集值向量均衡問(wèn)題近似有效解的最優(yōu)條件

孟旭東

（南昌航空大學(xué)科技學(xué)院，江西共青城332020）

向量均衡問(wèn)題主要包括向量?jī)?yōu)化問(wèn)題、向量變分不等式問(wèn)題、向量鞍點(diǎn)問(wèn)題、向量相補(bǔ)問(wèn)題等，是運(yùn)籌學(xué)和非線性分析研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，備受學(xué)者青睞，已有較豐碩的研究成果［1-18］。

GONG［1-3］在錐-凸假設(shè)前提下，得到了具約束向量均衡問(wèn)題的最優(yōu)條件，并運(yùn)用非線性標(biāo)量化方法刻畫(huà)了非凸向量均衡問(wèn)題弱有效解、Henig有效解、超有效解及Global有效解的充分必要條件。LUU等［4-5］建立了具等式和不等式兩類(lèi)約束的向量均衡問(wèn)題有效解的最優(yōu)定理，并在適當(dāng)凸性條件下，得到了具約束向量均衡問(wèn)題局部有效解的Kuhn-Tucker型必要條件。

通常，在對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行建模求解時(shí)，得到的為近似有效解。因此，研究現(xiàn)實(shí)問(wèn)題近似有效解的性態(tài)具有重要價(jià)值和深遠(yuǎn)意義。LORIDAN［6-7］介紹了廣義向量?jī)?yōu)化問(wèn)題近似有效解的概念，隨后，LI等［8］引入含參向量均衡問(wèn)題近似有效解概念，并建立了最優(yōu)定理。凸性在研究向量均衡問(wèn)題中扮演著重要角色。GONG［9］在局部凸空間中，借助錐-凸性研究了具約束集值向量均衡問(wèn)題的Henig有效解、Global有效解和超有效解的充分必要條件；最近，YANG等［10-11］給出了近似錐-次類(lèi)凸和廣義錐-次類(lèi)凸集值映射的概念，并討論了它們的關(guān)系；SACH［12］借助內(nèi)部錐-次類(lèi)凸性，建立了向量?jī)?yōu)化問(wèn)題有效解、弱有效解和Benson真有效解的Kuhn-Tucker型和Lagrange型最優(yōu)定理；XU等［13］提出了近似錐-次類(lèi)凸集值映射的概念，證明了近似錐-次類(lèi)凸性是迄今為止一類(lèi)更為廣義的凸性，并在此條件下給出了強(qiáng)有效解的Kuhn-Tucker型最優(yōu)條件和超有效解的Lagrange型最優(yōu)的充分條件；在廣義不變凸性條件下，文獻(xiàn)［14-16］從不同角度研究了集值優(yōu)化問(wèn)題解集的最優(yōu)性條件；孔翔宇等［17］在廣義不變凸性假設(shè)下，建立了集值優(yōu)化問(wèn)題弱近似解的最優(yōu)定理；LONG等［18］借助XU等［13］提出的近似錐-次類(lèi)凸性概念，運(yùn)用凸集分離定理，在實(shí)局部凸Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g中建立了具約束向量均衡問(wèn)題的Henig有效解和超有效解的Kuhn-Tucker型最優(yōu)定理。

本文在文獻(xiàn)［1，9，18］研究成果基礎(chǔ)上，研究實(shí)局部凸Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g一類(lèi)具約束集值向量均衡問(wèn)題近似有效解的最優(yōu)條件，推廣了文獻(xiàn)［1，9，18］中的一些研究結(jié)論。

1 準(zhǔn)備工作

設(shè)X為實(shí)拓?fù)湎蛄靠臻g，Y，Z均為實(shí)局部凸Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g，Y*，Z*分別為Y，Z的拓?fù)鋵?duì)偶空間，C?Y，D?Z皆為閉凸點(diǎn)錐，且滿(mǎn)足其拓?fù)鋬?nèi)部intC≠?，intD≠?。記C*，D*分別為C，D的拓?fù)鋵?duì)偶錐，C#為C*的擬內(nèi)部，定義：

C*：={f∈Y*：f(c)≥0，c∈C}，D*：={g∈Z*：g(d)≥0，d∈D}，

C#：={f∈Y*：f(c)>0，c∈C{0}}。

設(shè)M?Y為非空子集，M的錐包為cone(M)：={λm：λ≥0，m∈M}。稱(chēng) 非 空 凸 子 集B?C為凸錐C的基當(dāng)且僅當(dāng)0∈cl(B)，C=cone(B)。C#≠?當(dāng)且僅當(dāng)凸錐C有基。記

CΔ(B)：={f∈C#：b∈B，?t>0，s.t.f(b)≥t}，由凸集分離定理，得CΔ(B)≠?，且CΔ(B)?C#。設(shè)B為C的基，則0∈cl(B)，存在f∈Y?{0Y*}，使得實(shí)數(shù)

r=inf{f(b)：b∈B}>0，則為Y中零點(diǎn)的開(kāi)凸鄰域，且inf對(duì)Y中零點(diǎn)的每個(gè)凸鄰域U?VB，有B+U為凸集且0∈cl(B+U)，故CU(B)：=cone(B+U)為 點(diǎn) 凸 錐 且 滿(mǎn) 足C{0}?intCU(B)。

設(shè)X0為X的非空凸子集，G：X0→2Z為X0上的集值映射，Φ：X0×X0→2Y為X0×X0上的集值映射。記從Z到Y(jié)的所有連續(xù)線性算子的全體為L(zhǎng)(Z，Y)，將L(Z，Y)的子集L+(Z，Y)定義為

L+(Z，Y)={T∈L(Z，Y)：T(D)?C}，記A={x∈X0：G(x)∩(-D)≠?}。

考慮約束集值向量均衡問(wèn)題（簡(jiǎn)稱(chēng)問(wèn)題（ΦSVEPC））：

給定點(diǎn)x0∈A，使得

Φ(x0，y)∩(-K)=?，y∈A，

其中，K∪{0}為Y中的凸錐。

定義1 設(shè)G：X0→2Z，Φ：X0×X0→2Y為給定集值映射，給定點(diǎn)x0∈A，

（1）若存在零點(diǎn)的鄰域U?Y，滿(mǎn)足U?VB，使得

則稱(chēng)點(diǎn)x0為問(wèn)題（Φ-SVEPC）的Henig有效解，并將問(wèn)題（Φ-SVEPC）的所有Henig有效解的全體記為VH(Φ，A)。

（2）若存在點(diǎn)凸錐H?Y，滿(mǎn)足C{0}?intH，使得

則稱(chēng)點(diǎn)x0為問(wèn)題（Φ-SVEPC）的Global有效解，并將問(wèn)題（Φ-SVEPC）的所有Global有效解的全體記為VG(Φ，A)。

定義2 設(shè)G：X0→2Z，Φ：X0×X0→2Y為給定集值映射，給定點(diǎn)x0∈A，ε≥0，

（1）設(shè)B為C的基，點(diǎn)e∈B，若存在零點(diǎn)的鄰域U?Y，滿(mǎn)足U?VB，使得

(Φ(x0，y)+εe)∩(-intCU(B))=?，y∈A，則稱(chēng)點(diǎn)x0為問(wèn)題（Φ-SVEPC）的ε-Henig有效解，并將問(wèn)題（Φ-SVEPC）的所有ε-Henig有效解的全體記為VH(Φ，A，ε)。

（2）設(shè)點(diǎn)e∈C{0}，若存在點(diǎn)凸錐H?Y，滿(mǎn)足C{0}?intH，使得

(Φ(x0，y)+εe)∩(-H{0})=?，y∈A，則稱(chēng)點(diǎn)x0為問(wèn)題（Φ-SVEPC）的ε-Global有效解，并將問(wèn)題（Φ-SVEPC）的所有ε-Global有效解的全體記為VG(Φ，A，ε)。

設(shè)F：X0→2Y為給定集值映射，考慮以下集值優(yōu)化問(wèn)題（簡(jiǎn)稱(chēng)問(wèn)題（SOP））：

在問(wèn)題（SOP）中，總假設(shè)可行集A?X0非空，并記

定義3 設(shè)F：X0→2Y為給定集值映射，點(diǎn)x0∈A為問(wèn)題（SOP）的可行點(diǎn)，

（1）若存在零點(diǎn)的鄰域U?Y，滿(mǎn)足U?VB以及點(diǎn)y0∈F(x0)，使得

(F(A)-y0)∩(-intCU(B))=?，

則稱(chēng)點(diǎn)x0為問(wèn)題（SOP）的Henig有效解，并稱(chēng)點(diǎn)(x0，y0)為問(wèn)題（SOP）的Henig有效對(duì)。

（2）若存在點(diǎn)凸錐H?Y，滿(mǎn)足C{0}?intH以及點(diǎn)y0∈F(x0)，使得

(F(A)-y0)∩(-H{0})=?，

則稱(chēng)點(diǎn)x0為問(wèn)題（SOP）的Global有效解，并稱(chēng)點(diǎn)(x0，y0)為問(wèn)題（SOP）的Global有效對(duì)。

定義4 設(shè)F：X0→2Y為給定集值映射，點(diǎn)x0∈A為問(wèn)題（SOP）的可行點(diǎn)，ε≥0，

（1）設(shè)B為C的基，點(diǎn)e∈B，若存在零點(diǎn)的鄰域U?Y，滿(mǎn)足U?VB以及點(diǎn)y0∈F(x0)，使得

(F(A)-y0+εe)∩(-intCU(B))=?，

則稱(chēng)點(diǎn)x0為問(wèn)題（SOP）的ε-Henig有效解，并稱(chēng)點(diǎn)(x0，y0)為問(wèn)題（SOP）的ε-Henig有效對(duì)。

（2）設(shè)點(diǎn)e∈C{0}，若存在點(diǎn)凸錐H?Y，滿(mǎn)足C{0}?intH以及點(diǎn)y0∈F(x0)，使得

則稱(chēng)點(diǎn)x0為問(wèn)題（SOP）的ε-Global有效解，并稱(chēng)點(diǎn)(x0，y0)為問(wèn)題（SOP）的ε-Global有效對(duì)。

設(shè)F：X0→2Y，G：X0→2Z為 給 定 集 值 映 射，T0∈L+(Z，Y)，考慮以下不具約束的集值優(yōu)化問(wèn)題（簡(jiǎn)稱(chēng)問(wèn)題（USOP））：

其 中 ，L(x，T0)=F(x)+T0(G(x))，(x，T0)∈X0×L+(Z，Y)，且 對(duì) 每 個(gè)T0∈L+(Z，Y)，記L(X0，T0)=x∪∈X0L(x，T0)。

定義5 設(shè)F：X0→2Y，G：X0→2Z皆為給定的集值映射，算子T0∈L+(Z，Y)，且點(diǎn)x0∈X0為問(wèn)題（USOP）的可行點(diǎn)，

（1）若存在零點(diǎn)的鄰域U?Y，滿(mǎn)足U?VB以及點(diǎn)y0∈F(x0)，使得

則稱(chēng)點(diǎn)x0為問(wèn)題（USOP）的Henig有效解，并稱(chēng)點(diǎn)(x0，y0)為問(wèn)題（USOP）的Henig有效對(duì)。

（2）若存在點(diǎn)凸錐H?Y，滿(mǎn)足C{0}?intH以及點(diǎn)y0∈F(x0)，使得

則稱(chēng)點(diǎn)x0為問(wèn)題（USOP）的Global有效解，并稱(chēng)點(diǎn)(x0，y0)為問(wèn)題（USOP）的Global有效對(duì)。

定義6 設(shè)F：X0→2Y，G：X0→2Z皆為給定的集值映射，算子T0∈L+(Z，Y)，且點(diǎn)x0∈X0為問(wèn)題（USOP）的可行點(diǎn)，ε≥0，

（1）設(shè)B為C的基，點(diǎn)e∈B，若存在零點(diǎn)的鄰域U?Y，滿(mǎn)足U?VB以及點(diǎn)y0∈F(x0)，使得

則稱(chēng)點(diǎn)x0為問(wèn)題（USOP）的ε-Henig有效解，并稱(chēng)點(diǎn)(x0，y0)為問(wèn)題（USOP）的ε-Henig有效對(duì)。

（2）設(shè)點(diǎn)e∈C{0}，若存在點(diǎn)凸錐H?Y，滿(mǎn)足C{0}?intH以及點(diǎn)y0∈F(x0)，使得

(L(X0，T0)-y0+εe)∩(-H{0})=?，則稱(chēng)點(diǎn)x0為問(wèn)題（USOP）的ε-Global有效解，并稱(chēng)點(diǎn)(x0，y0)為問(wèn)題（USOP）的ε-Global有效對(duì)。

定義7 設(shè)F：X0→2Y為給定集值映射，若對(duì)任意的點(diǎn)x1，x2∈X0及λ∈[0，1]，使得

λF(x1)+(1-λ)F(x2)?F(λx1+(1-λ)x2)+C，則稱(chēng)F在X0上為C-凸集值映射。

定義8［10-11］設(shè)F：X0→2Y為給定集值映射，若存在點(diǎn)θ∈intC，使得對(duì)任意的點(diǎn)x1，x2∈X0及λ∈[0，1]，α>0，存在點(diǎn)x3∈X0，滿(mǎn)足

αθ+λF(x1)+(1-λ)F(x2)?F(x3)+C，則稱(chēng)F在X0上為近似C-次類(lèi)凸集值映射集合當(dāng)且僅當(dāng)集合clcone(F(X0)+C)為凸集。

設(shè)Ψ：X0×X0→2Y為給定集值映射，考慮以下不具約束的集值向量均衡問(wèn)題（簡(jiǎn)稱(chēng)問(wèn)題（ΨUSVEP））：

給定點(diǎn)x0∈X0，使得

其中，K∪{0}為Y上的凸錐。

定義9 設(shè)Ψ：X0×X0→2Y為給定集值映射，x0∈X0為給定點(diǎn)，ε≥0，

（1）設(shè)B為C的基，點(diǎn)e∈B，若存在零點(diǎn)的鄰域U?Y，滿(mǎn)足U?VB，使得(Ψ(x0，y)+εe)∩(-intCU(B))=?，y∈X0，則稱(chēng)點(diǎn)x0為問(wèn)題（Ψ-USVEP）的ε-Henig有效解，并將問(wèn)題（Ψ-USVEP）的所有ε-Henig有效解的全體記為VH(Ψ，X0，ε)。

（2）設(shè)點(diǎn)e∈C{0}，若存在點(diǎn)凸錐H?Y，滿(mǎn)足C{0}?intH，使得

(Ψ(x0，y)+εe)∩(-H{0})=?，y∈X0，則稱(chēng)點(diǎn)x0為問(wèn)題（Ψ-USVEP）的ε-Global有效解，并將問(wèn)題（Ψ-USVEP）的所有ε-Global有效解的全體記為VG(Ψ，X0，ε)。

2 近似有效解的性質(zhì)

3 Kuhn-Tucher型最優(yōu)條件

在近似錐-次類(lèi)凸假設(shè)下，建立集值向量均衡問(wèn)題Henig近似有效解和Global近似有效解的Kuhn-Tucher型最優(yōu)性定理。

定 義10 設(shè)G：X0→2Z，Φ：X0×X0→2Y，φ：X0→2Y×Z為 給 定 集 值 映 射，x0∈X0為 給 定點(diǎn)，ε≥0，

（1）設(shè)B為C的基，點(diǎn)e∈B，對(duì)任意的點(diǎn)x∈X0，稱(chēng)φB(x)=Φ(x0，x)+εe，G(x)為X0上 關(guān)于B的有序?qū)涤成洹?/p>

由 點(diǎn) (0Y，0Z)∈clcone(φB(X0)+C×D) 及 式（10），得

（3）將文獻(xiàn)［1］中集值函數(shù)φB的錐-凸性減弱為近似錐-次類(lèi)凸性。

推論4 若滿(mǎn)足條件（K3）、（K4）和（H4），則存在(f，g)∈CΔ(B)×D*，使得

4 Lagrange型最優(yōu)條件

在近似錐-次類(lèi)凸假設(shè)下，建立集值向量均衡問(wèn)題Henig近似有效解和Global近似有效解的Lagrange型最優(yōu)定理。

設(shè)G：X0→2Z，Φ：X0×X0→2Y為給 定 集 值映射，T0∈L+(Z，Y)，Ψ：X0×X0→2Y定義為

為保持表述的一致性，給出以下基本假設(shè)。

（L 1）點(diǎn)x0∈A，y0∈F(x0)；

（L 2）點(diǎn)(x0，y0)為 問(wèn) 題（SOP）的ε-Henig有效對(duì)；

（L 3）點(diǎn)(x0，y0)為 問(wèn) 題（SOP）的ε-Global有效對(duì)；

（L 4）存在算子T0∈L+(Z，Y)，使得點(diǎn)x0為問(wèn)題（Ψ-USVEP）的ε-Henig有效解；

（L 5）存在算子T0∈L+(Z，Y)，使得點(diǎn)(x0，y0)為問(wèn)題（USOP）的ε-Henig有效對(duì)；

5 結(jié) 語(yǔ)

討論了實(shí)局部凸Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g中一類(lèi)具約束集值向量均衡問(wèn)題近似有效解的最優(yōu)條件。在近似錐-次類(lèi)凸基本假設(shè)下，運(yùn)用凸集分離定理，結(jié)合相應(yīng)的分析方法，得到了集值向量均衡問(wèn)題的Henig近似有效解和Global近似有效解的Kuhn-Tucker型和Lagrange型最優(yōu)條件，推廣了文獻(xiàn)［1，9，18］中的相關(guān)結(jié)論。