三層流體中入射波作用下直立圓柱支撐圓板的水彈性響應(yīng)

龔逸綱，盧東強(qiáng),2,3，浦俊

(1.上海大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海 200072；2.上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072；3.上海市能源工程力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200072)

海洋超大型浮式結(jié)構(gòu)物(very large floating structures，VLFS)作為一個(gè)遠(yuǎn)離陸地、穩(wěn)固可靠的海上基地，對(duì)存儲(chǔ)、開(kāi)采海洋能源以及軍事防護(hù)都有重大意義，引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注。超大型浮式結(jié)構(gòu)的厚度遠(yuǎn)小于水平方向的尺寸，使它的彎曲剛度變得較小，在入射波浪和其他外加載荷作用下其水彈性響應(yīng)十分重要。在理論研究中，通常運(yùn)用Kirchhoff-Love薄板理論進(jìn)行分析[1-2]。對(duì)于二維問(wèn)題，則將其視作為T(mén)imoshenko和Woinwsky-Krieger彈性梁模型。Watanabe[3]、趙存寶等[4]提出了采用中厚度板理論，可以避免采用Kirchhoff-Love板理論時(shí)應(yīng)力合力不準(zhǔn)確的問(wèn)題。本文將VLFS簡(jiǎn)化為彈性薄板模型，固結(jié)一根貫穿海洋深度的直立圓柱來(lái)固定它的剛體位移，同時(shí)起到一定的支撐作用。在數(shù)學(xué)上，外載荷與彈性薄板互相作用這一問(wèn)題，在不可壓勢(shì)流理論的框架下可以歸結(jié)成為一個(gè)Laplace方程初邊值問(wèn)題，常見(jiàn)的求解途徑分為頻域解法與時(shí)域解法。

頻域分析適合于線性穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，主要有模態(tài)分析法與本征函數(shù)展開(kāi)法2類(lèi)。Wu等[5]在計(jì)算有限長(zhǎng)彈性板在有限水深下的水動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，將板的剛體運(yùn)動(dòng)和彎曲變形用梁的自然模態(tài)展開(kāi)，然后解出流體相應(yīng)的繞射勢(shì)和輻射勢(shì)，再運(yùn)用Bernoulli方程計(jì)算出流體壓強(qiáng)，最后根據(jù)梁方程計(jì)算出每個(gè)模態(tài)的振幅。Kashiwagi[6]將板的垂向位移用梁的自然模態(tài)展開(kāi)，將壓力用B樣條函數(shù)展開(kāi)，通過(guò)Galerkin方法得到壓力表達(dá)式系數(shù)，計(jì)算高效且準(zhǔn)確性較高，成為工程實(shí)際中廣泛應(yīng)用的一種方法。模態(tài)分析法的難點(diǎn)在于模態(tài)函數(shù)的選取，不同模態(tài)函數(shù)的選取對(duì)應(yīng)的計(jì)算時(shí)間差異很大。本征函數(shù)展開(kāi)法則是在只考慮結(jié)構(gòu)物水彈性響應(yīng)而不考慮剛體位移的前提下，將速度勢(shì)函數(shù)通過(guò)分離變量法展開(kāi)，其關(guān)鍵就是求解展開(kāi)的速度勢(shì)函數(shù)中未知系數(shù)。Sahoo等[7]構(gòu)造了內(nèi)積關(guān)系式，使得本征函數(shù)在新內(nèi)積意義下具有正交性，簡(jiǎn)化了計(jì)算。Xu等[8]驗(yàn)證了直接使用開(kāi)闊水域的垂向本征函數(shù)可以得到更高的計(jì)算效率。

對(duì)于實(shí)際的密度分層海洋，兩層流體是常見(jiàn)的簡(jiǎn)化模型。Linton等[9]基于線性水波理論考慮了二層流體中波浪和水平放置圓柱的相互作用并運(yùn)用多極展開(kāi)法進(jìn)行求解。Lin等[10]研究了有限深兩層流體中固結(jié)在浮冰中的直立圓柱的繞射問(wèn)題，討論了表面波模態(tài)和界面波模態(tài)入射時(shí)，不同波模態(tài)對(duì)圓柱體的水平作用力和彎矩的影響。Lin等[11]認(rèn)為在二層有限深流體中內(nèi)波入射下，彈性板的存在會(huì)使2種波模態(tài)之間的能量交換增加。更精細(xì)地看，海洋是一種三層式的布局。表層密度變化十分緩慢，隨著深度不斷增加，在一個(gè)深度密度梯度突然增大，出現(xiàn)一個(gè)密度躍層，最后密度變化又趨于平緩。Rus?s等[12]提出了一種基于積分方程的完全非線性數(shù)值格式，研究了在三層流體中水平傳播的界面對(duì)稱(chēng)孤立波。Meng等[13]探究了三層流體中漂浮的彈性薄板受到波浪引起的水彈性響應(yīng)。浦俊[14]研究了三層流體中斜入射波作用下半無(wú)限板的水彈性響應(yīng)，得到了不同波模態(tài)入射時(shí)的臨界入射角。對(duì)于彈性板—直立圓柱模型，Meng等[15]導(dǎo)出了多層流體漂浮多模塊板的水彈性波色散關(guān)系。

本文將海洋簡(jiǎn)化為三層密度不同的均勻流體，下層流體密度大于上層。同時(shí)在界面處密度發(fā)生突變，并有界面波入射，其中，第2層流體是為了考慮密度躍層的影響而假定的一層流體。

1 數(shù)學(xué)模型建立

本文主要討論三層流體中入射重力波與直立圓柱支撐彈性圓板復(fù)合結(jié)構(gòu)的相互作用。如圖1所示，采用三維柱坐標(biāo)系，取豎直向上的為z軸，并將圓盤(pán)的中心設(shè)為坐標(biāo)的原點(diǎn)。彈性圓板與直立圓柱的連接方式為固支，直立圓柱被視為剛體。彈性圓板的厚度為d，半徑為R，直立圓柱的半徑為a。將z=0,-H1,-H2,-H3分別定義為平靜水面、第1層流體與第2層流體的交界(上界面)、第2層流體與第3層流體的交界(下界面)以及水底。不同層流體之間有明顯且穩(wěn)定的界面。第1層流體(-H1ρ2>ρ1，每層流體的厚度為hm(m=1,2,3)。將整個(gè)水域劃分為開(kāi)闊水域(R

圖1 三層流體中重力波與圓形彈性板及直立圓柱相互作用

本文基于勢(shì)流理論，假設(shè)流體理想且不可壓，運(yùn)動(dòng)無(wú)旋。令Φm(r,θ,z,t)(m=1,2,3)為第1、2、3層流體速度勢(shì)函數(shù)，ξm(r,θ,t)(m=1,2,3)為自由水面、上下界面的鉛垂位移。將時(shí)間自變量t從上述變量中分離出來(lái)，得到：

Φm(r,θ,z,t)=Re[φm(r,θ,z)eiωt]

(1)

ξm(r,θ,t)=Re[ξm(r,θ)eiωt]

(2)

速度勢(shì)函數(shù)φm(r,θ,z)在整個(gè)流域內(nèi)滿(mǎn)足Laplace方程:

(3)

其中：

(4)

一階近似下的自由水面邊界條件為：

(5)

板覆蓋區(qū)水面邊界條件為：

a≤r

(6)

式中：D為彈性圓板的抗彎剛度；Me=ρed為彈性圓板單位面積上的質(zhì)量。

水底的非滲透條件為：

(7)

在各層流體之間的界面處流體速度、壓力滿(mǎn)足連續(xù)性條件:

(8)

z=-Hn,a≤r<∞

(9)

式中：γn=ρn/ρn+1;n=1,2。

考慮彈性圓板的外緣是自由端，即在r=R處，彈性圓板的力與彎矩為零，在r=a處，直立圓柱與彈性圓板固支，因此其位移與轉(zhuǎn)角為0。

(10)

(11)

ξ1=0，r=a

(12)

(13)

在板覆蓋區(qū)與開(kāi)闊水域的交界處，即r=R處，速度勢(shì)滿(mǎn)足壓力與速度連續(xù)的匹配條件為：

φm|r=R-=φm|r+R+，m=1,2,3

(14)

(15)

在直立圓柱的側(cè)面，流體與固體之間沒(méi)有間隙，因此不能有沿圓柱法向的速度分量：

(16)

2 數(shù)學(xué)模型求解過(guò)程

色散關(guān)系滿(mǎn)足方程[13]：

(17)

其中具體參數(shù)定義以及垂向本征函數(shù)表達(dá)式見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。

為簡(jiǎn)潔，將速度勢(shì)函數(shù)φm寫(xiě)成分段函數(shù)形式:

(18)

(19)

(20)

(21)

其中:

(22)

(23)

為了得到上述復(fù)系數(shù)，將展開(kāi)后的速度勢(shì)函數(shù)代入彈性圓板與直立圓柱在z=0處的邊界條件(10)～(13)。

根據(jù)垂向本征函數(shù)的正交性，引入垂向本征函數(shù)的內(nèi)積定義為：

(24)

其中下標(biāo)取值范圍為l,n為01,02,03,1,2,3,…?？梢酝ㄟ^(guò)計(jì)算驗(yàn)證在l≠n時(shí)，Pln=0。首先將速度勢(shì)函數(shù)代入匹配條件(14)、(15)以及直立圓柱側(cè)面邊界條件(16)。再將本征函數(shù)Zl(z)(l=01,02,03,1,2,3,…)分別對(duì)上述匹配條件與直立圓柱側(cè)面邊界條件做內(nèi)積：

l為01,02,03

(25)

l=i=1，2,…

(26)

l為01,02,03

(27)

l=i=1，2,…

(28)

l為01,02,03

(29)

l=i=1，2,…

(30)

對(duì)無(wú)窮累加項(xiàng)i,j做截?cái)?，取i=1,2,…,M;j=I,II,1,2,…,M以及n=-N,…,-1,0,1,…,N。M、N為正整數(shù)。根據(jù)上述邊界條件及匹配條件得到一個(gè)(2N+1)(3M+13)維的方程組，相應(yīng)的未知系數(shù)為(2N+1)(3M+13)個(gè)，方程封閉。通過(guò)求解該方程組，求解出待定系數(shù)，可以解出速度勢(shì)函數(shù)表達(dá)式，從而進(jìn)一步得出其他物理量的值。

在得到了整個(gè)流場(chǎng)內(nèi)勢(shì)函數(shù)表達(dá)式之后，可以進(jìn)一步分析彈性圓板與直立圓柱這2個(gè)結(jié)構(gòu)物上的受力情況。根據(jù)本文所采用的線性勢(shì)流理論，直立圓柱側(cè)面(r=a)處的任意一點(diǎn)的動(dòng)壓可以根據(jù)線性化后的Bernoulli方程給出。

3 數(shù)值結(jié)果與討論

為不失一般性，取流場(chǎng)深度H3，重力加速度g以及上層流體的密度ρ1做無(wú)量綱化。后文中出現(xiàn)的物理量均為無(wú)量綱化后的物理量。

采用上述方法進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算。彈性圓板的參數(shù)數(shù)值為E=1.2×106，ν=0.3，ρe=0.9，d=0.01。流場(chǎng)中流體參數(shù)為γ1=γ2=0.9，h1=h2=0.2,h3=0.6。首先對(duì)求解的正確性進(jìn)行檢驗(yàn)并判斷收斂性。正確性的判據(jù)選取為檢驗(yàn)開(kāi)闊水域與板覆蓋區(qū)在交界處的波流能守恒。參考文獻(xiàn)[16]，波流能εf可以表示為：

(31)

在M=5，N=15，R=4，a=1，ω=0.5，d=0.01的算例中，相對(duì)誤差為：

(32)

對(duì)于衰減模態(tài)項(xiàng)數(shù)的截?cái)鄥?shù)M,當(dāng)M≥5時(shí)，衰減模態(tài)對(duì)結(jié)果的影響就可忽略不計(jì)，本文后續(xù)計(jì)算均在M=7下進(jìn)行。對(duì)于Bessel函數(shù)階數(shù)截?cái)鄥?shù)N，數(shù)值的收斂性隨ω的變化而變化。在ω較小時(shí)，如ω=0.5，N=10便已經(jīng)收斂，但在ω=2 時(shí)，N=20才能達(dá)到收斂。本文后續(xù)計(jì)算全部取N=20。

圖2展示了在不同入射頻率ω下上界面上豎直位移的幅值。在ω=0.1時(shí)，波受到直立圓柱的干擾較小，但當(dāng)ω增大到1時(shí)，直立圓柱的存在對(duì)后面的流場(chǎng)產(chǎn)生了很大的影響，符合低頻長(zhǎng)波繞射能力強(qiáng)，對(duì)下游的影響更大。同時(shí)，隨著頻率的增加，直立圓柱一周的豎向位移不斷減小。

圖3展示了在表面波模態(tài)入射時(shí)，不同板厚d,密度比γ和每層流體的厚度h下，表面、上下界面θ=π處的豎直位移幅值，其中選定ω=0.5，ζ1=0.01，ζ2=ζ3=0。當(dāng)板厚d不斷變大時(shí)，彈性板的抗彎剛度不斷增加，因此板的撓度更小同時(shí)板覆蓋區(qū)的波幅也相對(duì)較小，在x=-1處滿(mǎn)足彈性圓板與直立圓柱的固結(jié)條件，同時(shí)因?yàn)榭箯潉偠鹊脑黾?，使得開(kāi)闊水域的波幅增大。當(dāng)密度比γ變化時(shí)，板的撓度并沒(méi)有明顯的變化，但當(dāng)密度比不斷減小，明顯在自由水面上激發(fā)了新的模態(tài)，波形變得更加粗糙，但在上下界面模態(tài)波數(shù)則不斷變小，同時(shí)波幅有所增加。最后，當(dāng)?shù)?層與第2層流體的厚度不斷增加時(shí)，表面波波形基本不變，上下界面處的波幅則變得更小，激發(fā)的模態(tài)波長(zhǎng)也更長(zhǎng)，表明在表面波模態(tài)入射時(shí)，上層流體越厚，傳到下層的能量也就越少。

圖4討論了表面波模態(tài)入射時(shí),不同半徑直立圓柱、彈性圓板的徑向壓力s(a,θ)。圖4(a)給出的是彈性圓板與直立圓柱半徑基本相同的模型，可以看出，當(dāng)直立圓柱的半徑不斷增大，受到的徑向壓力就越小，同時(shí)隨著直立圓柱尺寸增加，圓柱后方壓力分布變得更加復(fù)雜。在a=1時(shí)可以與圖4(b)相較得出，板的存在吸收了部分的能量。

圖4 表面波模態(tài)入射時(shí)，不同圓柱半徑a與彈性圓板半徑R下圓柱的徑向壓力s(a，θ)

圖5為表面波模態(tài)入射時(shí)，不同入射頻率ω下圓柱收到的切向壓力q(z)。因?yàn)樵诮缑嫔蟿?shì)函數(shù)并不連續(xù),因此水平方向的壓力會(huì)有突變。隨著入射頻率不斷增加，水平方向壓力減小，但當(dāng)ω取很小的值，如ω=0.1，圓柱受到的壓力更均勻，因此水平方向的壓力就變得很小。

圖5 表面波模態(tài)入射時(shí)，不同 ω下圓柱水平方向受到的壓力q(z)

圖6對(duì)比了同樣波幅下表面、上下界面波模態(tài)分別入射時(shí)，各個(gè)界面θ=π處的豎直位移幅值。只有在表面波模態(tài)入射時(shí)，在表面上會(huì)引起較大的振幅，而當(dāng)上下界面波模態(tài)入射時(shí)，在開(kāi)闊水域會(huì)激起波數(shù)更大的新模態(tài)，但波幅更小。在板覆蓋水域則在上下界面處引起較大的波幅，但板的撓度幾乎為零。相比表面入射波，上下界面入射波所產(chǎn)生的水平方向壓力與徑向壓力都要小得多，上表面波模態(tài)入射時(shí)，在第2層流體內(nèi)，水平方向壓力明顯減小，與下表面波模態(tài)入射時(shí)相反。

圖6 表面、上下界面波模態(tài)分別入射時(shí)，各個(gè)界面θ=π處的幅值以及圓柱所受到的徑向壓力與水平方向的壓力

4 結(jié)論

1)衰減模態(tài)對(duì)于結(jié)果的貢獻(xiàn)較小，在力、彎矩上基本可以忽略不計(jì)，在數(shù)值計(jì)算時(shí)并不需要考慮高階項(xiàng)的影響。而B(niǎo)essel函數(shù)的階數(shù)對(duì)數(shù)值收斂性有影響，求解高頻短波對(duì)階數(shù)要求更高。

2)在低頻長(zhǎng)波入射時(shí)，行進(jìn)波的繞射能力強(qiáng)，受到彈性圓板直立圓柱結(jié)構(gòu)的影響很小; 當(dāng)頻率增加，模型對(duì)行進(jìn)波的影響就越大。

3)表面波模態(tài)與界面波模態(tài)入射相比，引起的波幅在開(kāi)闊水域各個(gè)界面上較大，但相應(yīng)模態(tài)的波數(shù)越小。

4)在界面波模態(tài)入射時(shí)，有能量從界面波模態(tài)轉(zhuǎn)移到了表面波模態(tài)。