基于改進(jìn)權(quán)函數(shù)的探地雷達(dá)和無網(wǎng)格模擬檢測混凝土結(jié)構(gòu)空洞缺陷工程中的數(shù)學(xué)問題

張冠軍，余 聰，黃 山，舒志樂，劉保縣，吳海寬*

（1.四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川德陽 618000；2.成都農(nóng)業(yè)科技職業(yè)學(xué)院，四川成都 611130；3.成都工業(yè)學(xué)院，四川成都 611730；4.西華大學(xué)應(yīng)急管理學(xué)院，四川成都 610039）

1 研究現(xiàn)狀

無網(wǎng)格計算方法（也稱為無單元方法）最早出現(xiàn)于1977 年。無網(wǎng)格方法具有計算精度高、自適應(yīng)能力強(qiáng)和靈活性高等特點[1]，這些方法包括光滑粒子流體動力學(xué)（SPH）方法[2]、擴(kuò)散單元（DE）方法[3]、無網(wǎng)格伽遼金（EFG）方法[4]，單位有限元（PUFE）方法[5]、h-p 云方法[6]和再生核粒子（RKP）方法[7]。

在這些無網(wǎng)格方法中，EFG 方法是最流行的方法之一，并在許多工程領(lǐng)域中使用。通過前人的工作可以發(fā)現(xiàn)，基于不同權(quán)函數(shù)的無網(wǎng)格方法應(yīng)用于不同的工程領(lǐng)域，但很少用于探地雷達(dá)無損檢測領(lǐng)域。因此，將基于改進(jìn)法向權(quán)函數(shù)的無網(wǎng)格方法應(yīng)用于探地雷達(dá)的無損檢測。在無網(wǎng)格法中引入了改進(jìn)的權(quán)函數(shù)。權(quán)重函數(shù)可以提高無網(wǎng)格方法的計算速度和精度。采用無網(wǎng)格法，結(jié)合電磁波理論和透射吸收邊界條件，模擬了混凝土結(jié)構(gòu)內(nèi)部無損探地雷達(dá)探測到的損傷信號。

2 實驗和模擬方法

2.1 實驗和測試方法

混凝土結(jié)構(gòu)空隙模型的設(shè)計示意圖和制作見圖1。模型由C30 混凝土制成，細(xì)骨料為砂，粗骨料由大米和石頭制成。水泥標(biāo)記為32.5R。水泥：砂：礫石：水的比例=300:680:1260:160（所有單位均為kg/m3）。中空形狀由膠合板形成。為了確定空腔的位置，將試塊分為三層進(jìn)行澆注。澆筑第一層以放置空腔模型的截面，澆筑第二層以淹沒空腔的中心截面，并在設(shè)計頂部澆筑第三層。澆筑后28 d 澆水和維護(hù)后，拆除模板。

圖1 混凝土結(jié)構(gòu)空腔模型示意及制作圖（mm）

模型采用美國探地雷達(dá)SIR3000 探測，混凝土結(jié)構(gòu)模型采用900 MHz 天線測量。在測線布置方面，當(dāng)測線數(shù)量較大時，實際工程中測線過多會造成巨大工作量，不符合實際工程情況。當(dāng)測線太少時，最終檢測結(jié)果的準(zhǔn)確性會受到影響，無法準(zhǔn)確反映內(nèi)腔疾病的真實情況?？梢钥闯?，不同距離的測量線對測試有不同的影響。因此，綜合考慮，選擇43 條測線分別布置在坐標(biāo)的X 和Y 方向，測線之間的距離為2.5 cm。檢測范圍為105 cm×105 cm，在模型上精確繪制測量線，為后續(xù)檢測測試做準(zhǔn)備。測試方法使用距離模式。距離模式通過安裝在天線上的固定輪的旋轉(zhuǎn)來檢測，以觸發(fā)天線發(fā)射電磁波。在使用距離測量之前，需要校準(zhǔn)車輪。校準(zhǔn)后，可以精確測量車輪行駛的距離，從而有效定位目標(biāo)。

2.2 改進(jìn)的正態(tài)權(quán)函數(shù)

鑒于形狀函數(shù)的連續(xù)性受無網(wǎng)格方法中權(quán)函數(shù)的連續(xù)影響，選擇合適的權(quán)函數(shù)在無網(wǎng)格方法非常重要，可以顯著提高計算速度的精度和收斂性。

權(quán)重函數(shù)表示為兩點之間距離的函數(shù)，

其中ri=||x-xi||是x 和xi之前的距離

（1） 如果權(quán)函數(shù)是非奇異的，則權(quán)函數(shù)相對于坐標(biāo)x，y，z 的偏導(dǎo)數(shù)可以通過以下方式發(fā)生，假設(shè)ωi（1）如果k 是一個正整數(shù)，則ωi有相對于x，y，z 的第次偏導(dǎo)數(shù)。

（2） 如果k 不是一個正整數(shù), 但是k＞n/2，則ωi至少有n 關(guān)于x，y，z 的偏導(dǎo)數(shù)。

常見的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)如下

設(shè)t1=ρcosθ，t2=ρsinθ 則t12+t12+ρ2和ρ ∈（0，+∞），θ∈（0，2π）

則等式（4）可以寫成

對數(shù)正態(tài)函數(shù)可以表示為

等式（6）是大于零的函數(shù)。

等式（7）可以通過將上述替換為

根據(jù)權(quán)函數(shù)的定義，對數(shù)正態(tài)函數(shù)可以用作權(quán)函數(shù)。設(shè)r=lnx-μ 則改進(jìn)的法向權(quán)函數(shù)為

其中σ 和μ 根據(jù)正常函數(shù)定義。圖2 是改進(jìn)的正常權(quán)函數(shù)的示意圖?？梢钥闯?，μ 在一定條件下，σ 的值盡可能小。

圖2 改進(jìn)的權(quán)函數(shù)曲線

一般工程應(yīng)用中常用的權(quán)函數(shù)包括指數(shù)權(quán)函數(shù)、高斯權(quán)函數(shù)、三次樣條權(quán)函數(shù)和正交樣條權(quán)函數(shù)。函數(shù)公式如下

（1） 指數(shù)權(quán)函數(shù)

（2） 三次樣條權(quán)函數(shù)

（3） 正交樣條權(quán)函數(shù)

（4） 高斯權(quán)函數(shù)

3 結(jié)果和分析

3.1 探地雷達(dá)探測結(jié)果

檢測結(jié)果的二維濾波圖像和三維切片圖像見圖3和圖4。

圖3 探地雷達(dá)檢測二維FIR 濾波圖像

圖4 探地雷達(dá)探測的3D 切片圖像

3.2 模擬結(jié)果

數(shù)字模擬采取的空腔模型為1 m×0.5 m 的矩形，空腔為菱形。菱形腔的對角線長度為20 cm，中心點位于整個模型的中心。混凝土的相對介電常數(shù)為10，空腔中介質(zhì)的相對介電常數(shù)為1，混凝土的電導(dǎo)率為0.005 s/m。背景網(wǎng)格間距為0.1 m×0.1 m，共設(shè)置100×50 個背景網(wǎng)格，高斯積分階數(shù)為4。使用MATLAB 軟件編制相應(yīng)程序，模擬模型的無網(wǎng)格方法（圖5）和不同時間的波場強(qiáng)度。

圖5 數(shù)值模擬示意圖

3.3 分析

在選擇合適的權(quán)函數(shù)時，應(yīng)考慮權(quán)函數(shù)的收斂性和準(zhǔn)確性，并減少計算工作量。

在靈敏度方面，改進(jìn)的權(quán)函數(shù)、指數(shù)權(quán)函數(shù)和高斯權(quán)函數(shù)隨參數(shù)變化顯著，表明它們對參數(shù)高度敏感。不同的參數(shù)選擇導(dǎo)致不同的權(quán)重。因此，可以通過調(diào)整參數(shù)使權(quán)重函數(shù)更具適應(yīng)性。三次樣條函數(shù)的權(quán)函數(shù)類似于正交樣條的權(quán)函數(shù)。由于三次樣條的權(quán)函數(shù)和正交樣條函數(shù)的權(quán)函數(shù)不包括附加參數(shù)，因此不會出現(xiàn)參數(shù)敏感性問題。因此，三次樣條的權(quán)函數(shù)和正交樣條權(quán)函數(shù)的擬合度較差。

在收斂性方面，改進(jìn)的權(quán)函數(shù)、指數(shù)權(quán)函數(shù)和高斯權(quán)函數(shù)具有與參數(shù)選擇相關(guān)的收斂性。隨著σ 的減小，改進(jìn)權(quán)函數(shù)的收斂速度加快，收斂效果良好。隨著α 的增加，指數(shù)權(quán)函數(shù)和高斯權(quán)函數(shù)的收斂速度逐漸加快，收斂效果逐漸改善。然而，高斯權(quán)函數(shù)只有在α 大于1 后才逐漸顯示出改進(jìn)的收斂性能。三次樣條和正交樣條權(quán)函數(shù)的收斂性是固定的，因為沒有附加參數(shù)，并且三次樣條權(quán)函數(shù)的聚合性優(yōu)于正交樣條線權(quán)函數(shù)。

在相同CPU 和計算機(jī)的程序計算方面，每個權(quán)重函數(shù)的計算時間明顯不同。其中，改進(jìn)權(quán)函數(shù)、高斯權(quán)函數(shù)、指數(shù)權(quán)函數(shù)、正交樣條權(quán)函數(shù)和三次樣條權(quán)函數(shù)的計算時間分別為0.106 733 s、0.112 047 s、0.112 874 s、0.130 706 s 和0.114 216 s。計算時間順序為：改進(jìn)權(quán)函數(shù)<高斯權(quán)函數(shù)<指數(shù)權(quán)函數(shù)<三次樣條權(quán)函數(shù)<正交樣條權(quán)函數(shù)?？梢钥闯?，改進(jìn)權(quán)函數(shù)排名最低，而正交樣條權(quán)函數(shù)排名最高。

從收斂性、靈敏度和計算時間的分析可以發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)權(quán)函數(shù)比其他權(quán)函數(shù)具有一定的優(yōu)勢，包括靈敏度更高、收斂更明顯和計算時間相對較小。因此，將改進(jìn)權(quán)函數(shù)應(yīng)用于無網(wǎng)格方法可以提高模擬的收斂性和精度，并減少計算時間。

圖3 和圖4 顯示了探地雷達(dá)的二維和三維檢測結(jié)果。2D 檢測結(jié)果表明，X 方向和y 方向FIR 濾波圖像。如圖3 所示，不同方向的結(jié)果也不同。雙曲線圖像由x 方向上的檢測結(jié)果表示。在y 方向上檢測到黑色區(qū)域。三維檢測結(jié)果表明，一定深度切片圖像的探地雷達(dá)檢測。混凝土結(jié)構(gòu)的內(nèi)部缺陷反映在圖4 中水平面的白色區(qū)域中。

混凝土結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷的無網(wǎng)格法模擬結(jié)果見圖5。對于空腔缺陷，弧形曲線反映在圖中。該弧形曲線兩側(cè)的能量較弱，因此曲線逐漸變薄。在中間，能量最強(qiáng)，曲線最厚。由于吸收不良，在雜波中會出現(xiàn)一些圖形。模擬不同時間的波場強(qiáng)度。0-20 ns、0-40 ns、0-60 ns、0-80 ns、0-100 ns 表示電磁波場逐漸增大的規(guī)律。從模擬結(jié)果可以看出，電磁波在傳輸過程中波場強(qiáng)度明顯增強(qiáng)，而在缺陷外部時波場強(qiáng)度減弱。

4 結(jié)論

通過對權(quán)函數(shù)、無網(wǎng)格法和實驗的分析，得出以下結(jié)論。

（1） 引入了一種新的改進(jìn)權(quán)函數(shù)，并證明了其適用性。在參數(shù)選擇方面，μ 選擇了某個值，同時σ值較小。在收斂性、精度和計算時間消耗方面，改進(jìn)權(quán)函數(shù)比其他權(quán)函數(shù)具有更多的優(yōu)勢。

（2） 將改進(jìn)權(quán)函數(shù)應(yīng)用于無網(wǎng)格計算方法。結(jié)果表明，基于改進(jìn)權(quán)函數(shù)的無網(wǎng)格法正演模擬與實驗觀測基本一致。正演模擬程序具有良好的適用性，并說明了理論分析的正確性。

（3） 波場強(qiáng)度的模擬結(jié)果反映了探地雷達(dá)在混凝土缺陷中電磁波傳播的基本規(guī)律。當(dāng)電磁波在傳輸過程中，波場強(qiáng)度明顯增強(qiáng)，而當(dāng)電磁波位于缺陷外部時波場強(qiáng)度減弱。