混合元模型自適應(yīng)空間探索優(yōu)化方法及應(yīng)用

葉鵬程，潘光，魯江鋒

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，陜西 西安 710072；2.西北工業(yè)大學(xué) 無人水下運(yùn)載技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710072)

現(xiàn)今復(fù)雜產(chǎn)品的設(shè)計(jì)通常涉及多目標(biāo)、多學(xué)科等計(jì)算耗時(shí)的仿真分析過程，使得產(chǎn)品設(shè)計(jì)優(yōu)化過程異常復(fù)雜。傳統(tǒng)的基于仿真分析優(yōu)化方法往往需要調(diào)用數(shù)以千計(jì)的真實(shí)分析模型來處理復(fù)雜工程問題，耗費(fèi)大量計(jì)算資源。而元模型能夠在復(fù)雜產(chǎn)品設(shè)計(jì)優(yōu)化過程中替代真實(shí)分析模型，極大地降低計(jì)算量，被廣泛應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)優(yōu)化領(lǐng)域[1]。目前，廣泛使用的元模型包括：多項(xiàng)式響應(yīng)面(polynomial response surfaces，PRS)、徑向基函數(shù)(radial basis functions，RBF)、克里金(Kriging，KRG)等。對(duì)于不同特性優(yōu)化問題，上述元模型擁有各自優(yōu)勢(shì)和不足，在諸如精度、效率、魯棒性等方面表現(xiàn)各異[2]。Goel等[3]提出了基于廣義均方根誤差的權(quán)重因子計(jì)算方法，通過測(cè)試函數(shù)驗(yàn)證了混合元模型在預(yù)測(cè)精度和魯棒性方面均優(yōu)于所選單一元模型。Acar等[4]通過最小化混合元模型的最大絕對(duì)誤差來獲得權(quán)重因子。黃煥軍等[5]使用混合元模型擬合車身正面碰撞、側(cè)面碰撞和白車身模態(tài)分析等多種響應(yīng)，建立針對(duì)安全性的車身結(jié)構(gòu)多學(xué)科優(yōu)化模型。上述研究表明混合元模型擁有選取的多個(gè)元模型的優(yōu)點(diǎn)，能夠同時(shí)獲取更多關(guān)于未知優(yōu)化問題的信息，有效降低單一元模型出錯(cuò)率，魯棒性更強(qiáng)。

盡管各類基于元模型優(yōu)化方法提高了優(yōu)化效率，但仍無法高效求解復(fù)雜工程優(yōu)化問題?？臻g探索方法能夠識(shí)別包含全局最優(yōu)點(diǎn)的潛在區(qū)域，極大緩解計(jì)算壓力。周仕明等[6]提出一種基于元模型和聚類算法的設(shè)計(jì)空間分割與減縮優(yōu)化方法。龍騰等[7]提出一種基于信賴域動(dòng)態(tài)徑向基函數(shù)優(yōu)化策略。Younis等[8]利用空間探索和單峰區(qū)域消除(space exploration and unimodal region elimination，SEUMRE)策略加快尋優(yōu)進(jìn)程。Gu等[9]提出一種基于多個(gè)元模型自適應(yīng)建模優(yōu)化方法(hybrid and adaptive metamodeling，HAM)，通過確定有效的設(shè)計(jì)子空間，加快優(yōu)化收斂速度。

本文針對(duì)混合元模型和空間探索方法的特點(diǎn)，提出了混合元模型自適應(yīng)空間探索優(yōu)化方法(hybrid metamodels based adaptive space exploration optimization method，HMASEO)。HMASEO方法能夠在迭代過程中自適應(yīng)提高混合元模型在有效設(shè)計(jì)子空間內(nèi)的近似精度，通過逐步減小探索區(qū)域以較快的速度收斂到全局最優(yōu)解。最后，將HMASEO方法成功應(yīng)用于翼身融合水下滑翔機(jī)(blended wing body underwater glider，BWBUG)外形設(shè)計(jì)優(yōu)化實(shí)例中，驗(yàn)證其有效性和優(yōu)越性。

1 混合元模型

混合元模型由多個(gè)元模型線性加權(quán)組合而成，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(1)

混合元模型預(yù)測(cè)精度很大程度上由權(quán)重因子決定，權(quán)重因子的選擇需滿足2個(gè)基本原則：1)能夠反映元模型近似精度；2)能夠避免元模型在樣本稀疏區(qū)域糟糕表現(xiàn)。Goel等[3]根據(jù)上述原則，采用預(yù)測(cè)均方根誤差計(jì)算權(quán)重因子：

(2)

(3)

2 自適應(yīng)空間探索方法

自適應(yīng)空間探索方法利用迭代過程中已有的“昂貴”樣本點(diǎn)確定2個(gè)有效的設(shè)計(jì)子空間“S1”和“S2”。然后在S1和S2內(nèi)進(jìn)行空間探索，并通過補(bǔ)充新樣本點(diǎn)自適應(yīng)更新。設(shè)計(jì)子空間S1往往包含更多的局部最優(yōu)點(diǎn)，而S2則更專注于探索關(guān)鍵區(qū)域。

2.1 S1空間探索方法

按照所有樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的真實(shí)目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行排序，選擇目標(biāo)函數(shù)值較小的前M1個(gè)樣本點(diǎn)(M1取值為“昂貴”樣本點(diǎn)數(shù)量一半)。然后使用模糊C均值聚類算法[6](fuzzy C-means，F(xiàn)CM)計(jì)算得到設(shè)計(jì)子空間S1，具體計(jì)算公式為：

(4)

采用多起點(diǎn)序列二次規(guī)劃算法(multi-start SQP，MS-SQP)在設(shè)計(jì)子空間S1內(nèi)對(duì)混合元模型進(jìn)行全局尋優(yōu)，獲得數(shù)量為MS近似響應(yīng)面全局最優(yōu)點(diǎn)，根據(jù)預(yù)測(cè)響應(yīng)值的大小從中選擇所需數(shù)量的新樣本點(diǎn)。MS取值滿足：

(5)

式中m表示樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫中“昂貴”樣本點(diǎn)數(shù)量。

2.2 S2空間探索方法

選用真實(shí)目標(biāo)函數(shù)值較小的前M2個(gè)“昂貴”樣本點(diǎn)，設(shè)計(jì)子空間S2計(jì)算公式為：

(6)

本文提出一種混合自適應(yīng)有效樣本方法(hybrid and adaptive promising sampling，HAPS)在設(shè)計(jì)子空間S2內(nèi)確定新增樣本點(diǎn)。HAPS方法操作步驟如下：

7)確定同時(shí)出現(xiàn)在任意2個(gè)樣本集或3個(gè)樣本集中的樣本點(diǎn)，3個(gè)樣本集A、B、C將被劃分為7個(gè)樣本子集E～K(如圖1所示)：

圖1 樣本子集E～K

(7)

8)在所有樣本子集E～K中選取數(shù)量為Num_new有效樣本點(diǎn)，各子集分配到的樣本點(diǎn)數(shù)量Snewi由如下公式?jīng)Q定：

(8)

式中：i表示各樣本子集E～K序號(hào)，round表示對(duì)結(jié)果進(jìn)行四舍五入。λi為反映不同樣本子集重要性的權(quán)系數(shù)，由各樣本子集本身重要性指數(shù)li和包含的樣本點(diǎn)數(shù)量ri共同決定。本文將li取為樣本子集涉及的元模型數(shù)量，即l1=3，l2-4=2，l5-7=1。

在探索過程中，S1和S2可能出現(xiàn)不包含實(shí)際全局最優(yōu)解情況。為了避免HMASEO方法陷入局部最優(yōu)，同樣采用HAPS方法在初始全局空間(original global space，OGS)內(nèi)進(jìn)行探索。HMASEO方法每隔3次迭代依次在OGS、S1和S2空間內(nèi)進(jìn)行探索，確定新增樣本點(diǎn)，自適應(yīng)更新混合元模型和設(shè)計(jì)子空間S1和S2。

3 HMASEO方法

本文提出的HMASEO方法聯(lián)合混合元模型和自適應(yīng)空間探索方法，流程見圖2，步驟如下：

1)建立真實(shí)分析模型，確定設(shè)計(jì)變量和設(shè)計(jì)空間，初始化HMASEO方法參數(shù)，令迭代參數(shù)k=1。

2)使用增強(qiáng)隨機(jī)進(jìn)化算法[10](enhanced stochastic evolutionary，ESE)在整個(gè)設(shè)計(jì)空間內(nèi)生成8個(gè)初始樣本點(diǎn)，同時(shí)調(diào)用真實(shí)分析模型計(jì)算響應(yīng)值。將設(shè)計(jì)樣本點(diǎn)及其所對(duì)應(yīng)的真實(shí)模型響應(yīng)值保存到樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫中。

3)提取樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫中的所有樣本點(diǎn)及其所對(duì)應(yīng)的真實(shí)模型響應(yīng)值，分別構(gòu)造單一元模型PRS、RBF和KRG。

4)求解式(3)中的優(yōu)化問題，計(jì)算得到優(yōu)化權(quán)重因子，構(gòu)造混合元模型。參數(shù)α和β初始值分別設(shè)為0.05和-1。

5)判斷迭代數(shù)k是否滿足公式Rem(k, 3)=2,如果滿足，則計(jì)算設(shè)計(jì)子空間S1；否則，轉(zhuǎn)入步驟7)。Rem表示計(jì)算余數(shù)。

6)采用MS-SQP算法在設(shè)計(jì)子空間S1內(nèi)產(chǎn)生3個(gè)有效樣本點(diǎn)，轉(zhuǎn)入步驟10)。

7)判斷迭代數(shù)k是否滿足公式Rem(k, 3)=0,如果滿足，則計(jì)算設(shè)計(jì)子空間S2；否則，轉(zhuǎn)入步驟9)。

8)采用HAPS方法在設(shè)計(jì)子空間S2內(nèi)產(chǎn)生3個(gè)有效樣本點(diǎn)，轉(zhuǎn)入步驟10)。

9)采用HAPS方法在初始全局空間OGS內(nèi)產(chǎn)生3個(gè)有效樣本點(diǎn)。

10)將獲得的有效樣本點(diǎn)和樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫中已有樣本點(diǎn)進(jìn)行比較，滿足式(9)的有效樣本點(diǎn)將被剔除。保存剩余新樣本點(diǎn)及其所對(duì)應(yīng)的真實(shí)模型響應(yīng)值到樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫中。

(9)

式中：d表示有效樣本點(diǎn)xp和數(shù)據(jù)庫中樣本點(diǎn)xe在任意維度上的最大距離，Ubi和Lbi分別表示整個(gè)設(shè)計(jì)空間在第i維上的上下邊界值。η為距離控制系數(shù)，較大的η值會(huì)使優(yōu)化算法錯(cuò)失重要的新樣本點(diǎn)，而較小的η值則會(huì)產(chǎn)生多余的新樣本點(diǎn)，浪費(fèi)計(jì)算資源，本文η值取0.000 1。

11)重復(fù)步驟3～10，直到滿足終止準(zhǔn)則，終止準(zhǔn)則數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(10)

4 測(cè)試結(jié)果與分析

4.1 標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化函數(shù)

選用8個(gè)經(jīng)典標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化函數(shù)來測(cè)試HMASEO方法的性能，同時(shí)選取2種經(jīng)典的基于元模型優(yōu)化方法HAM和SEUMRE進(jìn)行比較分析。

1)Six-hump Camel-Back函數(shù)(SC)，n=2

x∈[-2，2]，fmin=-1.031 6

(11)

2)Goldstein and Price函數(shù)(GP)，n=2

x∈[-2，2]，fmin=3

(12)

3)Branin函數(shù)(BR)，n=2

x1∈[-5，10]，x2∈[0，15]，fmin=0.397 9

(13)

4)Trid 6函數(shù)(TR6)，n=6

x∈[-36，36]，fmin=-50

(14)

5)Trid 10函數(shù)(TR10)，n=10

x∈[-100，100]，fmin=-210

(15)

6)Sphere函數(shù)(SP12)，n=12

x∈[-5.12，5.12]，fmin=0

(16)

7)Sum Squares函數(shù)(SF15)，n=15

x∈[-10，10]，fmin=0

(17)

8)A Function of 16 Variables函數(shù)(F16)，n=16

i=1，2，…，n，x∈[-1，1]，fmin=25.875 0

(18)

式中αij取值參考文獻(xiàn)[9]。

本文選用的8個(gè)標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化函數(shù)從低維到高維，具有不同函數(shù)特性，能夠代表不同特征工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問題。對(duì)于每個(gè)測(cè)試函數(shù)，分別用3種優(yōu)化方法連續(xù)運(yùn)行10次以減小隨機(jī)誤差影響，避免獲得不具代表性的優(yōu)化結(jié)果。在測(cè)試過程中，3種優(yōu)化方法SEUMRE、HAM和HMASEO的收斂參數(shù)ε分別設(shè)為0.01、0.01和0.001。在實(shí)際工程應(yīng)用中，優(yōu)化時(shí)間基本上取決于調(diào)用真實(shí)分析模型的次數(shù)NFE。因此，對(duì)于工程優(yōu)化方法來說，盡可能減少調(diào)用高精度分析模型的次數(shù)是一個(gè)非常重要評(píng)價(jià)指標(biāo)，本文采用NFE來表征優(yōu)化效率。另外，收斂全局最優(yōu)解fopt也將用于反映優(yōu)化精度和魯棒性。3種優(yōu)化方法精度和效率測(cè)試結(jié)果對(duì)比如表1和表2所示。

表1 優(yōu)化精度測(cè)試結(jié)果對(duì)比

表2 優(yōu)化效率測(cè)試結(jié)果對(duì)比

分析表1優(yōu)化精度測(cè)試結(jié)果可知，在實(shí)際最優(yōu)解未知的情況下，HMASEO方法能夠成功捕捉到所有測(cè)試函數(shù)的理想優(yōu)化解(與真實(shí)最優(yōu)解相差在1%以內(nèi))，除SC和GP函數(shù)外優(yōu)化精度均好于比較方法HAM和SEUMRE。而對(duì)于SC和GP函數(shù)，HMASEO方法獲得的優(yōu)化結(jié)果與實(shí)際全局最優(yōu)解也非常接近，相差在1%以內(nèi)。HAM方法在SC和GP函數(shù)中獲得的fopt平均值最接近實(shí)際全局最優(yōu)解，但在高維函數(shù)TR10、SF15和F16中，分別有數(shù)次無法獲得收斂優(yōu)化解(Shan等[11]將設(shè)計(jì)變量n≥10定義為高維問題)。同樣地，SEUMRE方法在高維函數(shù)TR10、SP12、SF15和F16中無法獲得令人滿意的優(yōu)化解。測(cè)試結(jié)果表明HMASEO方法不僅具有較高優(yōu)化精度，而且具備處理高維優(yōu)化問題能力，而HAM和SEUMRE方法無法在有限計(jì)算資源內(nèi)獲得令人滿意的全局優(yōu)化解。

分析表2優(yōu)化效率測(cè)試結(jié)果可知，HMASEO方法在其中6個(gè)測(cè)試函數(shù)中均能以最小計(jì)算資源獲得理想優(yōu)化解，僅在SC和GP函數(shù)中所需NFE多于SEUMRE方法。以TR6函數(shù)為例，HMASEO方法平均只需要調(diào)用真實(shí)分析模型 95.1次，比HAM方法平均少101.2次，比SEUMRE方法少105.2次。另外，HAM和SEUMRE方法在2個(gè)函數(shù)TR10和SF15中完全不能捕捉到全局最優(yōu)解，同時(shí)在F16函數(shù)中分別有4、1次無法得到收斂優(yōu)化解。HMASEO方法采用自適應(yīng)空間探索方法，能夠有效減少真實(shí)分析模型調(diào)用次數(shù)，減輕計(jì)算壓力，優(yōu)化效率明顯高于比較方法HAM和SEUMRE。

為了更加直觀展現(xiàn)HMASEO方法在魯棒性方面優(yōu)勢(shì)，采用箱線圖對(duì)各測(cè)試函數(shù)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，如圖2所示。箱線圖矩形內(nèi)部的橫線表示中位數(shù)，矩形上下兩端分別對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的上、下四分位數(shù)，矩形端外的2條線段分別對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的上、下四分位距，這2條線段表示異常值截?cái)嗵帲惓Ｖ到財(cái)嗵幹獾狞c(diǎn)為異常值，用+表示。異常值通常與其他統(tǒng)計(jì)結(jié)果相差較大，表示可靠性較低。分析圖中矩形盒長度和中位線可以看出，HMASEO方法在所有測(cè)試函數(shù)中均表現(xiàn)穩(wěn)定，具有很強(qiáng)魯棒性。而比較方法HAM和SEUMRE表現(xiàn)糟糕，優(yōu)化結(jié)果分布分散，魯棒性較弱。再來分析圖中異常值，發(fā)現(xiàn)3種方法在不同測(cè)試函數(shù)中均存在異常值，其中HMASEO方法在SC、GP、BR、F16函數(shù)中存在異常值。事實(shí)上，HMASEO方法對(duì)于所有測(cè)試函數(shù)都能獲得理想優(yōu)化解，因此異常值在選取的測(cè)試函數(shù)中并不能很好地表征魯棒性。HMASEO方法在尋優(yōu)過程中同時(shí)調(diào)用3種典型元模型，可以很好地利用各模型優(yōu)點(diǎn)，有效規(guī)避每個(gè)模型本身不足之處，形成組合保險(xiǎn)機(jī)制，相比其他優(yōu)化方法更加穩(wěn)健高效。

圖2 各測(cè)試函數(shù)優(yōu)化結(jié)果箱線

4.2 翼身融合水下滑翔機(jī)外形設(shè)計(jì)優(yōu)化實(shí)例

翼身融合水下滑翔機(jī)外形采用翼身融合技術(shù)，使得整體沿翼展方向各截面均為翼型，可視為由一系列不同截面翼型組成滑翔機(jī)，如圖3所示。BWBUG外形設(shè)計(jì)優(yōu)化是一個(gè)極其復(fù)雜的系統(tǒng)工程問題，不僅設(shè)計(jì)周期長，研制成本高，而且優(yōu)化模型復(fù)雜。參考文獻(xiàn)[12]，本文在保持BWBUG總體外形輪廓不變前提下，以升阻比最大為優(yōu)化目標(biāo)，選擇了7個(gè)關(guān)鍵位置處的站位翼型在攻角α=7°、速度v=1 m/s工況下進(jìn)行優(yōu)化，然后將優(yōu)化翼型代替初始翼型，最后使用Unigraphics NX(UG)軟件利用優(yōu)化翼型重新生成BWBUG優(yōu)化外形。圖4給出了7個(gè)站位翼型的位置示意圖，圖中l(wèi)1～l7和d1～d7分別表示站位翼型與中心截面翼型前緣的水平和垂直距離。7個(gè)站位翼型基本信息如表3所示。

表3 站位翼型基本信息

圖3 初始BWBUG外形設(shè)計(jì)

圖4 站位翼型展向位置

采用4階形狀類別函數(shù)變換方法[13](class function/shape function transformation，CST)構(gòu)建得到站位翼型的參數(shù)化模型，并保證優(yōu)化BWBUG外形仍為上下對(duì)稱。每個(gè)站位翼型的優(yōu)化設(shè)計(jì)變量數(shù)為5，因此BWBUG外形設(shè)計(jì)優(yōu)化問題總共包含35個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)。站位翼型優(yōu)化問題定義為：

(19)

表4 站位翼型設(shè)計(jì)變量取值范圍

站位翼型優(yōu)化結(jié)果如表5所示，3種優(yōu)化方法SEUMRE、HAM和HMASEO獲得的BWBUG優(yōu)化外形的升阻比均大于初始外形，分別提高了19.00%、23.19%和24.32%。而HMASEO方法優(yōu)化得到的BWBUG外形升阻比為14.26，高于比較方法HAM和SEUMRE。同時(shí)，HMASEO方法優(yōu)化過程中調(diào)用的真實(shí)分析模型次數(shù)NFE僅為426次，相比HAM和SEUMRE方法分別減少了235次和88次，HMASEO方法所需的計(jì)算資源最少。另外，HAM方法得到的優(yōu)化外形的排水體積最大，相比初始設(shè)計(jì)提高了3.03%，而SEUMRE、HMASEO方法分別提高了1.52%和2.65%。排水體積的增大能夠使BWBUG獲得更大的有效容積，攜帶更多的儀器設(shè)備，拓寬其任務(wù)范圍。

表5 BWBUG外形設(shè)計(jì)優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

分析上述結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)BWBUG外形選用水動(dòng)力性能更優(yōu)的站位翼型時(shí)，滑翔機(jī)整體外形的升阻比將得到同步提高。另外，相比HAM和SEUMRE方法，本文提出的HMASEO方法不僅極大地降低了計(jì)算資源，同時(shí)提高了BWBUG外形的流體動(dòng)力性能和有效容積，具有較強(qiáng)的工程實(shí)用性和有效性。

5 結(jié)論

1)自適應(yīng)空間探索方法打破了傳統(tǒng)優(yōu)化方法依賴經(jīng)驗(yàn)給定設(shè)計(jì)空間的局限，通過自適應(yīng)更新設(shè)計(jì)子空間，逐步提高混合元模型在最優(yōu)解附近的近似精度，最后引導(dǎo)優(yōu)化快速收斂到全局最優(yōu)解。

2)采用8個(gè)標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化函數(shù)和翼身融合水下滑翔機(jī)外形設(shè)計(jì)優(yōu)化實(shí)例對(duì)HMASEO方法的性能進(jìn)行測(cè)試，并與HAM和SEUMRE方法進(jìn)行比較分析，結(jié)果表明HMASEO方法在全局收斂性、優(yōu)化效率和魯棒性方面具有一定的優(yōu)越性，尤其是針對(duì)高維優(yōu)化問題。

HMASEO方法在處理高維工程問題時(shí)還有待進(jìn)一步研究與提高。在未來研究中，考慮引入維度降低策略，發(fā)展針對(duì)高維優(yōu)化問題的自適應(yīng)空間探索方法。