基于Engl極小化原則確定Robin系數(shù)的數(shù)值求解

馬衍波，瞿 丹

（韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 潮州 521041）

考慮帶有如下邊界條件的Laplace方程：

Robin 反問題解的唯一性可由一致連續(xù)原理給定［1］，然而，解的存在性需要給定數(shù)據(jù)的兼容性，而這是不容易證明的.更為困難的是，反問題的解并不連續(xù)依賴給定數(shù)據(jù)，即：給定數(shù)據(jù)的些許誤差可能引發(fā)解的巨大變化.雖然如此，由于該模型的廣泛應(yīng)用，仍有眾多數(shù)學(xué)家就Robin反問題的數(shù)值求解進(jìn)行研究［2-7］.文獻(xiàn)［8］討論了區(qū)域Ω 為窄矩形的數(shù)值求解；最小二乘法在反問題的研究中被廣泛應(yīng)用，文獻(xiàn)利用有限元分解討論了正則的最小二乘法，該方法對恢復(fù)光滑的Robin 系數(shù)是有效的.針對分段常數(shù)的Robin系數(shù)，文獻(xiàn)［9-12］分別利用Modica-Mortola和Kohn-Vogelius函數(shù)進(jìn)行了討論，實(shí)驗(yàn)證明對帶有陡峭邊界的恢復(fù)是有效的.而針對非光滑的Robin系數(shù)，基于全變差的非線性反問題的數(shù)值方法得到了很多學(xué)者的重視［13-18］.

由于TV正則化泛函在0點(diǎn)不可導(dǎo)，所以其數(shù)值算法的設(shè)計(jì)是很大的挑戰(zhàn).考慮到Tikhonov正則化方法和TV正則化方法的優(yōu)缺點(diǎn)，我們給出一種自適應(yīng)的TV方法，將Tikhonov正則化方法和TV正則化方法的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，該方法對分段常數(shù)的Robin反問題的恢復(fù)有較好的效果.

1 邊界積分方程及其離散化

首先，引入令φ=φ(x,y)為二維Laplace方程的基本解，由格林公式，得到如下積分方程：

該積分方程含有dΓ(x)是定義在邊角上的指標(biāo)函數(shù)，滿足

定義

假定平面域的邊界Γ 為光滑的，即設(shè)Γ={z(t):t∈[0,1]},其中，z:R→R2為2π 周期光滑函數(shù)，且z為定義［0，1］上的單射函數(shù)，滿足z′(t)≠0,?t∈[0,1].令

u(t):=|z′(t)|u(z(t)),t∈[0,1]，

可得到參數(shù)化的積分算子：

2 自適應(yīng)泛函

其中

注意：這里的pi是p(ti)的近似值，且p0=0，pm4-m3+1=0.

令

則有

這里Ei表示矩陣E的第i行.

引進(jìn)向量e(p)=R0A(p)-1f-u0，上述泛函（1）可以簡寫為殘差項(xiàng)和正則項(xiàng)之和：

該正則泛函充分考慮了ROF模型和l2模型的優(yōu)勢：當(dāng)|pi+1-pi|?β，說明函數(shù)在該點(diǎn)處梯度變化較大，可能存在斷點(diǎn)，相應(yīng)的正則分量接近|pi+1-pi|，可以充分利用TV正則的優(yōu)勢處理斷點(diǎn)的恢復(fù)；而|pi+1-pi|?β說明函數(shù)在該點(diǎn)處梯度變化不大，此時(shí)相應(yīng)的正則分量接近||pi+1-pi||2/β，故此時(shí)可以充分利用l2范數(shù)模型的優(yōu)勢，使得近似解具有一定的光滑性.

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在下面的數(shù)值試驗(yàn)中，假設(shè)橢圓具有標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)：

x=x(t)=(acos(2πt),bsin(2πt)),0 ≤t≤1，

固定a=1,b是一個(gè)可以任意取值的參數(shù).兩個(gè)不相交的區(qū)域Γ0,Γ1分別為

函數(shù)g(t)滿足

為了比較方便，選擇了兩種Robin函數(shù)p(t)，這兩種函數(shù)在文獻(xiàn)［9］中進(jìn)行驗(yàn)證.

測試是用Matlab進(jìn)行的.在參數(shù)區(qū)間［0，1］上設(shè)置均勻分區(qū)，取步長h=0.002 5.在下面的所有測試中，首先選擇p(t)，并通過求解相應(yīng)的離散系統(tǒng)，

在網(wǎng)格點(diǎn)t1,t2,…tn處利用高斯消元法得到（4）解的近似值，這里A(p)來自于公式（1）.然后，用得到的u|Γ來產(chǎn)生u0，并添加一定的隨機(jī)噪聲：

其中符號“rand”表示區(qū)間（0，1）上均勻分布的隨機(jī)數(shù)，δ是噪聲級別.在所有的測試中，總是選擇初始值p0=（0.5,0.5，…，0.5）T.

正則化參數(shù)在求解不適定問題中起著重要作用，利用基于Engl原理獲得一個(gè)有效的正則化參數(shù)，尤其當(dāng)數(shù)據(jù)的噪聲級有準(zhǔn)確的估計(jì)值時(shí).然而，參數(shù)α的值可能在稍大的范圍內(nèi)變化.在我們的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)已知誤差E:=||R0u-u0||的近似估計(jì).首先選擇了一個(gè)初始參數(shù)α，然后根據(jù)||R0u-u0||2的值更新α.準(zhǔn)確地說，如果||R0u-u0||2>E，將α替換為0.5α；如果||R0u-u0||2

利用Engl原理，得到恢復(fù)的Robin系數(shù)，效果見圖1.其中噪聲水平為5%，迭代次數(shù)分別為35和50次.圖2給出了兩種Robin系數(shù)恢復(fù)過程中的相對誤差.

圖1 Robin系數(shù)恢復(fù)效果

圖2 相對誤差隨迭代次數(shù)的變化

4 結(jié)論

自適應(yīng)的TV泛函充分考慮了TV模型和l2模型的優(yōu)勢，在可能存在斷點(diǎn)的地方，充分利用TV正則的優(yōu)勢處理斷點(diǎn)的恢復(fù)；而在不是斷點(diǎn)的地方，可以充分利用l2范數(shù)模型的優(yōu)勢，使得近似解具有一定的光滑性.數(shù)值實(shí)驗(yàn)也說明了這一點(diǎn).