(jì)算出來(lái)的最優(yōu)收獲效力q1=0.494,q2=0.592的結(jié)論相一致,并且算得最優(yōu)收獲Y(Q)處于(0.52,0.71)之間。另外通過(guò)圖1,圖3的對(duì)比發(fā)現(xiàn)在擾動(dòng)強(qiáng)度很大的情況下,即對(duì)于圖3中α1=1.6,α2=1.8,物種大概率會(huì)滅絕,因此無(wú)法進(jìn)行捕獲,這也驗(yàn)證了之前得到的結(jié)論。

    圖1 隨機(jī)擾動(dòng)下無(wú)收獲的生物數(shù)量圖Fig. 1 Biological quantity diagram under stochastic disturbances with no harvesting

    圖2 隨機(jī)擾動(dòng)下施加收獲的生物數(shù)量圖Fig. 2 Biological quantity diagram under stochastic disturbances with optimal harvesting efforts

    圖3 強(qiáng)隨機(jī)擾動(dòng)下的生物數(shù)量圖Fig. 3 Biological quantity diagram under strong stochastic disturbances with harvesting

    4 結(jié)束語(yǔ)

    提出一類具有代表性的非線性生物互惠模型,對(duì)其解的存在唯一性和遍歷性進(jìn)行說(shuō)明,給出了物種持續(xù)存在與滅絕的條件,并且引入收獲項(xiàng)展開(kāi)對(duì)該系統(tǒng)最優(yōu)收獲問(wèn)題的研究,算出最優(yōu)收獲效力。雖然模型仍存在一點(diǎn)不足,即由于模型的特性無(wú)法算出最優(yōu)收獲的一個(gè)具體值,但是通過(guò)計(jì)算出最優(yōu)收獲的一個(gè)范圍,也能合理控制收獲量以確保物種不至于過(guò)度捕獲而滅絕。

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