奇異三階三點邊值問題正解的存在性及多解性

武 若 飛

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 蘭州 730070)

0 引 言

三階微分方程廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)物理、 工程數(shù)學(xué)、 生態(tài)數(shù)學(xué), 物理化學(xué)等領(lǐng)域. 例如, 在描述擾度彎曲的梁、 電磁波的傳播、 重力驅(qū)動等一些實際問題中已有許多研究成果[1-10]. 目前, 非線性三階邊值問題也被廣泛關(guān)注. 文獻[5]研究了奇異三階邊值問題：

(1)

其中f: [0,1]×[0,∞)→[0,∞)和a: (0,1)→[0,∞)均為連續(xù)函數(shù), 用錐拉伸壓縮不動點定理得到了其正解的存在性結(jié)果:

定理1[5]若存在兩個不同的正常數(shù)M1,m1, 使得:

則問題(1)至少存在一個正解uA, 并滿足min{m1,M1}≤‖uA‖≤max{m1,M1}.

文獻[6]用錐拉伸壓縮不動點定理研究了奇異三階邊值問題:

(2)

其中a: (0,1)→[0,∞)和F: [0,1]×[0,∞)→[0,∞)均為連續(xù)函數(shù), 得到如下結(jié)果:

定理2[6]若存在兩個不同的正常數(shù)m2,M2, 使得下列條件成立:

則問題(2)至少存在一個正解uB, 并滿足min{m2,M2}≤‖uB‖≤max{m2,M2}.

但文獻[5-6]都只考慮了權(quán)函數(shù)h(t)的奇異性而未考慮非線性項f(t,u)的奇異性.基于此, 本文考慮當(dāng)非線性項f(t,u)與權(quán)函數(shù)a(t)都具有奇異性時, 奇異三階三點邊值問題:

(3)

正解的存在性和多解性.

二階邊值問題

的Green函數(shù)為

(H2)f: (0,π)×(0,+∞)→[0,+∞)為連續(xù)函數(shù);

(H3) 存在連續(xù)函數(shù)g: [0,π]×[0,+∞)→[0,+∞)和λ: (0,π)×(0,+∞)→[0,+∞), 使得

f(t,u)≤g(t,u)+λ(t,u), (t,u)∈(0,π)×(0,+∞),

其中λ(t,u)關(guān)于變量u非增;

(H4) 對任意的r>0, 有

定義函數(shù)φ,ψ,I如下：

1 預(yù)備知識

P={u∈C[0,1]|u(t)≥‖u‖q(t), 0≤t≤π}

為X中的錐,Ω(r)={u∈K|‖u‖

定義算子L:

(4)

aq(t)≤‖u‖q(t)≤u(t)≤‖u‖≤b, 0≤t≤π.

由條件(H4)可得

λ(t,u(t))≤λ(t,aq(t)), 0≤t≤π.

令λn(t,aq(t))=min{λ(t,aq(t)),n}, 則

令fn(t,u)=min{f(t,u),g(t,u)+λn(t,u)}, 則fn: [0,π]×[0,∞)→[0,∞)是連續(xù)的.

定義算子Ln:

由文獻[6]中引理2.3可知,Ln:K→C[0,π]為全連續(xù)算子.因為

另一方面, 因為

(Lu)?(t)=h(t)f(t,u(t))≥0, 0

所以(Lu)″(t)是非減的.又因為(Lu)″(π)=0, 所以(Lu)″(t)≤0, 0≤t≤π.故(Lu)(t)是一個非負的凸函數(shù), 根據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì)知, 對任意的t1,t2∈[0,π]和任意的λ∈[0,1], 總有

Lu(λt2+(1-λ)t1)≥λLu(t2)+(1-λ)Lu(t1).

因為

1) ‖F(xiàn)u‖≤‖u‖,u∈?Ω1且‖F(xiàn)u‖≥‖u‖,u∈?Ω2;

2) ‖F(xiàn)u‖≥‖u‖,u∈?Ω1且‖F(xiàn)u‖≤‖u‖,u∈?Ω2.

2 主要結(jié)果

定理3假設(shè)條件(H1)～(H4)成立, 若存在兩個正數(shù)a

1)φ(a)≤(a-I(a))M,ψ(b)≥bM;

2)ψ(a)≥aM,φ(a)≤(b-I(b))M.

則問題(3)至少存在一個正解u*∈K, 滿足a≤‖u*‖≤b.

證明: 由于1)和2)證明類似, 故下面只給出1)的證明.

若u∈?Ω(a), 則‖u‖=a, 且aq(t)≤u(t)≤a, 0≤t≤π, 由1)可得g(t,u)≤φ(a)≤(a-I(a))M.由條件(H4)可得λ(t,u(t))≤λ(t,aq(t)), 0≤t≤π, 因此

若u∈?Ω(b), 則‖u‖=b, 且bq(t)≤u(t)≤b, 0≤t≤π, 由2)可得

f(t,u(t))≥ψ(b)≤bM,α≤t≤β,

因此

(8)

將式(8)代入問題(3)可得

定理4假設(shè)條件(H1)～(H4)成立, 且存在3個正數(shù)a

1)φ(a)≤(a-I(a))M,ψ(b)>bM,φ(c)≤(c-I(c))M;

2)ψ(a)≥aM,φ(a)<(b-I(b))M,ψ(c)≥cM.

證明: 由于1)和2)證明類似, 故下面只給出1)的證明.

若u∈?Ω(a), 則‖u‖=a, 且aq(t)≤u(t)≤a, 0≤t≤π, 由1)和條件(H4)可得

g(t,u)≤φ(a)≤(a-I(a))M,

λ(t,u(t))≤λ(t,aq(t)), 0≤t≤π.

由式(6)可得‖Tu‖≤a=‖u‖.

若u∈?Ω(b), 則‖u‖=b, 且bq(t)≤u(t)≤b, 0≤t≤π, 由1)得

f(t,u(t))≥ψ(b)>bM,α≤t≤β.

若u∈?Ω(c), 則‖u‖=c, 且cq(t)≤u(t)≤c, 0≤t≤π, 由1)可得g(t,u)≤φ(c)≤(c-I(c))M.由條件(H4)可得

λ(t,u(t))≤λ(t,cq(t)), 0≤t≤π.

推論1假設(shè)存在(n+1)個正數(shù)a1

注1推論1的證明與定理3和定理4的證明類似, 故略.定理3和定理4分別為推論1中n=1和n=2的情形.