飽和約束中立穩(wěn)定多智能體系統(tǒng)有限時(shí)間廣義一致性研究*

袁藝云， 王 慧， 曹 瑞， 王 霞， 韓 琦

(1.重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331； 2.重慶科技學(xué)院 電氣工程學(xué)院，重慶 401331;3.重慶科技學(xué)院 智能技術(shù)與工程學(xué)院，重慶 401331)

0 引 言

近年來，多智能體系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制受到了廣大科研人員的關(guān)注[1-3]，特別是一致性問題。利用多智能體系統(tǒng)的一致性算法能解決智能電網(wǎng)的經(jīng)濟(jì)調(diào)度、動(dòng)態(tài)負(fù)載平衡問題[4]。在多智能體網(wǎng)絡(luò)中，單個(gè)智能體通過某個(gè)協(xié)議與系統(tǒng)中的其他智能體達(dá)成共識(shí)，即智能體的狀態(tài)收斂于相同的值[5](一致值或群體決策值)。在目前的多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制領(lǐng)域中，研究者大多采用分布式控制協(xié)議，因?yàn)橄啾扔趥鹘y(tǒng)的集中式控制協(xié)議，分布式控制策略具有所用信息量少、協(xié)作性好、靈活性高等優(yōu)點(diǎn)[6]。

許多學(xué)者對多智能體系統(tǒng)的一致性問題進(jìn)行了研究，并進(jìn)行了深入的討論。文獻(xiàn)[1]考慮如何提高智能體通信質(zhì)量(降低通信量、提高通信信息利用率)的問題，設(shè)計(jì)了基于事件觸發(fā)分布式控制協(xié)議；文獻(xiàn)[3]研究了具有非線性動(dòng)態(tài)和不確定擾動(dòng)的多智能體系統(tǒng)一致性問題，設(shè)計(jì)了可以避免芝諾行為的分布式事件觸發(fā)控制協(xié)議。但是多智能體系統(tǒng)在工業(yè)應(yīng)用中卻受到各種物理?xiàng)l件的限制，其中最常見的物理執(zhí)行器具有飽和的特點(diǎn)(執(zhí)行器工作范圍的限制)，比如電機(jī)的輸出功率、轉(zhuǎn)速等往往是有界的，若不考慮執(zhí)行器飽和的特性，則可能會(huì)降低系統(tǒng)控制性能，從而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，考慮執(zhí)行器飽和存在的情況十分必要。在文獻(xiàn)[7]中， 提出了飽和受限的中立穩(wěn)定無領(lǐng)導(dǎo)者多智能體系統(tǒng)的一致性算法。

在多智能體分布式控制中，高精度是評(píng)價(jià)一致性好壞的重要標(biāo)準(zhǔn)之一。在實(shí)際應(yīng)用中，很多控制精度較高的系統(tǒng)，往往需要系統(tǒng)收斂的時(shí)間很短，這就導(dǎo)致了對有限時(shí)間一致性的探索。有限時(shí)間一致性是指各智能體在有限的時(shí)間內(nèi)達(dá)到一個(gè)共同的狀態(tài)?；谖墨I(xiàn)[7]、文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了飽和受限的中立穩(wěn)定多智能體系統(tǒng)有限時(shí)間一致性算法。這里不僅考慮了無領(lǐng)導(dǎo)者在無向拓?fù)鋱D下的有限時(shí)間一致性問題，還考慮了領(lǐng)導(dǎo)-跟隨多智能體系統(tǒng)在有向拓?fù)鋱D下的有限時(shí)間一致性問題。

以上文獻(xiàn)考慮的是多智能體系統(tǒng)完全一致性問題，實(shí)際上同步問題可以分為完全同步、廣義同步和滯后同步[9]。廣義同步即是在響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)間建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系。相比完全同步，廣義同步具有更多的應(yīng)用[10]，如混沌系統(tǒng)的保密通信等。

基于上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，考慮多智能體系統(tǒng)有限時(shí)間廣義一致性問題是具有意義的。一方面，關(guān)于有限時(shí)間一致性的研究中飽和約束很少被考慮，另外一方面，目前很少有多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間廣義一致的結(jié)果。本文的主要貢獻(xiàn)如下：

1) 考慮了輸入飽和約束的中立穩(wěn)定多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間廣義一致問題，相比較于文獻(xiàn)[8]，將完全一致問題轉(zhuǎn)化為廣義一致問題，豐富了文獻(xiàn)[8]的研究。

2) 針對無領(lǐng)導(dǎo)者和領(lǐng)導(dǎo)-跟隨二種情況提出了非光滑控制算法，并通過有限時(shí)間Lyapunov穩(wěn)定理論、LaSalle不變集原理和不等式放縮、圖論知識(shí)證明了在該控制算法下能實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間廣義一致，并得到了二種情況下的系統(tǒng)收斂時(shí)間的范圍。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 符號(hào)說明

1.2 圖論知識(shí)

1.3 問題描述

考慮帶有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的中立穩(wěn)定多智能體系統(tǒng):

(1)

其中xi∈Rn代表第i個(gè)智能體的狀態(tài)，ui∈Rm代表第i個(gè)智能體的理想輸入信號(hào)。

注1 由于式(1)是中立穩(wěn)定的，因此所有A的特征值滿足Re(λi)≤0，且Re(λi)=0時(shí)，其幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)。

如果h(xi)=Pxi+Q，其中P∈Rn×n，Q∈Rn，則稱式(1)能實(shí)現(xiàn)線性廣義一致。

在給出主要結(jié)果之前，給出了一些假設(shè)和引理。

假設(shè)1 拓?fù)鋱D是可連通的。

引理1[8]令vi∈R，vi>0，0

(1)V正定。

則系統(tǒng)能達(dá)到有限時(shí)間穩(wěn)定，而且U0=U=Rn以及V(x)是徑向無界的函數(shù)，則系統(tǒng)能達(dá)到全局有限時(shí)間穩(wěn)定。

2 主要結(jié)果

2.1 無領(lǐng)導(dǎo)者情形

在本節(jié)中，提出了一個(gè)分布式一致性算法來解決無向圖下無領(lǐng)導(dǎo)者多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間廣義一致性問題。

對于式(1)，存在一個(gè)非奇異線性變換xi=Wzi，使得系統(tǒng)式(1)變成如下形式：

(2)

有限時(shí)間廣義一致控制算法設(shè)計(jì)如下：

(3)

其中：α∈(0，1)，h(xi)=Pxi+Q，P1是正定矩陣。

定理1 對于在無向拓?fù)湎戮哂蠳個(gè)節(jié)點(diǎn)的無領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)式(1)，當(dāng)滿足以下3個(gè)條件時(shí)，有

(PW)TP1(PW)=diag{Ic，P3}

(4)

P3As+AsTP3<0

(5)

(6)

在控制算法式(3)下，式(1)可實(shí)現(xiàn)全局有限時(shí)間廣義一致。

證明考慮如下的Lyapunov函數(shù)：

(7)

容易得到V是徑向無界的函數(shù)，將式(7)對時(shí)間求導(dǎo)可得

(8)

根據(jù)式(4)，式(8)的第一項(xiàng)可變?yōu)?/p>

根據(jù)式(5)可以得到最后一個(gè)不等式。

式(8)的第二項(xiàng)，可化為

接下來，證明式(2)會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)收斂。當(dāng)式(2)飽和未發(fā)生時(shí)，有

注意到

結(jié)合式(7)可以得到：

V=eT(L?P1)e≤

λmax(L?P1)eTe≤

η1-1‖L?P1‖γTγ=

通過式(7)及引理1，有

注2 如果P=I，則控制算法式(3)可以解決系統(tǒng)式(1)在無向圖下的有限時(shí)間一致性問題。

2.2 領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者情形

考慮一個(gè)由標(biāo)記為0到N-1的智能體組成的多智能體系統(tǒng)，其中0是領(lǐng)導(dǎo)者，其余都是跟隨者。

對于系統(tǒng)式(1)，存在非奇異的線性變換zi=W-1(xi-x0)，i=1，2，…，N-1，使得系統(tǒng)式(1)化為

(9)

對跟隨者i=1，2，…，N-1，設(shè)計(jì)如下的控制算法：

(10)

其中：Δ+κ≤μ。因此滿足‖ui‖≤μ，系統(tǒng)式(9)可表述為下面的通式：

其中:u=[(u1-u0)T，…，(uN-1-u0)T]T，zm=[z1T，…，zN-1T]T。

定理2 在無向拓?fù)湎戮哂蠳個(gè)智能體的領(lǐng)導(dǎo)-跟蹤多智能體系統(tǒng)式(9)，當(dāng)滿足以下條件時(shí)：

(11)

(12)

所設(shè)計(jì)的算法式(10)可以實(shí)現(xiàn)全局有限時(shí)間廣義一致。

e=(L1?PW)zm

由于條件式(11)是成立的，因此對時(shí)間求導(dǎo)可得:

結(jié)合式(10)，有

選取Lyapunov函數(shù)

V=eT(L1-1?P1)e

對時(shí)間求導(dǎo)可得:

由于條件式(12)成立，可化為

接下來將證明系統(tǒng)有限時(shí)間收斂。當(dāng)飽和未發(fā)生時(shí)，有：

那么

V=eT(L1-1?P1)e≤λmax(L1-1?P1)eTe≤

從而得到:

3 數(shù)值仿真

在這節(jié)中，給出兩個(gè)例子來驗(yàn)證上述理論結(jié)果的正確性和有效性。

由于A的特征值為-0.321 8+0.714 1i，-0.289 7，-0.321 8-0.714 1i，則系統(tǒng)式(1)是中立穩(wěn)定的。

圖1 無領(lǐng)導(dǎo)者情形下的拓?fù)鋱DFig. 1 Communication topology without leader

圖2 無領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)的誤差ei演化圖Fig. 2 Error variation of ei in the case of leaderless

圖3 領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者系統(tǒng)的通信拓?fù)鋱DFig. 3 Communication topology of leader-following system

圖4 領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者系統(tǒng)的誤差ei演化圖Fig. 4 Error variation of ei about the leader-following system

4 結(jié) 論