小學(xué)數(shù)學(xué)《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》教學(xué)案例

陳笑芳

一、案例主題及其內(nèi)涵

1.案例主題

如果學(xué)生掌握一些基本數(shù)學(xué)思想方法，能使數(shù)學(xué)知識(shí)更易于理解與記憶。根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，本案例主要體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想、模型思想的培養(yǎng)。

2.分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)內(nèi)涵闡述

數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的關(guān)系，運(yùn)用“數(shù)”來刻畫、研究形，把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來考慮，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使抽象思維與形象思緒結(jié)合起來，將復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，達(dá)到解決問題的目的。

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。

二、案例描述與分析

1.案例描述

（1）看算式，猜想積是多少

師：你是怎么想的？怎么列算式解決？

師：=？這個(gè)算式你們猜一猜積是多少呢？你是怎么猜的？

生：因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)乘整數(shù)的方法是分子乘整數(shù)做積的分子，分母不變。所以我猜這里是分子乘分子做積的分子，分母乘分母做積的分母，這個(gè)算式的積是。

師：那這個(gè)答案到底對(duì)不對(duì)呢？我們需要驗(yàn)證。

【設(shè)計(jì)意圖：通過這個(gè)猜想情節(jié)，立即把學(xué)生思維進(jìn)入新知學(xué)習(xí)的開端，好像把學(xué)生領(lǐng)到了新知的入門口，一下子把學(xué)生的思維喚醒了。分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)到底是怎樣計(jì)算呢？和分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法一樣嗎？學(xué)生的認(rèn)知情趣油然而生】

（2）嘗試畫圖，體會(huì)算理

師：借助學(xué)具，小組合作探討這個(gè)算式的積是多少？

學(xué)生小組合作：拿出準(zhǔn)備好的長方形紙，用它表示1公頃的面積，涂出公頃的面積。接著再用折一折、涂一涂探索公頃的是多少。

生：我們先把這個(gè)長方形看成是1公頃，把它平均分成 2 份，涂出其中的一份就是公頃，然后再把畫出的部分平均分成 5 份，涂出其中的 1 份。我們涂出的結(jié)果是。

【設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生動(dòng)手涂一涂，感受每次畫圖表示的分?jǐn)?shù)是什么，表示什么意思。第一次畫圖，學(xué)生不明白怎樣畫出一個(gè)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的圖形，教師重點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生畫圖的方法，并理解每一步所畫的分?jǐn)?shù)表示的意義。】

師：從涂色的結(jié)果看出公頃的是公頃，根據(jù)涂色的過程你是怎么得出×的結(jié)果呢？

生：×就是把平均分成5份，取其中的1份。也就是1平均分成（2×5）份，取其中的1份，即×1==。

師：像這樣利用幾何圖形理解和解決分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的方法，在數(shù)學(xué)上叫數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。這種方法在我們?nèi)粘５臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)新知識(shí)或者解決比較難的題目時(shí)都會(huì)用到。

【設(shè)計(jì)意圖：先引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握用畫圖的方法表示兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘，接著結(jié)合圖形對(duì)相關(guān)計(jì)算過程和結(jié)果的比較，再歸納總結(jié)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法。在這個(gè)過程中，構(gòu)造圖形表示分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，是學(xué)生建立數(shù)感的重要環(huán)節(jié)。最后回顧解決過程教師點(diǎn)撥與介紹數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)思想方法在我們?nèi)粘W(xué)習(xí)中常常用到，它們并不是離我們遙不可及的。這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的形象思維和數(shù)感很有促進(jìn)作用】

（3）再次畫圖，理解算理

師：那么種玉米的面積有多少公頃？怎么列式？

師：×的積是多少？請(qǐng)同學(xué)們仿照第一小題的解決方法獨(dú)自畫圖算出算式的積。

生：×就是把平均分成5份，取其中的1份。也就是1平均分成（2×5）份，取其中的3份，即×3==。

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生理解畫圖的方法后，嘗試獨(dú)立畫圖，既是對(duì)畫圖方法的熟悉，更是對(duì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理的再次理解。在這過程中，充分展示學(xué)生畫的圖進(jìn)行分析理解，明確算理?！?/p>

（4）小結(jié)算法，建立模型

師：結(jié)合兩道題的計(jì)算過程，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)怎樣計(jì)算的？

生：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積做分子，用分母相乘的積做分母。也就是×。

【設(shè)計(jì)意圖：通過使用數(shù)形結(jié)合，讓算理有依據(jù)。通過數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生建立計(jì)算分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的模型，使其看到分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，就能想起圖形的樣子，知道結(jié)果是怎樣得來的，這樣很好地培養(yǎng)了學(xué)生的形象思維和數(shù)感】

2.案例分析

整節(jié)課以畫圖理解新知，數(shù)形結(jié)合，把抽象新知轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形，體現(xiàn)幾何直觀的作用，并充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。在理解算理后教師幫助學(xué)生建立模型，使學(xué)生日后能更好地運(yùn)用。

（1）數(shù)形結(jié)合，理解算理

教學(xué)×?xí)r，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)是一項(xiàng)比較抽象的知識(shí)，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的數(shù)感建立尤其困難，學(xué)生第一次接觸都會(huì)比較抵觸，不知從何入手。書本的插圖學(xué)生也不好理解，最好的辦法是讓學(xué)生自主操作探究出方法來理解新知。首先，教師引導(dǎo)學(xué)生把長方形設(shè)為1公頃，在長方形上畫出，這里教師需要讓學(xué)生說一說表示什么意思，單位“1”是多少？然后再理解公頃的是什么意思，現(xiàn)在的單位“1”又是什么？理解后學(xué)生下筆畫圖。在這個(gè)過程中，構(gòu)造圖形表示分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，再通過圖形與算式的計(jì)算過程和結(jié)果的比較，歸納總結(jié)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法。

教學(xué)×?xí)r，學(xué)生已有了初步的畫圖體驗(yàn)，這里可以放手讓學(xué)生獨(dú)立嘗試畫圖得出試算結(jié)果。這時(shí)，教師的工作主要在學(xué)生操作時(shí)，給予畫圖有困難的學(xué)生適當(dāng)?shù)膸椭涂梢粤?。通過兩次畫圖理解，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在畫圖中深刻理解算理，引導(dǎo)學(xué)生多種方法地探索算理的形成過程，充分體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”思想。

最后在兩個(gè)小題的教授完畢后適當(dāng)?shù)攸c(diǎn)撥、提升出“數(shù)形結(jié)合”思想，讓學(xué)生明確知道我們?cè)诮忸}過程中使用的方法是什么，以后在什么情況下可以使用，從而有效地滲透了“數(shù)形結(jié)合”思想，避免把滲透數(shù)學(xué)思想變成形式化，真正地做到學(xué)以致用。

（2）歸納并建立模型

利用畫圖的方法表示兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘，建立形與數(shù)的聯(lián)系，最后總結(jié)歸納構(gòu)建計(jì)算分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的直觀模型是。在小學(xué)階段，模型思想是學(xué)生很常用的一種數(shù)學(xué)思想方法，是學(xué)生把所學(xué)知識(shí)學(xué)以致用的一種學(xué)習(xí)支撐。所以，在“數(shù)的運(yùn)算”這一板塊教學(xué)中滲透并使用數(shù)學(xué)模型的思想方法具有重要意義。

本案例的實(shí)施效果比較好，其運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法有多種，如，數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、猜想、符號(hào)化思想等，但如果每個(gè)思想都讓學(xué)生理解并知道，這樣對(duì)學(xué)生來說比較吃力，也讓教學(xué)過程變得重點(diǎn)不突出。所以，教師主要以滲透數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想方法，主次突出，讓滲透數(shù)學(xué)思想方法不流于形式，意在讓學(xué)生可以學(xué)以致用。