分類(lèi)討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究

王玉璽 曹云鵬

【摘要】分類(lèi)討論思想作為重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，將其應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，不僅能提升學(xué)生的解題效率，也能促使學(xué)生在解題的過(guò)程中逐漸形成一定的數(shù)學(xué)思維，真正實(shí)現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)下的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng).本文立足于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)，對(duì)分類(lèi)討論思想在其教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的研究和分析.

【關(guān)鍵詞】分類(lèi)討論思想;高中數(shù)學(xué);解題;應(yīng)用

【基金項(xiàng)目】本文系2017年武威市“十三五”教育科學(xué)規(guī)劃課題（WW[2017]GH148）階段性研究成果.

高中數(shù)學(xué)是高中階段最為重要的一門(mén)基礎(chǔ)性學(xué)科，在學(xué)生的學(xué)習(xí)中占據(jù)著十分重要的比重.進(jìn)入高中階段之后，數(shù)學(xué)的難度不斷提升，知識(shí)點(diǎn)具有極強(qiáng)的復(fù)雜性、抽象性，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力要求非常高，學(xué)生在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式下的學(xué)習(xí)效果不佳.據(jù)此，教師在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中必須充分借助分類(lèi)討論思想，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果.

一、分類(lèi)討論思想與高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)

（一）分類(lèi)討論思想概述

在高中數(shù)學(xué)中，分類(lèi)討論思想是七大數(shù)學(xué)思想之一，它主要指對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，不能使用同樣的方法對(duì)其進(jìn)行解決，必須有規(guī)律地將整個(gè)問(wèn)題變?yōu)閹讉€(gè)小問(wèn)題，并借助不同的方式解決幾個(gè)不同的小問(wèn)題，最終完成整個(gè)問(wèn)題的解答.

高中數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容更為抽象，在解題的過(guò)程中存在較大的難度，我們常常需要借助分類(lèi)討論思想，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)，使其成為幾個(gè)小問(wèn)題，對(duì)這些小問(wèn)題逐一解答，進(jìn)而最終完成數(shù)學(xué)知識(shí)的解答.另一方面，在高中數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中，通過(guò)分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，逐漸提升邏輯思維能力、數(shù)學(xué)歸納能力等，能夠全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率以及數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，這滿(mǎn)足了當(dāng)前新課程標(biāo)準(zhǔn)下對(duì)培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求.

（二）分類(lèi)討論思想的應(yīng)用原則

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師在應(yīng)用分類(lèi)討論思想的時(shí)候，應(yīng)遵循以下幾個(gè)原則.

1.同一性

主要指在對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)的時(shí)候，所依據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)必須相同，在對(duì)其進(jìn)行劃分的時(shí)候不能夠采用多個(gè)標(biāo)準(zhǔn).

2.互斥性

主要指在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)之后，所形成的小問(wèn)題之間必須確保其不能出現(xiàn)互相重復(fù)、相互融合的現(xiàn)象等.也就是說(shuō)，在分類(lèi)討論思想下必須保證所劃分的子項(xiàng)之間存在明顯的互斥性，以免其出現(xiàn)相互包含的現(xiàn)象.

3.相稱(chēng)性

主要指在高中數(shù)學(xué)分類(lèi)討論的時(shí)候，必須注重劃分之后子項(xiàng)之間要存在明顯的相稱(chēng)性，保證其外延項(xiàng)的和要與母項(xiàng)的外延和相同.

（三）分類(lèi)討論思想的解題作用

高中生在解答相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候會(huì)遇到相應(yīng)的阻礙，如在某個(gè)關(guān)鍵步驟，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的走向與自身想法有所不同，而解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的方式通常也是多種多樣的，這個(gè)時(shí)候?qū)W生解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的進(jìn)度就會(huì)受到阻礙.想要使該問(wèn)題得到有效解決，學(xué)生在課堂的學(xué)習(xí)中就需積極聽(tīng)取數(shù)學(xué)教師所講解的解決問(wèn)題的技巧.教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分類(lèi)討論的形式，促進(jìn)數(shù)學(xué)難題的解決.除此之外，通過(guò)教師的指導(dǎo)，學(xué)生首先要對(duì)問(wèn)題主導(dǎo)的發(fā)展方向及其因素進(jìn)行掌控，對(duì)相似數(shù)學(xué)問(wèn)題產(chǎn)生的變化范圍進(jìn)行了解，以此對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)難題的具體發(fā)展方向?qū)嵤╊A(yù)測(cè).教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的具體變化范圍實(shí)施劃分.通過(guò)長(zhǎng)期的鍛煉，學(xué)生的腦海中就會(huì)逐漸形成分類(lèi)討論思想.觀(guān)察歷年來(lái)的數(shù)學(xué)高考試題，我們不難發(fā)現(xiàn)分類(lèi)討論思想已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用，并成為當(dāng)前高考中必備的考核能力.學(xué)生利用分類(lèi)討論思想進(jìn)行難題解決，不僅可以使學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識(shí)得到有效鞏固，而且能在解題中促使自身形成相應(yīng)的邏輯思維，從而將具備的邏輯思維廣泛地應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中.除此之外，分類(lèi)討論作為具有較強(qiáng)綜合性的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，不僅能夠?qū)W(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)與情況進(jìn)行快速考查，而且能使學(xué)生充分了解到數(shù)學(xué)教材中所蘊(yùn)含的分類(lèi)討論的教學(xué)思想.例如，與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式有關(guān)的問(wèn)題，高中生在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答的時(shí)候，應(yīng)用最多的是分類(lèi)討論，且高中數(shù)學(xué)的具體教學(xué)中，參數(shù)變化及其取值也需學(xué)生通過(guò)分類(lèi)討論實(shí)施解讀.由于各參數(shù)取值不同，因此導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果也有所不同.分類(lèi)討論已成為當(dāng)前數(shù)學(xué)試題解答中必備的數(shù)學(xué)能力以及數(shù)學(xué)修養(yǎng).

二、分類(lèi)討論思想在高中數(shù)學(xué)題目中的具體應(yīng)用

（一）在函數(shù)題目中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，函數(shù)是最為重要的部分，也是高考的重點(diǎn).這一部分的知識(shí)點(diǎn)也是學(xué)生在學(xué)習(xí)中面臨的難點(diǎn)之一.具體來(lái)說(shuō)，函數(shù)問(wèn)題中含有諸多內(nèi)容版塊，如直線(xiàn)、曲線(xiàn)等.在當(dāng)前的數(shù)學(xué)考試中，函數(shù)題目常常出現(xiàn)在最后一道大題中.另外，函數(shù)題型還存在復(fù)雜多變的現(xiàn)象，一旦參數(shù)值發(fā)生了改變，就會(huì)導(dǎo)致函數(shù)結(jié)果出現(xiàn)很大的改變，給學(xué)生的解題帶來(lái)了極大的難度.面對(duì)這一現(xiàn)狀，教師可充分借助分類(lèi)討論思想，對(duì)函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行根本的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而對(duì)函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行高效的認(rèn)識(shí).

例如，題目“已知函數(shù)f（x）=ax2+2ax+1在區(qū)間[-3，2]上的最大值為4，那么實(shí)數(shù)a的值為多少”，在對(duì)這一函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行解答的過(guò)程中，教師借助分類(lèi)討論思想，對(duì)這一函數(shù)劃分了三種情況，即a>0，a=0，a<0，并引導(dǎo)學(xué)生分別對(duì)這三種情況下的函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行考慮.

（二）在概率題目中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)中，概率是教學(xué)的重點(diǎn)，同樣是考查的重點(diǎn).學(xué)生在對(duì)概率這一問(wèn)題進(jìn)行解答的過(guò)程中，一旦稍不注意，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.面對(duì)這一現(xiàn)象，教師在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概率數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解答的過(guò)程中，可充分借助分類(lèi)討論思想，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解答.例如，下面的題目：高一的（一）、（二）、（三）三個(gè)班級(jí)共有學(xué)生100名，在對(duì)學(xué)生每周體育鍛煉情況的調(diào)查中，結(jié)果顯示：（一）班抽取5個(gè)人，其參與體育鍛煉的時(shí)間分別為6 h，6 h，7 h，7.5 h，8 h;（二）班抽取7個(gè)人，其參與體育鍛煉的時(shí)間分別為6 h，7 h，8 h，9 h，10 h，11 h，12 ?h;（三）班抽取8個(gè)人，其參與體育鍛煉的時(shí)間分別為3 h，4.5 h，6 h，7.5 h，9 h，10.5 h，12 h，13.5 h.現(xiàn)在從三個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)選擇一名學(xué)生，分別記為甲、乙、丙，假設(shè)三名學(xué)生鍛煉時(shí)間相對(duì)比較獨(dú)立，求甲鍛煉時(shí)間比乙鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率.面對(duì)這一問(wèn)題，多數(shù)學(xué)生感到無(wú)從下手.因此，教師在開(kāi)展教學(xué)時(shí)就可以充分借助分類(lèi)討論思想，引導(dǎo)學(xué)生完成解答.

（三）在不等式題目中的應(yīng)用

在不等式題目的練習(xí)中，教師可將下述試題提供給學(xué)生：在k∈N的情況下，求不等式|m|+|n|

（四）在三角函數(shù)題目中的應(yīng)用

三角函數(shù)作為高考中的重難點(diǎn)，大部分學(xué)生都會(huì)望而生畏，并主觀(guān)地認(rèn)為函數(shù)屬于高中階段最難學(xué)習(xí)的部分.函數(shù)確實(shí)難，但三角函數(shù)卻是函數(shù)當(dāng)中較為簡(jiǎn)單的，其可通過(guò)圖像進(jìn)行分析與理解.因此，數(shù)學(xué)教師在對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行講解的時(shí)候，可對(duì)典型例題實(shí)施講解，待學(xué)生初步了解與掌握三角函數(shù)的時(shí)候，教師再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的具體解題方法進(jìn)行深入分析，并使學(xué)生了解到三角函數(shù)當(dāng)中的重難點(diǎn)問(wèn)題就是角度問(wèn)題，依據(jù)角度大小對(duì)相關(guān)答案實(shí)施差別討論.例如，銳角三角形獲得答案需將什么作為前提條件，而直角三角形、鈍角三角形獲得答案需將什么作為前提條件等.分類(lèi)討論是三角函數(shù)的角度問(wèn)題中較為重要的解題方法，教師在講解的時(shí)候需注重方法的運(yùn)用恰當(dāng)性.比如，教師在出題的時(shí)候，想要使學(xué)生對(duì)三角函數(shù)具備的性質(zhì)進(jìn)行考察，而學(xué)生則理解成對(duì)三角函數(shù)的含義進(jìn)行考察，這就會(huì)影響到學(xué)生的解題正確性.因此，數(shù)學(xué)教師需將分類(lèi)討論的具體適用題型與狀況實(shí)施講解，以促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)高效解題.

（五）在幾何題目中的應(yīng)用

幾何題目通常是空間想象力較差的學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)的“致命”題，他們?cè)诿鎸?duì)相關(guān)幾何題目的時(shí)候通常會(huì)感到無(wú)從下手.此時(shí)，數(shù)學(xué)教師可引導(dǎo)學(xué)生從試題中的條件入手，了解到什么，又推導(dǎo)出什么，試題中有何要求，需要些什么，并在圖中標(biāo)注相關(guān)的已知條件，利用已知條件對(duì)相關(guān)結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)，通過(guò)層層深入選擇出所需的條件，以此將大問(wèn)題分解為幾個(gè)小問(wèn)題，通過(guò)小問(wèn)題的解決與歸納實(shí)現(xiàn)大問(wèn)題的解決，并由易至難，實(shí)現(xiàn)分類(lèi)討論思想的應(yīng)用.同時(shí)，數(shù)學(xué)教師需注重學(xué)生具備的邏輯推理能力的培養(yǎng)，從一個(gè)步驟對(duì)下個(gè)步驟進(jìn)行推導(dǎo)，并經(jīng)過(guò)各條件的綜合，清晰寫(xiě)出相應(yīng)的解題步驟，從而確保分類(lèi)討論思想的有效應(yīng)用.

三、應(yīng)用分類(lèi)討論思想需注意的問(wèn)題

在應(yīng)用分類(lèi)討論思想時(shí)，學(xué)生首先需明確為何要對(duì)問(wèn)題實(shí)施分類(lèi)討論，數(shù)學(xué)教師需為學(xué)生的解題提供相應(yīng)的思路，以此使學(xué)生充分了解到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)及其明確定義.對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，許多概念與公式都具備系統(tǒng)性.因此，學(xué)生在對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解決時(shí)，需注重分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一，以獲取準(zhǔn)確、科學(xué)的分類(lèi)，從而保證在解題時(shí)不會(huì)出現(xiàn)遺漏或者重復(fù)的狀況.同時(shí)，數(shù)學(xué)教師需將分類(lèi)探討的技巧教給學(xué)生，以促使學(xué)生可以通過(guò)層次性分類(lèi)的方法，學(xué)習(xí)與掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，從而實(shí)現(xiàn)高效化解題.

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，分類(lèi)討論思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)教學(xué)策略，將其應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中具有顯著的價(jià)值.因此，教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須充分借助分類(lèi)討論思想，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行有效的解答.

【參考文獻(xiàn)】

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