學科育人視角下的數(shù)學課例評析

【摘 要】數(shù)學課堂教學要全面落實立德樹人目標，需要構建學科育人相應的實施策略。研究者以課例評析的方式，提出了在數(shù)學課堂教學中，要設立德育目標，通過思維育人、史料育人、審美育人、活動育人四個維度展開學科育人教學策略。

【關鍵詞】學科育人;教學策略;課例評析

【作者簡介】黃河清，廣西南寧市第三中學黨委書記，正高級教師，廣西特級教師，享受國務院政府特殊津貼，全國模范教師，廣西八桂名師。

黨的十八大以來，習近平總書記多次指出，教育要堅守為黨育人、為國育才使命。國務院辦公廳印發(fā)的《關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》提出，要進一步改善德智體美勞全面培養(yǎng)體系，進一步健全立德樹人落實機制，要把立德樹人融入思想道德教育、文化知識教育、社會實踐教育各個環(huán)節(jié)。

對一線教師而言，課堂教學是育人的重要途徑，要推進立德樹人目標全面落地，突破口就在于需強化學科教學的育人功能。怎樣在學科教學中實現(xiàn)學科育人、教學育人？需要有與之相匹配的策略和方法，需要廣大教師的創(chuàng)新實踐。筆者以人教版高中數(shù)學選修2-2第二章“推理與證明”的第1節(jié)“合情推理與演繹推理”教學為例，談談自己的一些思考與認識。

一、課例呈現(xiàn)

（一）新課引入

中國古代有許多名言佳句，深刻地反映了數(shù)學的內在關系，教師出示圖1引出新課。

根據(jù)《現(xiàn)代漢語詞典（第7版）》，“一葉知秋”的意思是看見一片落葉就知道秋天的來臨，比喻發(fā)現(xiàn)一點兒預兆就料到事物發(fā)展的趨向。這個詞語言簡意賅地呈現(xiàn)了“推理”的本質屬性，即推理是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定新的判斷的思維過程。

（二）概念形成

首先，教師引導學生觀察以下判斷。

由銅、鋁、金、銀能導電一切金屬均能導電。

由五個橘子是甜的一箱橘子都是甜的。

由三邊形，凸四邊形、凸五邊形、凸六邊形的內角和公式凸多邊形的內角和公式，如圖2。

接著，教師向學生提出以下問題。

問題1：以上三個判斷的思維進程有何共同之處？

基于問題思考，引導學生得出歸納推理的概念：由某類事物的部分對象具有的某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）。簡言之，歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。

問題2：推理都有前提和結論，那么歸納推理的前提和結論分別是什么？

首先，教師請學生舉出一些歸納推理的例子，并把所舉的例子的前提寫下來;然后，學生請同桌寫出結論;最后，教師引導學生歸納總結歸納推理的前提和結論的特點（如圖3）。

（三）概念深化

教師引導學生了解數(shù)學上的著名推理——哥德巴赫猜想，并讓學生觀察下面的式子。

無意觀察：3+7=10? 有意改寫：10=3+7

20=3+1720=3+17

13+17=3030=13+17

反映規(guī)律：偶數(shù)=奇質數(shù)+奇質數(shù)

初步想法：10，20，30都是偶數(shù)，其他偶數(shù)是否也有類似的規(guī)律呢？

特例分析：6=3+3??? 16=5+11

8=3+518=5+13

10=3+7……

12=5+71 000=29+971

14=7+71 002=139+863

大膽猜想：任何一個不小于6的偶數(shù)都等于兩個奇質數(shù)之和。

問題3：請同學們試著從哥德巴赫的角度去思考，體驗他思考問題的情境和過程，你認為哥德巴赫敢于提出猜想的信心來自什么？

教師提出問題3后引導學生積極思考和討論。學生指出，哥德巴赫經(jīng)過觀察后發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，并經(jīng)過大量的特例驗證，無一例外發(fā)現(xiàn)，所以就大膽提出了猜想。

該問題的研究，讓學生體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思維過程，這是認識事物的基本規(guī)律，也是數(shù)學重要的思想方法。

問題4：哥德巴赫為什么要把猜想寫信寄給歐拉？

通過問題提出，教師介紹以下史料：哥德巴赫知道，大量的特例也不能代表全部，猜想是需要進行嚴格的證明的，于是他寫信給歐拉，是想求助于當時的數(shù)學權威，他希望歐拉能夠給出一般性的證明。歐拉在回信中說道：“我認為，任何一個大于2的偶數(shù)，都是兩個素數(shù)之和。不過，這個命題我也不能給出一般性的證明，但我確信它是完全正確的?！睍r至今日，許多科學家都試圖給出證明，我國數(shù)學家陳景潤和華羅庚也為這個猜想的證明做了艱辛的探索，但哥德巴赫猜想至今仍然沒有人能成功證明。不過如今人們對它的信任程度大大超過了對它的懷疑程度。

在教學中，通過對哥德巴赫猜想的分析，學生對歸納推理有了以下深刻的認識。

（1）猜想有一定的偶然性，興趣是探究的先行者。

（2）數(shù)學研究中，有時對研究對象進行一些形式上的改變有助于發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（3）在猜想提出的過程中，特例的驗證是必要的。

（4）由于特例的共同屬性有很多，對不同屬性的選擇推理出的結論也不一樣。

（5）推理的目的是求真，但推理的結論是否為真還需要證明。

接著，教師再引導學生了解另一位數(shù)學家的猜想——費馬猜想。

法國數(shù)學家費馬觀察到以下式子的得數(shù)都是質數(shù)。

221+1=5，

222+1=17，

223+1=257，

224+1=65537。

猜想：任何形如22n+1（n∈N*）的數(shù)都是質數(shù)。

善于計算的歐拉發(fā)現(xiàn)：第5個費馬數(shù)F5=225+1=4294967297=641×6700417不是質數(shù)。

哥德巴赫猜想、費馬猜想和四色猜想被稱為世界三大數(shù)學猜想，它們的共同點是題面簡單易懂，但內涵深邃無比，影響了一代代的數(shù)學家，促進了數(shù)學的發(fā)展。

通過以上的分析，教師引導學生總結出歸納推理的特點如下。

（1）歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。

（2）歸納推理的前提是部分的、個別的事實，而歸納推理的結論超出了前提所界定的范圍，所以前提真而結論假是有可能的。

（3）歸納推理要在觀察和實驗的基礎上進行。

（4）歸納推理能夠發(fā)現(xiàn)新事實，獲得新結論，是做出科學發(fā)現(xiàn)的重要手段。

（四）應用探索

例1 已知數(shù)列{a1}的第1項a1=1，且an+1=an1+an（n=1，2，3，…），試歸納出這個數(shù)列的通項公式。

解：當n=1時，a1=1;當n=2時，a2=11+1=12;

當n=3時，a3=121+12=13;

當n=4時，a4=131+13=14。

猜想：an=1n。

例2 請同學們觀察如圖4的凸多面體并填寫表格（見表1），用歸納推理能推出什么結論？

數(shù)學家歐拉在研究凸多面體時，通過觀察、歸納、推理，得出了著名歐拉公式：F+V-E=2。

在引出歐拉公式后，教師順勢介紹歐拉的生平事跡，在課堂教學中滲透德育教育，達到學科育人的目的。

（五）總結歸納

問題5：本節(jié)課你學到了什么知識技能或思想方法？你最大的感悟是什么？

教師提出問題5，并引導學生認識到，歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。歸納推理很大程度上是一種創(chuàng)造性思維，面對同樣的對象，每個人做出的推理并不一致，有時結論是開放的，不是唯一的，但只要是“合情”的，就應該是可以的。

二、課例評析

在本節(jié)課中，從學科育人的視角看，執(zhí)教者最大的創(chuàng)新在于設立了數(shù)學教學的德育目標，以思維育人、史料育人、審美育人、活動育人四個維度為抓手，在教學的各個環(huán)節(jié)全面融入育人思想，使課堂教學從形式到內容都有立德樹人目標的引領。

（一）思維育人——強化數(shù)學學習的特點，促進學生思維品質提升

數(shù)學是思維的科學，因此學習數(shù)學要注重思維過程的學習，要注重讓學生學會透過事物的具體性質而從“量和形”上去研究，這是一個數(shù)學化的過程，也是一個高度抽象概括的過程。本節(jié)課中，教師在強化學生思維訓練的同時，抓住了以下三個關鍵點。

一是深化學生對概念合理性的認識。例如問題1“以上三個判斷的思維進程有何共同之處？”通過幾組判斷，讓學生明確歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理的特征，使學生充分感受到數(shù)學思維的合理性與必然性。

二是充分暴露思維過程。如問題3“請同學們試著從哥德巴赫的角度去思考，體驗他思考問題的情境和過程，你認為哥德巴赫敢于提出猜想的信心來自什么？”引導學生模擬前人的思維過程，感受數(shù)學家發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的過程。

三是問題導學。在課堂教學中，要激發(fā)學生的學習欲望，問題的設計就要與學生已有的知識和經(jīng)驗相關聯(lián)，設計的問題要讓學生愿意解決并且有解決它的知識和能力基礎;同時問題的解決必須包含一定的獨立見解和創(chuàng)造精神，讓學生在解決問題時不能照搬已有的解題套路，必須經(jīng)過認真思考分析或尋找新的處理方法才能有效解決問題。本節(jié)課的問題設置較好地體現(xiàn)了這些原則。

（二）史料育人——借助數(shù)學史，促進學生品德和學科素養(yǎng)的養(yǎng)成

數(shù)學發(fā)展的歷史，是一個尋找真理、不斷揚棄、不斷創(chuàng)新的過程，它所經(jīng)歷的艱辛、堅持、拼搏，都是較好的德育內容。教師應深入挖掘教材中豐富的史料內容和育人價值，讓學生了解數(shù)學知識的時代背景、歷史條件與人類發(fā)展的關系，培養(yǎng)學生實事求是的科學精神。

本節(jié)課中，教師注重挖掘史料內容。例如，用“一葉知秋”形象地反映了推理的本質屬性。又如，在“概念深化”教學環(huán)節(jié)中，教師以哥德巴赫猜想和費馬猜想作為材料，引導學生學習歸納推理的思想、方法，既融入數(shù)學史和數(shù)學經(jīng)典故事，又讓學生能站在一個更高的角度進行學習、思考、探索，彰顯教學活動的特色。在“應用探索”教學環(huán)節(jié)中，教師再次將歐拉公式以問題形式引導學生進行探索，并將數(shù)學家歐拉的故事和成就展現(xiàn)給學生，進一步豐富了史料育人的內涵。

（三）審美育人——巧妙設計，深度開發(fā)教學內容的美育功能

審美教育是培養(yǎng)學生認知美、喜歡美、欣賞美、進而創(chuàng)造美的能力的教育。數(shù)學學科在其內容、結構和方法上具有特殊的美，數(shù)學的符號、公式、概念、曲線、思想方法，無不蘊含著美。教師要讓學生了解數(shù)學問題解決時構造的巧妙、推證的嚴密、結果的精確，讓學生在數(shù)學學習中感受這些美的元素，從中理解數(shù)學的概括性、邏輯性和簡潔性，學會用數(shù)學的語言表達世界，用簡潔、優(yōu)美的數(shù)學關系表達事物的內在規(guī)律，提高對美的理解和追求，這是數(shù)學美育的重要任務。本節(jié)課中，教師在以下兩個方面做了充分的思考和設計。

一是結構。課堂教學中的所有范例，無論是從數(shù)量關系還是圖形特征，注重突出問題的結構特點，讓學生能有效觀察到它們所蘊含的規(guī)律。如哥德巴赫猜想、費馬猜想、例1和例2的問題結構都成為幫助學生尋找解決問題方法的向導。

二是分析。教師在問題成功解決后，給出了具有針對性的分析和啟示，展示了教師對數(shù)學學習規(guī)律和數(shù)學美的理解。事實上，在成功解題后，對其蘊含的數(shù)學思想方法的點撥才是最重要的。只有通過教師的專業(yè)剖析，學生才能夠更深入地了解問題解決的來龍去脈，提高分析問題時注重挖掘本質、去粗存精、去偽存真、觸類旁通的能力。

（四）活動育人——創(chuàng)設問題導學情境，讓學生在主動探索中提升能力

建構主義學習理論認為，知識的學習是學生在與自然的對話中主動建構的，教師應創(chuàng)設問題情境，這種問題情境不是教師憑空想象的，而是教師依據(jù)學習的需要以及教學目標創(chuàng)設的。事實上，數(shù)學學習應特別注重過程中深刻的、充實的、探究的經(jīng)歷和體驗，只有讓學生透過課本結論，感受前人思維的啟迪和升華的過程，體驗豐富而完整的學習過程，對知識的理解才會深刻，而只有感悟深刻的知識才會融入學生的知識結構中去。同時，豐富的過程體驗是激發(fā)學生學習興趣的有效手段，特別是學生的探究興趣，必須通過教學手段去培養(yǎng)。西方課堂教學中有一個被廣泛接受的“TRY哲學”，“TRY”意為“嘗試”。學校是學生“TRY”的基地，課堂是學生“TRY”的前沿，就連講臺也是學生“TRY”的地方。學生通過“TRY”去感受知識的奧秘，去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，保持對新鮮事物的好奇心，在不斷的“TRY”中培養(yǎng)自信心。這是學生乃至長大成人后發(fā)現(xiàn)問題和解決問題，以及有所創(chuàng)新和成就的重要心理品質。

另外，本節(jié)課執(zhí)教者的一大教學亮點是問題導學，從問題1到問題5，再到例2可以看出，這些問題不僅僅是簡單的“問話”，它包括問題情境的創(chuàng)設、對話設計、問題的提出、問題的解決、教學的組織、教學的實施方法等一系列豐富而有序的過程，通過一系列問題把學生引向獨立思考、積極探索、合作學習之路，這是我們構建新型課堂教學方式的指導思想。

綜上所述，要將立德樹人的目標落實在學科教學上，教師需要深入研究課堂教學模式、教師教學方法、學生學習方式等，在教學各個環(huán)節(jié)中落實學科育人的內容、方法，通過思維育人、史料育人、審美育人、活動育人四個維度將學科育人深度融入數(shù)學課堂，使課堂教學學科育人的功能發(fā)揮出更大的效益。

（注：本課例的執(zhí)教者為廣西南寧市第三中學陳華曲，內容略有刪減。）

（責任編輯：陸順演）