淺談高中數(shù)學(xué)競賽解題思維

王加白

【摘要】高中數(shù)學(xué)知識抽象性較強，特別是數(shù)學(xué)競賽題目，難度更高，但是只要學(xué)生掌握正確的解題思路，就能夠在解答數(shù)學(xué)題目時做到游刃有余.下文從引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會高效審題入手，結(jié)合具體題目對特殊值解題思維法、逆向解題思維法以及構(gòu)造解題思維法進行闡述，以供大家參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)競賽;解題思維

隨著時代的發(fā)展和新課改的不斷推進，傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式已不再能滿足當(dāng)今時代的教學(xué)發(fā)展需要.如今的高中數(shù)學(xué)教學(xué)不再單一地注重數(shù)學(xué)知識的傳授，而更加注重對學(xué)生解題思維的培養(yǎng).因為只有提升學(xué)生自身的解題思維能力，學(xué)生才能夠更加深入地學(xué)習(xí)和理解高中數(shù)學(xué)知識，才能夠更加嫻熟地運用數(shù)學(xué)知識.筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗，針對高中數(shù)學(xué)競賽解題思維教學(xué)進行了深入的分析與研究，認為可從以下幾個方面著手.

一、引導(dǎo)學(xué)生高效審題，準確、快速梳理解題條件

眾所周知，解題的第一步不是答題，而是審題，審題是決定學(xué)生能夠快速而準確解答問題的關(guān)鍵和前提.如果學(xué)生未能夠正確領(lǐng)悟題中之意，就盲目地解答題目，這樣不僅難以成功地解答題目，而且還會落入題中陷阱，一葉障目.對此，數(shù)學(xué)老師應(yīng)當(dāng)重視審題教學(xué)，但是，教師注重審題教學(xué)并不是要求或者告訴學(xué)生要認真審題.現(xiàn)在諸多數(shù)學(xué)老師在幫助學(xué)生分析題目時或者在考試之前會口頭式地提醒學(xué)生：要注意審題、要認真審題、審題不準答不好題目等.但是這種口頭式的要求起到的作用并不大，從學(xué)生們的考試結(jié)果來看，總是存在不少學(xué)生因為審題不準而答錯題目的情況.所以，教師在教導(dǎo)學(xué)生準確審題時要運用一定的方法.具體而言，數(shù)學(xué)老師可以為學(xué)生歸納出一定的審題步驟，再引導(dǎo)學(xué)生按照既定的步驟審題.也就是說，將學(xué)生們的審題過程流程化.久而久之，學(xué)生就會形成正確的解題習(xí)慣.

關(guān)于高效審題的具體步驟，可以分為三步.第一步，集中注意力.集中注意力是學(xué)生能夠快速而準確審題的關(guān)鍵，只有注意力集中，學(xué)生才能夠?qū)㈩}目字里行間的有效信息挖掘出來，才不至于反復(fù)讀題.有的學(xué)生習(xí)慣在讀題的過程中劃線，將重要的解題信息標注出來.其實，這種審題方式的作用并不大，反而還會因為劃線耽誤時間.當(dāng)然，集中注意力也不是讀一道題目集中一次注意力，而是在開始考試之前或者在開始答題之前，自己先靜心，先將自己投入到一種精力集中的狀態(tài)當(dāng)中，而后才開始答題.如果心中雜念太多，即使眼睛在看題，心神卻早已飛到天外，也是難以實現(xiàn)準確讀題的.第二步，提取關(guān)鍵條件.在集中注意力之后，數(shù)學(xué)老師再引導(dǎo)學(xué)生提取題目當(dāng)中的關(guān)鍵條件.需要注意，這里是提取關(guān)鍵條件，而并非提取關(guān)鍵數(shù)據(jù).因為審題和解題的關(guān)鍵在于構(gòu)建等價條件，如果題目中的條件不能建立平衡，即使數(shù)據(jù)再多也是無法實現(xiàn)正確解題的.所以，學(xué)生在審題的過程當(dāng)中就需要思考題目給出的條件有哪些，如何建立等價關(guān)系.針對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力較強的學(xué)生，數(shù)學(xué)老師則要引導(dǎo)其邊讀題邊思考等價條件.因為數(shù)學(xué)知識是固定的，題目無論如何變化，也無法跳出固定的格式，只是形式的變化而已.學(xué)生在能夠構(gòu)建出等價條件之后，就可以在答題紙上列出對應(yīng)數(shù)據(jù)了.這也是高效審題的第三步.之所以將列出數(shù)據(jù)當(dāng)作審題過程的其中一步，是方便學(xué)生對自己的審題進行驗證，即通過具體的數(shù)據(jù)觀察自己所建立的等價關(guān)系是否成立.如果成立，則說明自己的審題思路是正確的.當(dāng)然，這種認定也存在一定的紕漏，但是等式不成立，則必然說明自己的審題思路出現(xiàn)錯誤，這是可以肯定的.而且，此過程與答題過程合二為一，也是提高解題效率的重要方法.此外，數(shù)學(xué)老師不能僅向?qū)W生傳授具體的審題方法，還要對學(xué)生們的審題能力進行鍛煉，這樣才能真正達到強化學(xué)生審題能力的目的.比如，數(shù)學(xué)老師在日常的講題過程中，就需要限定學(xué)生們的思考時間，以增強學(xué)生們的內(nèi)心緊張感，也是為了提高學(xué)生們的注意力，而后要求學(xué)生列出等價條件.時間一到，老師選取學(xué)生，讓他闡述自己所列的等價關(guān)系，如此逐步鍛煉和提高學(xué)生們的審題思維能力.

二、通過具體競賽題目，鍛煉和提高學(xué)生自身的解題思維

正所謂“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.”想要鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生自身的解題思維能力，教師就需要通過具體的競賽題目引導(dǎo)學(xué)生思維，使得學(xué)生能夠切身領(lǐng)會數(shù)學(xué)競賽解題思維方法.數(shù)學(xué)解題思維可謂多種多樣，但是學(xué)生在答題的過程中，這些不同的解題思維卻是穿插考查，而不會連續(xù)考查.這也就為學(xué)生們解題增加了一定的困惑性.對此，數(shù)學(xué)老師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生抽絲剝繭，透徹性地闡述不同的解題思維，讓學(xué)生不僅懂得如何作答某一道數(shù)學(xué)競賽題目，而且懂得如何作答某一類數(shù)學(xué)競賽題目，這才契合高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)的理念.下面筆者就不同類型的高中數(shù)學(xué)競賽解題思維進行舉例闡述.

1.特殊值解題思維法

所謂特殊值解題思維法，指的就是通過代入特殊值的方式進行解題.這種解題思維方式雖然偏于極端，但卻是一種非常有效的解題思維.學(xué)生在遇到涉及函數(shù)取值范圍的這一類題目時，可以采用該方法進行解題.需要注意的是，并不是所有涉及函數(shù)范圍的題目都可以運用特殊值解題思維，這一點教師需要點明，否則不僅會誤導(dǎo)學(xué)生思維，還會白白消耗學(xué)生們的解題時間.一般而言，特殊值解題思維法主要應(yīng)用于選擇和填空等題目.

例1已知f1-x1+x=1-x21+x2，則f（x）的解析式可以為（）.

A.x1+x2B.-2x1+x2

C.2x1+x2D.-x1+x2

這道題目的解題思路極為明確，先設(shè)1-x1+x=t，而后反向運用x代替t，并代入上述等式，最終可以得出C選項正確.但是，這種解題方式比較費時耗力.因為上題為函數(shù)等式，所以我們可以選擇特殊值法進行作答.那么，具體選擇哪一個特殊值呢？這就需要根據(jù)具體的題目而定.比如這道題中，學(xué)生就可以取x=0作為特殊值，對于后續(xù)的計算最為方便.通過特殊值代入可以得出f（1）=1的結(jié)論.此時可以繼續(xù)將x=1分別代入A、B、C、D四個選項的解析式中進行驗證，只有C選項等于1，則可判斷出C選項為正確答案.如此既提高了解題的速度，又鍛煉了學(xué)生的解題思維.

2.逆向解題思維法

所謂逆向解題思維法，指的是一種將問題倒過來思考的解題方法.很多時候，我們發(fā)現(xiàn)正向無法解題，或者說通過正向的方式解題比較困難，我們就可以嘗試通過反向的方式進行解題.反向解題就是要調(diào)轉(zhuǎn)自己的思維，不要為題目本身所束縛.其實，在上述特殊值解題思維法的舉例當(dāng)中，也應(yīng)用到了逆向解題思維法.即在特殊值代入構(gòu)建等式之后，通過將特殊值代入選項的方式進行反向論證，如此也屬于是對逆向解題思維的一種應(yīng)用.逆向解題思維法多應(yīng)用于題目論證，下面就以證明題為例對此方法進行闡述.

例2已知a、b、c是三個正整數(shù)，且b-a≠c-b，求證：c2-ab-b2+ac≠b2-ac-a2+bc.

如果單看這道題目以及給出的題目關(guān)系，有些混亂，因此學(xué)生解題時會感到毫無頭緒.但是通過挖掘題目當(dāng)中的關(guān)鍵信息，比如b-a≠c-b，我們可以斷定a、b、c之間不成等差數(shù)列.如果我們再對最后的證明結(jié)果進行變式，就會發(fā)現(xiàn)最終的證明結(jié)果可以轉(zhuǎn)換為2×（b2-ac）≠c2-ab+a2-bc.這就相當(dāng)于是要證明a2-bc、b2-ac、c2-ab三者之間不成等差關(guān)系.搞清楚題目的本意之后，我們就可開始思考合適的解題方法.我們?nèi)绻麖?b≠a+c的角度切入，則難以得出2×（b2-ac）≠c2-ab+a2-bc的結(jié)論，因為我們?nèi)粘Ｋ鲱}目多是從繁到簡，而絕非從簡到繁.所以在解答該道題目時，就應(yīng)當(dāng)通過反向的方式解題，即從2×（b2-ac）=c2-ab+a2-bc切入，得出2b=a+c的結(jié)論，此便是逆向解題思維法.

3.構(gòu)造解題思維法

所謂構(gòu)造解題思維法，指的是根據(jù)已有的題目條件進行方程構(gòu)造、圖像構(gòu)造、函數(shù)構(gòu)造等，進而得出題目結(jié)論的一種解題思維方法.其實在高中數(shù)學(xué)競賽題目當(dāng)中，存在諸多條件簡單的數(shù)學(xué)題目.高中學(xué)生都清楚，題目條件越簡單，解答起來就會越困難，因為題目條件簡單，有效條件就會減少，故解答起來難度會有所增加.遇到條件簡單的題目，數(shù)學(xué)老師可以引導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)造的方式進行解題，增加解題的思路和途徑，從而使簡單的題目條件豐富起來.

例3求函數(shù)f（x）=5+sin x6-cos x的值域.

這道題目就一句話，條件也只有一個.但是僅通過給出的條件并不能完成對該道題目的作答，所以我們就需要根據(jù)題目構(gòu)造條件.f（x）=5+sin x6-cos x可以看作是點（6，5）與點（cos x，-sin x）連線的斜率，如此一來，此道題目也就變換成為求點（6，5）與點（cos x，-sin x）連線斜率的最大值和最小值.僅是這么一個簡單的構(gòu)造轉(zhuǎn)換，就使得這道數(shù)學(xué)題目有了新的解題方向.

高中數(shù)學(xué)競賽題目解題思維除了上述提到的三種之外，還包括其他的數(shù)學(xué)解題思路，比如化繁為簡法、有序排列法、關(guān)系影射反演法、動靜結(jié)合法等，此處不再一一贅述.但是無論教師教導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)哪一種數(shù)學(xué)解題思路，首先都要與具體的高中數(shù)學(xué)題目相結(jié)合，才能加深學(xué)生對于相關(guān)數(shù)學(xué)解題思維的學(xué)習(xí)與認識.其次，數(shù)學(xué)老師要注重引導(dǎo)學(xué)生審題，這是保證學(xué)生有效運用各種解題思維的前提和關(guān)鍵.最后，還要增加學(xué)生的課下練習(xí)，從而不斷強化學(xué)生自身的高中數(shù)學(xué)解題思維和解題能力.

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