帶有Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程逆源問題的正則化方法

史暖峰, 馮立新

(1. 黑龍江大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 哈爾濱 150080；2. 利沃夫國立理工大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)與基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院, 烏克蘭 利沃夫 79013)

0 引 言

熱傳導(dǎo)方程逆源問題是一類重要的熱傳導(dǎo)反問題, 目前已得到廣泛關(guān)注. 文獻(xiàn)[1]把熱能量作為測量數(shù)據(jù)重構(gòu)僅依賴于時(shí)間的逆源問題, 數(shù)值上采用邊界元法與二階Tikhonov正則化法, 通過廣義Fourier方法證明了反問題解的存在性、 唯一性以及對(duì)測量數(shù)據(jù)的連續(xù)依賴性; 文獻(xiàn)[2]把若干空間上的積分作為測量數(shù)據(jù)重構(gòu)二維熱傳導(dǎo)方程的熱源項(xiàng), 數(shù)值上采用共軛梯度法對(duì)該問題進(jìn)行求解; 文獻(xiàn)[3]根據(jù)初始數(shù)據(jù)和邊界數(shù)據(jù)及兩個(gè)附加數(shù)據(jù)重構(gòu)熱傳導(dǎo)方程中的兩個(gè)可分離源項(xiàng), 并提出了一種連續(xù)逼近的數(shù)值迭代算法; 文獻(xiàn)[4]把僅依賴于時(shí)間的逆源問題轉(zhuǎn)化為第一類Volterra積分方程, 用Tikhonov正則化方法求解了該問題; 文獻(xiàn)[5]基于分離變量法, 利用Tikhonov正則化方法, 重建時(shí)間分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程熱源項(xiàng), 并分析了正則解的收斂性; 文獻(xiàn)[6]研究了帶有Caputo導(dǎo)數(shù)的一階時(shí)間分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程反問題, 并基于特征函數(shù)展開, 利用解析延拓反演源項(xiàng)證明了時(shí)間分?jǐn)?shù)階只與空間變量有關(guān)的源項(xiàng)反問題的唯一性； 文獻(xiàn)[7]基于疊加原理, 提出了一種改進(jìn)的擬邊界值方法解決時(shí)間分?jǐn)?shù)擴(kuò)散方程的逆源問題； 文獻(xiàn)[8]利用Landerweb迭代正則化方法解決時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程逆源問題, 并給出了先驗(yàn)和后驗(yàn)兩種選取策略下正則解和精確解的誤差估計(jì)； 文獻(xiàn)[9]采用分?jǐn)?shù)階Landerweb方法反演了未知空間源項(xiàng), 該方法優(yōu)于傳統(tǒng)Landerweb方法, 計(jì)算速度較快； 文獻(xiàn)[10]研究了多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程, 根據(jù)Laplace變換證明了解的衰減率由時(shí)間分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的最小階數(shù)給出; 文獻(xiàn)[11]研究了帶有Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)的熱擴(kuò)散方程反問題, 利用準(zhǔn)邊界值法克服問題的不適定性, 給出了先驗(yàn)參數(shù)選取時(shí)正則解和精確解的誤差估計(jì). 目前, 對(duì)帶有Caputo導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)逆源問題已有許多研究成果, 但對(duì)于帶有Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程逆源問題的研究文獻(xiàn)報(bào)道較少. 本文主要討論帶有Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程逆源問題, 利用分離變量和Laplace變換構(gòu)造Tikhonov正則化近似解, 并證明正則解的收斂性.

1 問題描述

考慮如下分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)熱傳導(dǎo)方程：

(1)

(2)

Γ(·)是Gamma函數(shù);A是一個(gè)對(duì)稱的橢圓算子[13], 定義為

(3)

逆源問題： 給定A,h(t), 根據(jù)末時(shí)刻T的觀測數(shù)據(jù)gδ(x)重構(gòu)未知源項(xiàng)f(x), 其中觀測數(shù)據(jù)gδ(x)滿足

‖gδ(x)-g(x)‖L2(Ω)≤δ,

(4)

這里δ為誤差水平.

2 正則解的構(gòu)造及誤差估計(jì)

橢圓算子A在Ω上滿足齊次Dirichlet邊值條件的特征值與規(guī)范的特征向量(λp,φp(x)), 即

(5)

利用分離變量法假設(shè)精確解u(x,t)為

(6)

對(duì)方程(1)中t變量做Laplace變換, 有

(7)

根據(jù)文獻(xiàn)[12]可知,

(8)

其中Eα,β是Mittage-Leffler函數(shù)[14], 其定義為

利用u(x,0)=0和Fp(τ)=〈h(τ)f(x),φp(x)〉, 可得

(9)

從而可得

(10)

下面引進(jìn)線性算子K：L2(Ω)→L2(Ω), 定義為

其中

(12)

引理1[11]K是L2(Ω)→L2(Ω)上的自伴緊算子且為單射.

本文考慮的逆源問題可抽象地寫為如下算子方程形式：

Kf(x)=g(x).

(13)

(14)

其中μ>0, 為正則化參數(shù).由式(12),(14)計(jì)算得

(15)

2.1 先驗(yàn)參數(shù)選取下正則解與精確解的誤差估計(jì)

假設(shè)fμ(x)是如下方程的解:

K*Kfμ(x)+μ2fμ(x)=K*g(x).

(16)

由算子K的定義易知

(17)

由式(15),(17)得

即

(18)

引理2設(shè)f(x)∈Hk(Ω),E為常數(shù), 滿足E≥‖f‖Hk(Ω), 則如下估計(jì)成立：

(19)

證明： 由式(10),(17)可得

(20)

根據(jù)文獻(xiàn)[11]知,

(21)

(22)

情形1) 當(dāng)0

N1={p∈,,

(23)

則有

選取m=1-k且‖f(x)‖Hk(Ω)≤E, 有

即

(24)

(25)

從而式(19)成立, 證畢.

根據(jù)引理2, 式(26)有兩種情形.

情形1) 當(dāng)0

情形2) 當(dāng)k≥1時(shí), 有

(28)

由引理2和式(27),(28)可得如下定理.

2.2 后驗(yàn)參數(shù)選取下正則解與精確解的誤差估計(jì)

基于Morozov相容性原理, 選取正則化參數(shù), 即選擇μ>0, 使得

(29)

直接計(jì)算可得

某公司6萬t/a鎳電解項(xiàng)目采用硫化鎳電解精煉工藝，主要包括電解、三段凈化、電溶造液3個(gè)子項(xiàng)，于2012年8月建成投產(chǎn)。在項(xiàng)目論證、設(shè)計(jì)、建設(shè)過程中，充分考慮了混酸體系含有介質(zhì)腐蝕環(huán)境，結(jié)合防腐新技術(shù)的發(fā)展，對(duì)本項(xiàng)目防腐方法進(jìn)行了優(yōu)化改進(jìn)。6萬t/a鎳電解項(xiàng)目整體工程質(zhì)量優(yōu)良，并獲得了2012至2013年度中國建筑行業(yè)工程質(zhì)量最高榮譽(yù)——魯班獎(jiǎng)。項(xiàng)目建成后經(jīng)過5年多的生產(chǎn)運(yùn)行跟蹤，生產(chǎn)能力達(dá)到或超過設(shè)計(jì)指標(biāo)，防腐效果基本達(dá)到了生產(chǎn)運(yùn)行要求，保障了生產(chǎn)的順利、穩(wěn)定運(yùn)行。

(30)

因此

即

從而

于是

(31)

證明： 因?yàn)?/p>

假設(shè)觀測數(shù)據(jù)gδ(x)滿足條件(4)和‖gδ(x)‖≥τδ, 則有

由式(14)知

再結(jié)合式(29)得

(32)

根據(jù)式(31),(32)可知選取后驗(yàn)參數(shù)時(shí), 正則化參數(shù)選取范圍為

(33)

由式(29),(33)可得如下定理.

定理2在后驗(yàn)參數(shù)選取準(zhǔn)則(29)下, 正則化參數(shù)的選取范圍為式(33).

所以

于是

(34)

因?yàn)镵：L2(Ω)→L2(Ω)是有界線性算子, 對(duì)任意z∈L2(Ω), 有

(35)

所以

即

(36)

又因?yàn)镵：L2(Ω)→L2(Ω)是單射算子, 所以Range(K*)在L2(Ω)中稠密, 由式(36)可知

由式(29),(36)可得如下定理.

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文正則化方法的可行性, 下面給出求解分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)逆源問題的實(shí)例.考慮邊值問題：

(37)

其中

方程(37)的精確解為

u(x,t)=t1+αsin(3x).

數(shù)值實(shí)驗(yàn)過程如下：

1) 對(duì)空間Ω進(jìn)行等距剖分, 剖分節(jié)點(diǎn)為

2) 對(duì)g(x)加擾動(dòng)可得觀測數(shù)據(jù)gδ(x)：

eprand(·)=δ(2rand(·)-1),gδ(·)=g(·)(1+eprand(·))；

3) 為方便比較, 給出精確解和正則解的相對(duì)誤差為

4) 根據(jù)文獻(xiàn)[15]的算法計(jì)算Mittag-Leffler函數(shù), 利用

可得

由式(15)得正則解為

表1列出了5種α取值下精確解和先驗(yàn)參數(shù)選取正則解的相對(duì)誤差, 表2列出了5種α取值下精確解和后驗(yàn)參數(shù)選取正則解的相對(duì)誤差, 其中α∈{0.1,0.3,0.5,0.7,0.9}.圖1為先驗(yàn)參數(shù)選取時(shí)精確解和正則解的比較, 圖2為后驗(yàn)參數(shù)選取時(shí)精確解和正則解的比較, 其中N=50,α∈{0.1,0.3,0.5,0.7,0.9}.

表1 先驗(yàn)參數(shù)選取精確解與正則解的相對(duì)誤差

表2 后驗(yàn)參數(shù)選取精確解與正則解的相對(duì)誤差

由表1、 表2及圖1、 圖2中反演結(jié)果可見, 當(dāng)δ→0時(shí), 誤差減小, 正則解接近于精確解, 且后驗(yàn)參數(shù)選取策略結(jié)果優(yōu)于先驗(yàn)參數(shù)選取策略, 表明本文的正則化方法有效.

圖1 先驗(yàn)參數(shù)選取精確解與正則解的比較Fig.1 Comparison between exact solution and regularization solution for priori parameter choice rule

圖2 后驗(yàn)參數(shù)選取精確解與正則解的比較Fig.2 Comparison between exact solution and regularization solution for posterior parameter choice rule

綜上, 本文利用Tikhonov正則化方法, 討論了帶有Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程逆源問題, 給出了先驗(yàn)正則化參數(shù)選取時(shí)正則解的收斂速度估計(jì)及后驗(yàn)正則化參數(shù)選取時(shí)正則化參數(shù)的取值范圍, 并證明了其正則解的弱收斂性. 數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法有效.