自旋-1角動量分量的不確定關(guān)系

南 華, 玄東平, 胡曉會

(延邊大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系, 吉林 延吉 133002)

1 引言與預(yù)備知識

對于兩個(gè)可觀測量A和B, Robertson[4]推導(dǎo)出不等式

(1)

2 乘積形式的不確定關(guān)系

自旋角動量是量子系統(tǒng)的可觀測量, 已知自旋-1角動量的三個(gè)分量為

且滿足與軌道角動量相同的對易關(guān)系：

[Sx,Sy]=i?Sz, [Sy,Sz]=i?Sx, [Sz,Sx]=i?Sy.

(2)

令?=1, 由不確定關(guān)系(1)可得

ΔSxΔSy≥|〈Sz〉|/2, ΔSyΔSz≥|〈Sx〉|/2, ΔSzΔSx≥|〈Sy〉|/2,

(3)

因此, 有

(ΔSxΔSyΔSz)2≥|〈Sx〉〈Sy〉〈Sz〉|/8.

(4)

由于式(4)僅在不等式兩端全為0時(shí)等號成立, 但沒有實(shí)際意義.因此考慮不確定關(guān)系

(5)

使式(5)等號成立的τ稱為三方系數(shù), 其作用是使式(5)在兩端非零時(shí)可達(dá)到下確界, 即不確定關(guān)系(5)是緊的.

考慮系統(tǒng)純態(tài)的一般形式

通過計(jì)算可得

為確定不等式(5)中常數(shù)τ的值, 根據(jù)

對于0≤θ1,θ2<2π, 0≤α1,α2<π/2, 求得

(6)

的最小值.可知當(dāng)θ1=π/2,θ2=5π/4時(shí), 存在π/5<α1<π/4, π/9<α2<π/8, 使得

圖1 式(6)最小值的數(shù)值解Fig.1 Numerical solution of minimum value of formula (6)

3 和式的不確定關(guān)系

下面研究自旋-1角動量的三個(gè)分量相關(guān)和式的不確定性關(guān)系.由式(2)可得

(ΔSx)2+(ΔSy)2≥2ΔSxΔSy≥|〈Sz〉|,

(ΔSy)2+(ΔSz)2≥|〈Sx〉|, (ΔSx)2+(ΔSz)2≥|〈Sy〉|.

(7)

由式(7)可得三個(gè)分量的和式不等式

(8)

對于N維系統(tǒng), 自旋-l時(shí)自旋量子數(shù)l=(N-1)/2, 且對任意量子態(tài)有

由于Sk(k=x,y,z)的期望值定義了一個(gè)向量, 其最大長度等于沿任意軸的極值特征值, 因此文獻(xiàn)[16]給出了如下不等式

(9)

對一組數(shù)據(jù){x1,x2,…,xn}, 已知代數(shù)平均值不超過二次平均值, 即

(10)

由此可得

由式(11)可知, 式(8)是非緊的, 因此考慮存在一個(gè)常數(shù)τ, 使不確定關(guān)系

(12)

成為緊的, 即可達(dá)到該下確界.

對于0≤θ1,θ2<2π, 0≤α1,α2<π/2, 求得

(13)

的最小值.

圖2 式(13)最小值的數(shù)值解Fig.2 Numerical solution of minimum value of formula (13)