次分?jǐn)?shù)Vasicek利率模型下可分離交易可轉(zhuǎn)債的定價(jià)*

程潘紅， 許志宏

(1.上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093；2.滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，安徽 滁州 239000；3.日照職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共教學(xué)部，山東 日照 276826)

0 引 言

可分離交易可轉(zhuǎn)債(Warrant Bonds，WBS)是兼具債券和股票權(quán)證雙重特性且兩者可分離交易的一種金融衍生品?？煞蛛x交易可轉(zhuǎn)債與普通可轉(zhuǎn)債(Convertible Bonds， CBS)的本質(zhì)區(qū)別在于：對(duì)WBS而言，債券與股票權(quán)證可分離交易，即投資WBS的客戶在行使認(rèn)股權(quán)力后，依然可以持有債券到期獲得本利和；而投資CBS的客戶一旦行使認(rèn)股權(quán)力，僅能持有發(fā)行公司的股票，不再擁有債權(quán)。

2006年證監(jiān)會(huì)明確規(guī)定上市公司可以發(fā)行WBS 。WBS作為一種金融工具，既豐富了投資者的選擇，又使得企業(yè)的資金需求得到滿足，融資效率得以提升。WBS在業(yè)界的廣泛應(yīng)用使得一些學(xué)者對(duì)WBS定價(jià)問(wèn)題有著濃厚的研究興趣。許可和李聽(tīng)[1]應(yīng)用修正的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型對(duì)WBS進(jìn)行定價(jià)研究，并以國(guó)內(nèi)首只WBS——馬鋼可轉(zhuǎn)債為研究對(duì)象進(jìn)行實(shí)證分析。駱樺和沈紅梅[2]采用經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型和稀釋效應(yīng)研究了寶鋼WBS的定價(jià)，為投資者進(jìn)行決策提供參考。朱丹[3]在研究WBS定價(jià)問(wèn)題時(shí)，將利率的隨機(jī)性考慮到定價(jià)模型的構(gòu)建中，并利用擬鞅的方法計(jì)算得到Vasicek利率模型下WBS的定價(jià)公式。但大量實(shí)證研究表明：金融資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)具有明顯的自相似性和長(zhǎng)記憶性。由于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng) (Fractional Brownian Motion， FBM) 剛好具有自相似性和長(zhǎng)記憶性等特點(diǎn)，因此可以應(yīng)用FBM刻畫(huà)金融資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)波動(dòng)特征。陳飛躍[4]改進(jìn)了文獻(xiàn)[3]中的WBS定價(jià)模型，建立了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下WBS定價(jià)模型，并分析討論了定價(jià)模型中主要參數(shù)對(duì)WBS價(jià)值的影響。尤左偉[5]考慮股票價(jià)格的長(zhǎng)記憶性和分形特征，構(gòu)建了股票價(jià)格遵循幾何分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的或有可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型，并應(yīng)用均衡定價(jià)方法與分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)性質(zhì)推導(dǎo)得到相應(yīng)地定價(jià)公式。

Rogers[6]和Cheridito[7]研究發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)應(yīng)用于金融市場(chǎng)時(shí)存在套利機(jī)會(huì)。為消除基于FBM模型所引起的套利行為，可以采用比FBM更一般的高斯過(guò)程(雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)、混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)、次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng))來(lái)刻畫(huà)金融資產(chǎn)價(jià)格變化的行為模式。如：薛紅和金宇寰[8]在考慮利率具有隨機(jī)性的情形下，建立了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下CBS定價(jià)模型，并利用保險(xiǎn)精算方法求解得到其定價(jià)公式。宋瑞等[9]應(yīng)用雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)與鞅方法研究得到馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下亞式期權(quán)價(jià)格的解析式。Rao[10]假定股票價(jià)格滿足由混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，在此基礎(chǔ)上利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理分別討論了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和紅利率均為常數(shù)時(shí)的亞式期權(quán)、亞式冪期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。此外還給出了利率和紅利率均為關(guān)于時(shí)間的非隨機(jī)函數(shù)情形下亞式冪期權(quán)的定價(jià)公式。尤左偉等[11]構(gòu)建了利率滿足Vasicek模型和股票價(jià)格遵循幾何混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)情形下CBS定價(jià)模型，利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理得到CBS定價(jià)公式，并討論了赫斯特指數(shù)對(duì)CBS價(jià)值的影響。Bojdecki等[12]首次引入次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)(Sub-fractional Brownian Motion， SFBM)的概念，并指出SFBM不僅保持了FBM的自相似性、長(zhǎng)記憶性、H?lder連續(xù)等性質(zhì)，而且比FBM具有更快的退化速度。肖煒麟等[13]利用隨機(jī)分析理論和偏微分方程方法，研究了SFBM下帶交易費(fèi)用的備兌權(quán)證定價(jià)問(wèn)題，并對(duì)我國(guó)權(quán)證市場(chǎng)中若干權(quán)證進(jìn)行了實(shí)證分析。葉芳琴等[14]提出了SFBM下兩值期權(quán)定價(jià)模型，并運(yùn)用偏微分方程方法推導(dǎo)得到兩值期權(quán)的定價(jià)公式。 郭精軍，張亞芳[15]在假定利率滿足次分?jǐn)?shù)Vasicek模型和股票價(jià)格遵循幾何次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的條件下，建立了基于次分?jǐn)?shù)Vasicek利率模型的歐式期權(quán)定價(jià)模型，并利用次分?jǐn)?shù)It公式和偏微分方程方法求解模型。區(qū)別于文獻(xiàn)[15]，孫嬌嬌[16]利用Mellin變換方法推導(dǎo)得到次分?jǐn)?shù)Vasicek利率模型下歐式期權(quán)價(jià)格的解析表達(dá)式，并通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了Mellin變化方法的收斂性，且探討了定價(jià)模型中主要參數(shù)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。

回顧國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，構(gòu)建合理的金融資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)模型對(duì)資產(chǎn)定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理具有重要意義。已有的關(guān)于期權(quán)、CBS、WBS等金融衍生品定價(jià)研究主要從以下兩個(gè)方面展開(kāi)。一是假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是常數(shù)的條件下，運(yùn)用偏微分方程方法或風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理研究幾種高斯過(guò)程驅(qū)動(dòng)下金融衍生品定價(jià)問(wèn)題。二是放寬利率為常數(shù)的假定，分別構(gòu)建不同高斯過(guò)程驅(qū)動(dòng)下具有隨機(jī)利率的金融衍生品定價(jià)模型，并采用偏微分方程方法、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理、保險(xiǎn)精算方法、Mellin變換法等不同方法求解定價(jià)模型。這些已有成果可以為學(xué)者深入研究金融產(chǎn)品的定價(jià)提供理論參考。在此基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)有關(guān)WBS的定價(jià)研究存在一些問(wèn)題：首先，極少有針對(duì)次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境中隨機(jī)利率情形下WBS而展開(kāi)的定價(jià)研究；其次，分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有非平穩(wěn)增量，且增量非獨(dú)立，更符合現(xiàn)實(shí)情形；再次，關(guān)于隨機(jī)利率下WBS定價(jià)的現(xiàn)有研究大多假定利率的隨機(jī)波動(dòng)與股票價(jià)格的動(dòng)態(tài)變化相互獨(dú)立，而利率作為影響金融市場(chǎng)變化的最基本金融指標(biāo)，其與股票價(jià)格的相關(guān)性是WBS定價(jià)時(shí)不可忽略的因素；最后，僅做定價(jià)模型的理論研究不能說(shuō)明不同定價(jià)模型的區(qū)別，有必要根據(jù)理論模型進(jìn)行數(shù)值分析，比較隨機(jī)利率與常數(shù)利率情形下WBS定價(jià)結(jié)果的不同。針對(duì)存在的問(wèn)題，提出了利率隨機(jī)、金融資產(chǎn)具有長(zhǎng)記憶性、股票價(jià)格同利率相關(guān)的WBS定價(jià)模型，主要探討在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率滿足次分?jǐn)?shù)Vasicek模型、股票支付連續(xù)紅利且股票價(jià)格遵循幾何次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)條件下的WBS定價(jià)問(wèn)題。運(yùn)用次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的It公式和性質(zhì)、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理求解WBS的定價(jià)公式。通過(guò)數(shù)值模擬對(duì)隨機(jī)利率和常數(shù)利率情形下WBS的定價(jià)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，并討論次分?jǐn)?shù)Vasicek利率模型下WBS定價(jià)模型中不同參數(shù)對(duì)WBS價(jià)值的影響。

1 預(yù)備知識(shí)與主要引理

1.1 次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)[12，17-18]

這里E表示概率測(cè)度P下隨機(jī)變量的期望。

次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有如下性質(zhì)：

r(n)=cov(ξH(1)，ξH(n+1)-ξH(n))

1.2 WBS的價(jià)值構(gòu)成[3]

WBS是由債券和股票期權(quán)組合而成的一種金融衍生品，其價(jià)值等于純債券價(jià)值和以股票為標(biāo)的資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)價(jià)值之和。其到期現(xiàn)金流可表示如下：

其中，Pb=MeiT表示以票面利率i計(jì)算的純債券價(jià)值，M表示W(wǎng)BS的面值，Cv表示約定的行權(quán)價(jià)格，T表示W(wǎng)BS的到期日，ST表示T時(shí)刻的股票價(jià)格，θ1表示附權(quán)證比例，θ2表示行權(quán)比例，θ1θ2表示轉(zhuǎn)股比例。

1.3 主要引理

引理1[19]設(shè)X1～N(0，1)，X2～N(0，1)，cov(X1，X2)=ρ，則對(duì)?a，b，c，d，k∈R，有

其中N(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

2 定價(jià)模型

2.1 模型假設(shè)

(1)

另一種資產(chǎn)為可分離交易可轉(zhuǎn)債，其對(duì)應(yīng)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格St滿足如下隨機(jī)微分方程：

(2)

2.2 次分?jǐn)?shù)Vasicek利率模型下WBS定價(jià)公式

引理2 假設(shè)利率rt滿足次分?jǐn)?shù)Vasicek的模型式(1)，則

證明由次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的It公式[20]，隨機(jī)微分方程式(1)的解為

其中

從而

這里τ=T-t。綜上，引理2得證!

引理3 假設(shè)股票價(jià)格遵循幾何次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)式(2)，則在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下，有

(3)

這里0≤t≤T。于是由次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的It公式[20]，易得隨機(jī)微分方程式(3)的解為

其中

定理4 在利率rt滿足次分?jǐn)?shù)Vasicek模型、股票價(jià)格St服從幾何次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的條件下，具有紅利支付的WBS在t∈[0，T]時(shí)刻的價(jià)值為

其中N(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù)，且

證明根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，WBS的現(xiàn)值是其到期收益的貼現(xiàn)關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度Q的擬條件期望，則WBS在時(shí)刻t∈[0，T]的價(jià)格為

V1+V2-V3

(4)

e-α(T-u))(1-e-α(T-v))φH1(u，v)dudv

下面依次計(jì)算V1、V2和V3，根據(jù)概率知識(shí)，易得

再計(jì)算V2，由引理3可得

這里

由文獻(xiàn)[18]知Y是一個(gè)零均值正態(tài)隨機(jī)變量。不妨設(shè)其方差為D2，則由次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的等距公式有

D2=Var(Y)=H2(2H2-1)×

φH2(u，v)=|u-v|2H2-2-(u+v)2H2-2

于是

則

其中

最后計(jì)算V3，

由引理1，計(jì)算得到

其中

將V1、V2和V3分別代入式(4)，有

(5)

(6)

其中

所以

又BT-Bt是零均值高斯過(guò)程，且

E(BT-Bt)2=τ

則類似于定理4的證明，易得定價(jià)式(6)。

注：在定價(jià)式(6)中，當(dāng)q=0，ε=0時(shí)，有

其中

這里WBS的定價(jià)結(jié)果與文獻(xiàn)[3]給出的結(jié)論一致。

推論6 當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率rt、紅利率qt、波動(dòng)率σt均為常數(shù)時(shí)，則次布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有紅利支付的WBS在t∈[0，T]時(shí)刻價(jià)值為

θ1θ2Cve-rτN(d8)

其中

d8=d7-σB(t，T)

證明當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率rt為常數(shù)時(shí)，有

(7)

進(jìn)一步，當(dāng)紅利率qt、波動(dòng)率σt均為常數(shù)時(shí)，由引理2有

因此，類似定理4的證明，分別得到式(7)中的第二項(xiàng)V2和第三項(xiàng)V3。

θ1θ2Cve-rτN(d8)

其中

d8=d7-σB(t，T)

綜上，推論6得證。

3 數(shù)值分析

數(shù)值分析主要包括兩個(gè)部分。一是通過(guò)數(shù)值算例直觀地呈現(xiàn)次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境中基于隨機(jī)利率、常數(shù)利率這兩種情形的WBS定價(jià)結(jié)果，二是討論隨機(jī)利率情形下次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型中不同參數(shù)對(duì)WBS價(jià)格的影響。

考慮1份2 a到期具有利率風(fēng)險(xiǎn)的可分離交易可轉(zhuǎn)債，其標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)?？煞蛛x交易可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型的參數(shù)取值如表1所示。

表1 定價(jià)模型中參數(shù)取值表Table 1 Parameter value table in pricing model

3.1 利率風(fēng)險(xiǎn)對(duì)WBS價(jià)值的影響

為了研究利率的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)WBS價(jià)值的影響，對(duì)次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境中隨機(jī)利率和常數(shù)利率情形下WBS定價(jià)結(jié)果進(jìn)行了比較分析，結(jié)果如圖1所示。

從圖1可以看出：可分離交易可轉(zhuǎn)債的期限結(jié)構(gòu)隨著時(shí)間的推移而上升，T∈[1/12，2]。主要原因在于：可分離交易可轉(zhuǎn)債兼具債券與期權(quán)的特性，一是隨著持有可轉(zhuǎn)債的期限越長(zhǎng)，投資者能夠獲取較多的利息；二是可轉(zhuǎn)債隱含的期權(quán)價(jià)值隨著剩余期限的增加在逐漸增加。

圖1 可分離交易可轉(zhuǎn)債的期限結(jié)構(gòu)Fig. 1 Term structure of warrant bonds

此外，觀察圖1可以發(fā)現(xiàn)：常數(shù)利率情形下WBS價(jià)值高于隨機(jī)利率情形下WBS價(jià)值，表明利率的隨機(jī)波動(dòng)降低了WBS的價(jià)值，這主要是對(duì)投資者承擔(dān)利率隨機(jī)波動(dòng)可能會(huì)帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行補(bǔ)償。這也說(shuō)明利率的隨機(jī)性是WBS定價(jià)時(shí)不可忽略的因素。

3.2 SFBM模型中主要參數(shù)對(duì)WBS價(jià)值的影響

現(xiàn)研究SFBM模型中不同參數(shù)，如股票價(jià)格St、執(zhí)行價(jià)格Cv、波動(dòng)率δ和σ、赫斯特指數(shù)H1和H2對(duì)WBS價(jià)值的影響。

圖2(a)為股票價(jià)格St對(duì)WBS價(jià)值影響的圖像，其中St∈[10，60]，WBS價(jià)值是St的增函數(shù)。這源于WBS隱含的看漲期權(quán)價(jià)值隨著股票價(jià)格的增加而增加。圖2(b)為WBS價(jià)值關(guān)于執(zhí)行價(jià)格Cv變化的圖像，可以看出WBS價(jià)值是Cv的減函數(shù)，其中Cv∈[20，50]。此外，從圖2(a)和圖2(b)可以看出：基于次分?jǐn)?shù)Vasicek利率模型的WBS價(jià)值低于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)模型下的價(jià)值，說(shuō)明“長(zhǎng)記憶性”對(duì)WBS定價(jià)結(jié)果有著顯著的影響。這是由于次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)在赫斯特指數(shù)大于1/2時(shí)，存在狀態(tài)持續(xù)性，即長(zhǎng)記憶性，因此在某個(gè)時(shí)間段內(nèi)市場(chǎng)具有周期性，投資風(fēng)險(xiǎn)變小，期權(quán)價(jià)值降低，從而WBS價(jià)值減小。圖2(c)為WBS價(jià)值關(guān)于股票價(jià)格波動(dòng)率、利率波動(dòng)率的圖像，δ∈[0.1，1]，σ∈[0.1，1]。觀察圖形發(fā)現(xiàn)：WBS價(jià)值隨著股票價(jià)格波動(dòng)率、利率波動(dòng)率的增加而增加，并且利率波動(dòng)率的變化對(duì)WBS價(jià)值影響較大。圖2(d)直觀地呈現(xiàn)了赫斯特指數(shù)H1，H2∈[0.51，0.95]對(duì)WBS價(jià)值的影響。可以看出：隨著H1的增加，WBS價(jià)值先增后減；隨著H2的增加，WBS價(jià)值隨之加大，即WBS價(jià)值隨著利率長(zhǎng)程相關(guān)性增強(qiáng)先升高后降低，隨著股票價(jià)格長(zhǎng)程相關(guān)性增強(qiáng)而升高。

(a) 股票價(jià)格對(duì)WBS價(jià)值影響 (b) 執(zhí)行價(jià)格變化

(c) 股票價(jià)格利率及波動(dòng)率 (d) 赫斯特指數(shù)對(duì)WBS價(jià)值影響

4 結(jié)論與展望

在考慮利率隨機(jī)及金融資產(chǎn)具有“長(zhǎng)記憶性”的情形下，采用修正的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)即次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)刻畫(huà)利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)變化的特征、股票價(jià)格變化的行為模式，構(gòu)建了更加貼近金融市場(chǎng)實(shí)際的可分離交易可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型，并運(yùn)用隨機(jī)分析理論與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論，推導(dǎo)得到基于次分?jǐn)?shù)Vasicek利率模型的股票支付紅利且股票價(jià)格遵循幾何次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)WBS定價(jià)公式。依據(jù)定價(jià)模型進(jìn)行數(shù)值模擬，研究結(jié)果表明：利率的隨機(jī)性影響WBS價(jià)值，且利率的波動(dòng)越劇烈，WBS價(jià)值變化越顯著，說(shuō)明構(gòu)建模型時(shí)考慮利率變化是非常有必要的；股票價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、股票價(jià)格波動(dòng)率、股票價(jià)格長(zhǎng)程相關(guān)性和利率長(zhǎng)程相關(guān)性等因素都對(duì)WBS定價(jià)有著重要的影響。具體體現(xiàn)為：隨著股票價(jià)格、股票價(jià)格波動(dòng)率、股票價(jià)格長(zhǎng)程相關(guān)性增加，WBS價(jià)值隨之增加；隨著執(zhí)行價(jià)格的增加，WBS價(jià)值逐漸減小，并且次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下WBS定價(jià)結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)下WBS定價(jià)結(jié)果之間的差異也在逐漸增大；隨著利率長(zhǎng)程相關(guān)性增強(qiáng)，WBS價(jià)值先升后降。

針對(duì)提出的WBS定價(jià)模型，還可以就模型中參數(shù)估計(jì)問(wèn)題開(kāi)展研究工作，即采用有效方法構(gòu)建參數(shù)估計(jì)量，并著重探討估計(jì)量的收斂性和漸近特征。此外，可以將研究思路和證明方法推廣到研究其他高斯過(guò)程(雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)、混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)、賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng))下可分離交易可轉(zhuǎn)債、普通可轉(zhuǎn)債、期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，并比較分析不同模型的定價(jià)結(jié)果，從而選擇最為貼近市場(chǎng)的定價(jià)模型。