基于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)研究

凡丹

【摘要】本文以“函數(shù)的概念”一課教學(xué)為例，依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的四個(gè)維度設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)，創(chuàng)設(shè)三種不同的問(wèn)題情景和環(huán)環(huán)相扣的“問(wèn)題串”展示教學(xué)過(guò)程，層層遞進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，并以學(xué)生自主探究、交流討論為主的方式尋找解決問(wèn)題的方法，經(jīng)歷概念獲得的過(guò)程，讓學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成在教學(xué)中落地生根.

【關(guān)鍵詞】抽象素養(yǎng);數(shù)學(xué)教學(xué);函數(shù)概念

1引言

抽象，基于抽象過(guò)程而言，是指從眾多事物中舍棄其非本質(zhì)特征，抽取出共同的本質(zhì)特征的過(guò)程.數(shù)學(xué)抽象則是指得到數(shù)學(xué)中確立的各種基本概念、定義、公理、定理、模型、推理法則、證明方法等 “數(shù)學(xué)抽象物”的過(guò)程.

數(shù)學(xué)抽象是六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的活動(dòng)過(guò)程可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、形成數(shù)學(xué)思維以及提升解決問(wèn)題的能力.國(guó)外有研究者認(rèn)為：21世紀(jì)對(duì)知識(shí)情境性的重視日益增強(qiáng)，素養(yǎng)的形成和發(fā)展與情境存在密不可分的關(guān)系.此外，有研究表明：學(xué)生在學(xué)習(xí)“抽象”數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，通常需要降低抽象層次的思維過(guò)程，例如將新的概念與已有的知識(shí)建立關(guān)聯(lián)，或者建立具體過(guò)程來(lái)重現(xiàn)抽象的結(jié)論.因此，為了更好地在教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)，課標(biāo)對(duì)教師教學(xué)提出了新要求，即教師在教會(huì)學(xué)生知識(shí)技能的同時(shí)，應(yīng)將數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)過(guò)程貫串于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的全過(guò)程，注重新舊知識(shí)的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，不斷創(chuàng)新教學(xué)方式，創(chuàng)設(shè)符合教學(xué)內(nèi)容的情境，引導(dǎo)學(xué)生多動(dòng)腦思考，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

函數(shù)主題知識(shí)是高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，其中對(duì)函數(shù)概念及其本質(zhì)的深入理解是學(xué)生后續(xù)學(xué)好基本初等函數(shù)及其性質(zhì)的關(guān)鍵，同時(shí)，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要一課.

2教學(xué)分析

“函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容.在初中階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)概念，進(jìn)入高中，學(xué)生要繼續(xù)學(xué)習(xí)更為抽象的函數(shù)概念，即“對(duì)應(yīng)說(shuō)”，其強(qiáng)調(diào)實(shí)數(shù)集與實(shí)數(shù)集間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系描述函數(shù)概念，明確函數(shù)的定義域、值域，并引入抽象符號(hào)f（x）.

初中所學(xué)函數(shù)概念主要研究變量間的相互關(guān)系，并未深入探究函數(shù)概念的本質(zhì)，學(xué)生很難進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的圖像及性質(zhì).因此，進(jìn)一步擴(kuò)展學(xué)習(xí)函數(shù)概念“對(duì)應(yīng)說(shuō)”很有必要.

3目標(biāo)與方法設(shè)計(jì)

3.1教學(xué)目標(biāo)

問(wèn)題與情境：創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，讓學(xué)生在函數(shù)概念的建構(gòu)過(guò)程中體會(huì)由特殊到一般、從具體到抽象的思維過(guò)程.

知識(shí)與技能：能用集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言描述函數(shù)，理解函數(shù)概念的本質(zhì).

思維與表達(dá)：采用探究式課堂教學(xué)，讓學(xué)生在活動(dòng)中體會(huì)類(lèi)比、歸納、抽象、概括等數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平.

交流與反思：注重知識(shí)的科學(xué)應(yīng)用、文化價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，感受數(shù)學(xué)的抽象美、簡(jiǎn)潔美、數(shù)與形的和諧美.

3.2教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解函數(shù)概念及其構(gòu)成要素.

難點(diǎn)：函數(shù)概念構(gòu)建過(guò)程，理解函數(shù)概念本質(zhì)及抽象符號(hào)的意義.

4教學(xué)過(guò)程

4.1創(chuàng)設(shè)情境，聯(lián)系新舊知識(shí)

回憶：你還記得初中階段所學(xué)的函數(shù)概念是什么嗎？你已經(jīng)學(xué)過(guò)哪些具體函數(shù)呢？

問(wèn)題1請(qǐng)同學(xué)們應(yīng)用初中所學(xué)函數(shù)概念思考并回答：

（1）y=1是否表示一個(gè)函數(shù)？

（2）y=（x）2與y=x表示同一個(gè)函數(shù)嗎？

師：應(yīng)用“舊”知識(shí)，難以對(duì)以上問(wèn)題給出準(zhǔn)確答案.讓我們一起學(xué)習(xí)一些“新”知識(shí)后再來(lái)解決上述問(wèn)題吧！

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生回憶初中所學(xué)的函數(shù)概念，復(fù)習(xí)“舊”知識(shí).設(shè)計(jì)問(wèn)題1中（1），此解析式中只有一個(gè)變量y，與初中概念中兩個(gè)變量產(chǎn)生矛盾，學(xué)生誤判y=1不是函數(shù);設(shè)計(jì)問(wèn)題1中（2），y=（x）2化簡(jiǎn)后與y=x在解析式形式上完全一樣，但定義域不同，由于初中概念中未涉及定義域，學(xué)生誤判這兩個(gè)函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù).在問(wèn)題引入中創(chuàng)設(shè)矛盾，啟發(fā)學(xué)生深入思考，讓學(xué)生體會(huì)初中所學(xué)函數(shù)概念的局限性，引發(fā)學(xué)生想要學(xué)習(xí)新概念的強(qiáng)烈愿望.

4.2探究新知，經(jīng)歷抽象過(guò)程

情境1某“和諧號(hào)”高速列車(chē)加速到300 km/h后保持勻速行駛半小時(shí).該時(shí)間段內(nèi)，列車(chē)行進(jìn)的路程s（單位：km）與運(yùn)行時(shí)間t（單位：h）的關(guān)系式可以表示為s=300t.

師：請(qǐng)問(wèn)在該情境中，變量是什么？變量間存在函數(shù)關(guān)系嗎？

生：s和t是變量，且s是t的函數(shù).

師：為什么？

生：因?yàn)閠的每一個(gè)確定的值都與s中的值一一對(duì)應(yīng).

師：根據(jù)s與t的關(guān)系式，當(dāng)列車(chē)加速到300 km/h后，列車(chē)運(yùn)行1 h就前進(jìn)了300 km，這樣的說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？

生：不對(duì).因?yàn)闆](méi)有考慮運(yùn)行時(shí)間的范圍，根據(jù)題目要求0≤t≤0.5，所以0≤s≤150.

師（引導(dǎo)總結(jié)）：我們前面學(xué)習(xí)了集合，那對(duì)于t和s這兩個(gè)變量的范圍，我們是否可以用集合來(lái)表示？

t的變化范圍可以用集合A={t|0≤t≤0.5}表示，s的變化范圍可以用集合B={s|0≤s≤150}表示，對(duì)于集合A中的任一時(shí)刻t，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系s=300t，在數(shù)集B中都有唯一確定的路程s和它對(duì)應(yīng).

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)該情境，教師以“問(wèn)題串”的形式引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的情境中抽象出“變量”“變量關(guān)系”“變量的取值范圍”.結(jié)合已學(xué)知識(shí)，將“變量的取值范圍”用“集合”表示，強(qiáng)調(diào)變量間的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)概念從“變量說(shuō)”到“對(duì)應(yīng)說(shuō)”的變化過(guò)程，用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述變量間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

情境2圖1為云南省昆明市某天的空氣質(zhì)量指數(shù)變化圖.如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任意時(shí)刻t的空氣質(zhì)量指數(shù)值I？你認(rèn)為這里I是t的函數(shù)嗎？

情境3表1為某市居民恩格爾系數(shù)變化情況，你認(rèn)為恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？注：恩格爾系數(shù)r=食物支出金額/總支出金額.

交流討論：請(qǐng)同學(xué)們以4個(gè)人為一個(gè)小組交流討論，嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述情境2、情境3中變量之間的關(guān)系.

思考1情境1～3中的函數(shù)有哪些共同特征？

生：（1）都包含兩個(gè)非空數(shù)集;（2）都有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系;（3）盡管對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，但按照每個(gè)情境的對(duì)應(yīng)關(guān)系，數(shù)集A中的數(shù)都與集合B中的數(shù)一一對(duì)應(yīng).

【設(shè)計(jì)意圖】該環(huán)節(jié)根據(jù)初中所學(xué)函數(shù)表示方法，分別設(shè)計(jì)以解析式法、圖像法、列表法為函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的三個(gè)不同情境，讓學(xué)生根據(jù)情境1的分析過(guò)程，以小組形式自主探究情境2、情境3，觀(guān)察圖像和表格的數(shù)據(jù)，找到變量的變化范圍及變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，歸納總結(jié)函數(shù)的共同特征.通過(guò)該環(huán)節(jié)，讓學(xué)生親自從具體事物中抽象概括出對(duì)應(yīng)的函數(shù)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)過(guò)程，在合作學(xué)習(xí)中積極思考和表達(dá)自己的觀(guān)點(diǎn)，鍛煉交流表達(dá)的能力，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.

4.3概念生成，形成數(shù)學(xué)抽象

思考2通過(guò)探究我們可知兩個(gè)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用解析式、圖像、表格來(lái)表示，還有其他的方法可以表示對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？

生：有，比如文字語(yǔ)言描述等.

師：數(shù)學(xué)本質(zhì)表現(xiàn)為對(duì)一般事物進(jìn)行高度地抽象概括，對(duì)于變量間對(duì)應(yīng)關(guān)系的多種表示法，可以統(tǒng)一為同一種形式描述嗎？

生：可以，用抽象符號(hào)f表示變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

師：通過(guò)探究，你能用你的語(yǔ)言給出函數(shù)概念嗎？ 并與教材中的概念對(duì)比.

學(xué)生獨(dú)立歸納函數(shù)概念后與教材對(duì)比.

思考3從函數(shù)的概念中，我們知道函數(shù)可以用抽象符號(hào)y=f（x），x∈A表示，那么可以用y=g（x）表示函數(shù)嗎？你知道構(gòu)成一個(gè)函數(shù)的必要條件有哪些嗎？

生：可以，f或g只是表示對(duì)應(yīng)關(guān)系而引入的抽象符號(hào);函數(shù)的必要條件有定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.

師：我們將定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域叫作函數(shù)的三要素.

【設(shè)計(jì)意圖】以三種表示函數(shù)的方法入手，引導(dǎo)學(xué)生理解抽象符號(hào)f表示的是對(duì)x施加的某種法則或運(yùn)算，且并不是只能用f表示，還可以根據(jù)需要使用其他字母符號(hào)表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)根據(jù)函數(shù)概念進(jìn)一步明確構(gòu)成函數(shù)的三要素.通過(guò)該環(huán)節(jié)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)概念、規(guī)則，體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

4.4概念理解，深入理解本質(zhì)

思考4學(xué)習(xí)了新的函數(shù)概念后，請(qǐng)同學(xué)們?cè)俅嗡伎颊n堂開(kāi)始時(shí)的兩個(gè)問(wèn)題，你做對(duì)了嗎？為什么？

生：沒(méi)有，因?yàn)楹鲆暳撕瘮?shù)解析式中的隱藏變量及函數(shù)的定義域.

師：接下來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們觀(guān)察思考例1，并對(duì)比四個(gè)題之間的異同點(diǎn).

例1下列函數(shù)中，哪個(gè)函數(shù)與y=x相等？

（1）y=（x）2;（2）y=x2; （3）u=3v3; （4）m=n2n

師：通過(guò)觀(guān)察例1中4個(gè)函數(shù)的圖像，你能判斷哪兩個(gè)函數(shù)相等嗎？（幾何畫(huà)板展示）

生：（3）與y=x相等.

師：我們觀(guān)察圖像得出這兩個(gè)函數(shù)相等，那這兩個(gè)函數(shù)有什么共同點(diǎn)呢？

生：兩函數(shù)的三要素均相同.

師：如果只有定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，兩函數(shù)相等嗎？若只有定義域和值域相同時(shí)呢？若只有對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域相同時(shí)呢？

生：①相等，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同時(shí)，值域也就相同;②不相等，比如：y=x與y=x+1;③不相等，比如：y=x2，定義域?。?∞，0）和（0，+∞）.

師：請(qǐng)同學(xué)們思考兩個(gè)函數(shù)相等需要滿(mǎn)足什么條件.

生：對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域相同，與解析式中的字母或抽象符號(hào)無(wú)關(guān).

【設(shè)計(jì)意圖】該環(huán)節(jié)借助幾何畫(huà)板展示函數(shù)圖像，帶領(lǐng)學(xué)生分析相等函數(shù)的條件，該過(guò)程主要考查學(xué)生結(jié)合其他基礎(chǔ)知識(shí)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式及求解定義域的能力.將其他基礎(chǔ)知識(shí)與函數(shù)知識(shí)相結(jié)合，注重知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系.

思考5在具體函數(shù)中，定義域與函數(shù)概念中的集合A是什么關(guān)系？值域與函數(shù)概念中集合B呢？

生： 定義域就是函數(shù)概念中的集合A，而值域只是集合B的子集.

【設(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)概念中定義域和值域與其對(duì)應(yīng)集合的關(guān)系.

5交流討論，學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)

交流討論：對(duì)于函數(shù)y=x（10-x），你認(rèn)為該函數(shù)關(guān)系可以用來(lái)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題嗎？如果可以，你能構(gòu)建一個(gè)符合該函數(shù)的問(wèn)題情境嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】該環(huán)節(jié)讓學(xué)生在交流過(guò)程中，學(xué)會(huì)結(jié)合實(shí)際情境解釋相關(guān)的抽象概念.函數(shù)y=x（10-x）是高度抽象的符號(hào)表示.在實(shí)際生活中，該函數(shù)可用于計(jì)算已知周長(zhǎng)為20的長(zhǎng)方形的面積，也可以用來(lái)描述某物體的上拋運(yùn)動(dòng)等.數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不僅是要求學(xué)生掌握知識(shí)技能、應(yīng)對(duì)考試，更應(yīng)該加強(qiáng)引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的學(xué)科價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值.