二次分式函數(shù)的n次迭代問題*

魏 小 琴

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

0 前 言

離散動力系統(tǒng)是對常微分方程解族進行離散化之后得到的系統(tǒng)。因其形式簡潔并易于反映問題的本質(zhì)，從20世紀60年代開始在Smale等著名數(shù)學(xué)家的倡導(dǎo)下蓬勃發(fā)展起來。對函數(shù)n次迭代的研究有助于了解離散動力系統(tǒng)軌道的長期行為。具體地說， 函數(shù)f(x)的迭代[1]是指對同一函數(shù)f(x)的多次復(fù)合。f(x)的n次迭代記為

對于函數(shù)的迭代，人們比較關(guān)心它的n次迭代式。如何求得函數(shù)的n次迭代式，就成為人們不斷研究的課題。

目前，已有的方法有不動點法[1]、矩陣法[2-3]、共軛相似法[1,4]。根據(jù)函數(shù)的不同，可以選擇更為適合它的方法去求解n次迭代式。文獻[1]用不動點法求解一次函數(shù)f(x)=ax+b的n次迭代式， 得到

不動點法的原理是通過設(shè)置待定系數(shù)，利用函數(shù)f(x)的不動點計算出待定系數(shù)，進而求得函數(shù)f(x)的n次迭代式[1]。方法針對求解一次函數(shù)的n次迭代式非常適合，當(dāng)然，不動點法還可以用于二次函數(shù)、線性分式函數(shù)，但卻不是唯一最優(yōu)的方法，對于線性分式函數(shù)：

文獻[3]利用矩陣法討論它的n次迭代。文獻[4]則利用矩陣的特征多項式的理論，推廣了前人已有的結(jié)論，并得到了計算線性分式函數(shù)n次迭代式的一般公式。矩陣法的原理是首先定義線性分式函數(shù)的系數(shù)矩陣，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納知，可以將求解線性分式函數(shù)的n次迭代問題轉(zhuǎn)化為計算系數(shù)矩陣的n次冪問題[3]。利用此方法，文獻[5]用共軛相似法求解二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的n次迭代式， 得到

共軛相似法的原理是通過可逆橋函數(shù)h(x)，使函數(shù)f與g滿足f=h-1°g°h，把一個復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成一個易求迭代式的較為簡單的函數(shù)。再求出簡單函數(shù)的n次迭代式，并利用fn=h-1°gn°h這一性質(zhì)，進而求解出原函數(shù)的n次迭代式[1-2]。共軛相似法的關(guān)鍵是橋函數(shù)， 但這沒有一個固定的方法。

關(guān)于二次分式函數(shù)：

(1)

已有若干的研究成果。如文獻[6]給出二次分式函數(shù)在兩種情形b1=c1=b2=0且a1∶a2∶c2=1∶2∶-1以及a1=c1=b2=0且b1∶a2∶c2=2∶-1∶1下的n次迭代式結(jié)論，文獻[7]給出二次分式函數(shù)在兩種情形a2=b1=0且a1∶b2=1∶2以及c1=b2=0且b1∶c2=2∶1下的n次迭代式結(jié)論。這些都是二次分式函數(shù)的一些特殊情形，如何擴大更多特殊情形的二次分式函數(shù)的n次迭代式，得到更多的結(jié)果，就成為探究的重點。二次分式函數(shù)有很多的特殊情形，主要關(guān)注a2b2c2≠0的情形，并針對未解決的3種的情形進行研究，即：

(i) 若b1=0且a1c1=0時；

(ii) 若b1≠0且a1c1=0時；

(iii) 若a1b1c1≠0且滿足：

a1=a2+1，b2=b1+2，c1=c2+1

將通過對不同特殊情形下的二次分式函數(shù)選取不同的橋函數(shù)， 利用共軛相似法求解得出結(jié)論。

1 主要結(jié)果及證明

定理1 若b1=0且a1c1=0時，二次分式函數(shù)如式(1)所示可轉(zhuǎn)化為

其中式(2)的n次迭代式為

式(3)的n次迭代式為

證明先證式(2)的n次迭代式， 取橋函數(shù)h(x)=1/x， 則h-1(x)=1/x， 于是由共軛相似f(x)=h-1°g°h(x)可得

最后由fn(x)=h-1°g°h(x)可得fn(x)。

式(3)的證明與式(1)的證明類似。同樣取橋函數(shù)h(x)=1/x，則h-1(x)=1/x，通過共軛相似可得到：

再根據(jù)二次函數(shù)已有的n次迭代式知：

最后由fn(x)=h-1°gn°h(x)可得fn(x)。

定理2 若b1≠0且a1c1=0時， 二次分式函數(shù)如式(1)所示可轉(zhuǎn)化為

若式(4)滿足a2=1，b1=b2+2，c2=c1+1，也即是形如

(6)

其中B≠-2，C≠0。它的n次迭代式為

其中

η2(α(B，C)，β(B，C))=

且α(B，C)=B+C+2，β(B，C)=B+2。

若式(5)滿足c2=-1，a1=a2+1，b2=b1+2， 也即是形如

(7)

其中,A≠-1，B≠0。它的n次迭代式為

其中

η4(μ(A，B)，ν(A，B))=

且μ(A，B)=A+B+1，ν(A，B)=2A+B+2。

證明先證式(6)的n次迭代式，取橋函數(shù)h(x)=1/(x-1)，則h-1(x)=1/x+1。由共軛相似f(x)=h-1°g°h(x)得

g(x)=h°f°h-1(x)=-(B+C+2)x2-(B+2)x-1

根據(jù)二次函數(shù)已有的n次迭代式知：

其中

且α(B，C)=B+C+2，β(B，C)=B+2。

最后由fn(x)=h-1°gn°h(x)可求得fn(x)。

式(7)的n次迭代的證明與式(6)類似。首先取橋函數(shù)h(x)=1/(x-1)，則h-1(x)=1/x+1，由共軛相似得

g(x)=h°f°h-1(x)=(A+B+1)x2+(2A+B+2)x+A

再根據(jù)二次函數(shù)已有的結(jié)論知：

其中

且μ(A，B)=A+B+1，ν(A，B)=2A+B+2。

最后由fn(x)=h-1°gn°h(x)可得fn(x)。

定理3 若a1b1c1≠0且滿足a1=a2+1，b2=b1+2，c1=c2+1時， 二次分式函數(shù)如式(1)所示可轉(zhuǎn)化為

其中A+B+C≠-2， 它的n次迭代式為

其中

η5(φ(A，B，C)，φ(A，B，C))=

η6(φ(A，B，C)，φ(A，B，C))=

且φ(A，B，C)=A+B+C+2，φ(A，B，C)=2A+B+2。

證明取橋函數(shù)h(x)=1/(x-1)， 則h-1(x)=1/x+1， 由共軛相似得

g(x)=h-1°f°h(x)=(A+B+2)x2+(2A+B+2)x+A

再根據(jù)二次函數(shù)已有的n次迭代式的結(jié)論知：

其中

且φ(A，B，C)=A+B+C+2，φ(A，B，C)=2A+B+2。

最后由fn(x)=h-1°gn°h(x)可得fn(x)。

2 結(jié)束語