歐慧謀,辜鈺榮
(1.韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,廣東 潮州 521041;2.潮州市金山實驗學(xué)校,廣東 潮州 521041)
教師是教與學(xué)的核心,如何促進教師專業(yè)發(fā)展,提高教學(xué)質(zhì)量,是歷次教育改革熱點.但長期以來,作為教師專業(yè)能力的兩個基本因素,學(xué)科知識與教育學(xué)知識卻普遍存在分離現(xiàn)象,針對此問題,美國著名教育家Sulman 于1986 年提出“教學(xué)內(nèi)容知識(簡稱PCK)”理論.所謂PCK,意指教師在面對特定主題時,針對學(xué)生興趣和能力,將學(xué)科知識加以組織、調(diào)整,并呈現(xiàn)給學(xué)生的教學(xué)方面的知識,它是學(xué)科知識、教育知識及其他相關(guān)知識的有機融合[1].研究表明,PCK最能區(qū)分學(xué)科專家與教學(xué)專家、高成效教師與低成效教師的差別[2],是教師專業(yè)能力的核心[3].近年來,通過PCK發(fā)展來提升教師專業(yè)能力,已逐漸在教育領(lǐng)域形成共識.
在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域,“數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識”簡稱MPCK,有關(guān)數(shù)學(xué)教師MPCK發(fā)展的研究主要集中在MPCK 來源、MPCK 發(fā)展策略、MPCK 案例研發(fā)等方面.已有研究側(cè)重理論思辨,基于教學(xué)實踐的MPCK 發(fā)展探討缺乏.日常教學(xué)實踐是教師專業(yè)成長的主要舞臺,教師MPCK 的發(fā)展,理應(yīng)返璞歸真,落實到數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中.本文以初中函數(shù)單元為例,嘗試建構(gòu)“基于日常教學(xué)實踐的數(shù)學(xué)教師MPCK發(fā)展模式”,期待能給數(shù)學(xué)教師MPCK發(fā)展、甚至教師專業(yè)能力提升提供啟發(fā).
MPCK相關(guān)理論主要源于PCK,但同時體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特點.所謂MPCK,指教師對某特定數(shù)學(xué)內(nèi)容該如何表述、呈現(xiàn)和解釋,以使學(xué)生更容易接受和理解的知識[4].按照教師開展常規(guī)教學(xué),MPCK可劃分為3個維度[5]:數(shù)學(xué)學(xué)科知識(簡稱MK),一般教學(xué)法知識(簡稱PK),有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(簡稱CK,指有別于前兩類知識的關(guān)于學(xué)生、學(xué)習(xí)背景、學(xué)習(xí)環(huán)境、教育宗旨等學(xué)習(xí)方面的知識).而MK、CK、PK 的融合就是MPCK,它們的關(guān)系可用圖1 表示,其中MK、CK、PK 三個集合的公共部分即為MPCK.
圖1 MPCK一般結(jié)構(gòu)圖
MK、CK、PK構(gòu)成要素主要有側(cè)重理論與側(cè)重實踐兩種觀點(如表1所示).前者基于MPCK內(nèi)涵,從數(shù)學(xué)知識、教育理論、學(xué)習(xí)理論、教育技術(shù)理論等理論探討MK、CK、PK,TK(屬表征技術(shù)范疇,有些研究把其歸為PK的一個方面)[6];后者傾向MPCK實踐,強調(diào)MK、CK、PK在日常教學(xué)的具體表現(xiàn)[7].盡管這兩種觀點因視角取向不同而存在差異,但卻從不同方面反映了MK、CK、PK 內(nèi)涵,為認(rèn)識MK、CK、PK,甚至MPCK提供了途徑.
表1 MK、CK、PK構(gòu)成要素
為研究方便與突出重點,本文結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點以及MPCK理論,對MK、CK、PK構(gòu)成要素界定如下.MK:數(shù)學(xué)學(xué)科知識,數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)學(xué)發(fā)展歷史.CK:知識儲備,學(xué)習(xí)經(jīng)驗、生活經(jīng)驗,學(xué)習(xí)難點、疑點、錯點及其成因,具體內(nèi)容學(xué)習(xí)心理過程.PK:意指教師對數(shù)學(xué)教育理念、教育理論、學(xué)習(xí)理論以及課程理論等的認(rèn)知,譬如問題驅(qū)動理念、數(shù)學(xué)思想方法滲透策略、數(shù)學(xué)表征優(yōu)化策略、難點突破策略、評價與反饋策略等方面.
一般地,職前教師、職初教師、優(yōu)秀教師的MPCK 基本結(jié)構(gòu)框架是一樣的,但三者的MK、CK、PK 基本集合以及它們的交集MPCK 大小有所區(qū)別.通常情況下,隨著教學(xué)經(jīng)驗的積累,MK、CK、PK往往會增大,它們的交集MPCK 也會隨之越來越大,形成的MPCK 越來越豐富(如圖2 所示).特別地,與職前教師、職初教師相比,優(yōu)秀教師的MPCK集合往往大得多[5].
圖2 優(yōu)秀教師的MPCK結(jié)構(gòu)圖
MPCK 結(jié)構(gòu)既直觀反映了MPCK 基本內(nèi)涵,又形象表征了教師MPCK發(fā)展的基本過程,這為教師MPCK發(fā)展提供了較好實踐啟發(fā).在日常教學(xué)實踐中,教師可以通過備課、磨課、實踐、反思、觀摩、交流等方式,提升對MK、CK、PK 的認(rèn)識與整合,進而促進MPCK發(fā)展.
依據(jù)MPCK理論以及日常教學(xué)實踐規(guī)律,嘗試建構(gòu)了“基于課例研究的MPCK發(fā)展模式”(如圖3所示).該模式包括深化MK、提升CK、發(fā)展PK,以及整合MK、CK、PK四個組成部分,它們分別通過梳理數(shù)學(xué)歷史、分析學(xué)習(xí)對象、優(yōu)化教學(xué)策略、以及實踐、反思、觀摩、交流等實踐活動來實現(xiàn).這些組成部分或?qū)嵺`活動相互關(guān)聯(lián)與作用,共同促進教師MPCK發(fā)展.
圖3 基于課例研究的MPCK發(fā)展模式
MK是開展數(shù)學(xué)教學(xué)的前提和基礎(chǔ).作為教師,不但要擁有良好數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu),而且對數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生背景、形成發(fā)展過程、應(yīng)用價值、思想方法、數(shù)學(xué)聯(lián)系等要有深刻認(rèn)識,這就涉及MK深化問題.教科書由于編排局限性,難以全面、深刻地呈現(xiàn)以上方方面面,教師需要另尋渠道,而梳理數(shù)學(xué)歷史則是較好選擇.
以函數(shù)概念為例,歷史梳理對函數(shù)概念MK的深化意義體現(xiàn)在以下方面.首先,了解函數(shù)產(chǎn)生背景.函數(shù)產(chǎn)生于天體運動、單擺運動、拋射體運動、航海、彈道等科學(xué)問題,是研究運動變化現(xiàn)象的手段,這些了解可幫助教師更好認(rèn)識函數(shù)由來和意義.其二,促進函數(shù)定義歷史性理解.函數(shù)定義先后經(jīng)歷幾何說、依賴說、對應(yīng)說及關(guān)系說四個發(fā)展階段,這是一個不斷抽象、不斷精確、不斷嚴(yán)密化的過程,這對教師拿捏難度、增強教學(xué)合理性具有積極啟發(fā).其三,深化數(shù)形結(jié)合思想理解.“數(shù)”與“形”是函數(shù)屬性的兩個表征,二者相輔相成,是理解與應(yīng)用函數(shù)的重要途徑.
CK是教師對學(xué)生實際狀況以及學(xué)習(xí)心理過程的認(rèn)識,對數(shù)學(xué)知識教育形態(tài)化、教學(xué)策略合理化具有不可忽視的作用.教師CK的提升,關(guān)鍵在于理論指導(dǎo)下的經(jīng)驗積累,在日常教學(xué)學(xué)情中,教師應(yīng)有意識地運用教育、學(xué)習(xí)理論,以增強實踐體驗感.
借助教育理論分析學(xué)生實際狀況.學(xué)生實際狀況包括知識儲備、學(xué)習(xí)經(jīng)驗、生活經(jīng)驗等方面,是學(xué)與教的起點與支點.學(xué)生實際狀況分析方法可分為經(jīng)驗分析法和理論分析法兩類,前者主要基于學(xué)生以往表現(xiàn),為教師常用方法,后者則注重理論運用.在日常學(xué)生分析中,教師應(yīng)注意二者結(jié)合,尤其是教育理論的合理運用.以學(xué)生知識儲備分析為例,除基于經(jīng)驗的判斷外,教師還可通過概念圖或者思維導(dǎo)圖深入了解學(xué)生知識掌握情況.譬如,直角坐標(biāo)系是函數(shù)學(xué)習(xí)的先行者,課前不妨先讓學(xué)生作其概念圖,測驗學(xué)生直角坐標(biāo)系知識的掌握情況.學(xué)生所列概念越多,概念間關(guān)系越清晰,說明其對該部分知識掌握越好.圖4是某學(xué)生所作的直角坐標(biāo)系概念圖,從中可以看出,該學(xué)生直角坐標(biāo)系認(rèn)知結(jié)構(gòu)良好.
圖4 平面直角坐標(biāo)系概念圖
借助學(xué)習(xí)理論分析學(xué)習(xí)過程.概念與原理的獲得、數(shù)學(xué)解題“好念頭”的啟發(fā)、“最近發(fā)展區(qū)”的尋找等,均要遵循一定的學(xué)習(xí)心理規(guī)律.另外,數(shù)學(xué)內(nèi)容不同,學(xué)習(xí)心理往往過程有別.譬如函數(shù),在概念學(xué)習(xí)階段,適宜采取形成方式獲得概念,即引導(dǎo)學(xué)生從解析表達(dá)式、圖像以及列表等具體例子歸納、抽象出函數(shù)概念;在圖像學(xué)習(xí)階段,譬如由y=ax2圖像平移求作y=a(x-h)2+k(h>0,k>0)圖像,則需遵循“動作操作→表象操作→符號操作”學(xué)習(xí)過程,三個環(huán)節(jié)缺一不可,否則可能給學(xué)生造成學(xué)習(xí)障礙[8].在教學(xué)生活中,教師應(yīng)加強各種學(xué)習(xí)心理學(xué)習(xí),并自覺地把理論運用于學(xué)習(xí)過程分析之中,這對提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理認(rèn)識、從而提升CK大有幫助.
PK既是教師對教育理念、教學(xué)理論、學(xué)習(xí)理論以及課程教材等總體的認(rèn)識,又是教師把這些認(rèn)識落實到具體教學(xué)的直接體現(xiàn).PK 的發(fā)展,理論是基礎(chǔ),實踐是途徑.下面依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點和MPCK理論,主要從問題驅(qū)動、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)表征加以論述.
踐行數(shù)學(xué)問題驅(qū)動理念.問題是數(shù)學(xué)的心臟,但問題有真?zhèn)沃?,那些能促使概念或原理被發(fā)現(xiàn)的原始問題稱為真問題,否則是偽問題.真問題又分為本原性問題與派生性問題,前者指促使事物產(chǎn)生的最初根源,后者則指某個理論產(chǎn)生之后根據(jù)自身發(fā)展與邏輯發(fā)展產(chǎn)生的問題[9].問題來自數(shù)學(xué)歷史、學(xué)生實際、數(shù)學(xué)內(nèi)部或者三者的綜合,教師需要綜合考慮,設(shè)計出那些能促使概念與原理產(chǎn)生的真問題.以二次函數(shù)為例,拋射體運動作為本源性問題廣泛存在于生活之中,理應(yīng)是良好學(xué)習(xí)素材,但由于初中學(xué)生不用學(xué)習(xí)三角學(xué)以及相關(guān)物理知識,無法直接由此展開教學(xué),只能采取折中辦法,在學(xué)生感知噴泉水線、投籃等拋射體運動“形”的基礎(chǔ)上,從面積、比賽場數(shù)、利息等角度設(shè)計派生性問題.教師只有對數(shù)學(xué)歷史、學(xué)生實際等充分了解,才能設(shè)計出真問題,好問題.
滲透數(shù)學(xué)思想方法.如果說問題是數(shù)學(xué)的動力,思想方法則是數(shù)學(xué)的推力.在教學(xué)中,有效滲透數(shù)學(xué)思想方法,使學(xué)生由學(xué)會走向會學(xué),是教師PK高水平的重要體現(xiàn).但是,數(shù)學(xué)思想方法猶如無形推手隱藏在知識背后,需要教師深入挖掘.以函數(shù)單元為例,通過深入分析,可以發(fā)現(xiàn)豐富的思想方法,譬如函數(shù)(包括具體函數(shù))概念形成過程中的歸納思想、函數(shù)圖像與性質(zhì)學(xué)習(xí)的數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)應(yīng)用的模型思想、含參函數(shù)的分類討論思想,以及確定函數(shù)的待定系數(shù)法、利用函數(shù)估計方程近似值的二分法、二次函數(shù)的配方法等,這些思想方法對理解函數(shù)概念、掌握函數(shù)性質(zhì)、提高解題效果具有重要影響,教師應(yīng)給與重視與滲透.
優(yōu)化數(shù)學(xué)表征.數(shù)學(xué)概念或原理高度抽象,給學(xué)習(xí)帶來較大困難,但抽象背后往往存在多種表征形式,合理的表征可以促進數(shù)學(xué)理解.MPCK 主張通過解釋、舉例、比喻、符號、表格、圖像、模型、操作、演示等數(shù)學(xué)表征[6],引導(dǎo)學(xué)生多角度學(xué)習(xí).為優(yōu)化數(shù)學(xué)表征,教師不妨考慮如下問題:概念或原理有哪些表征?如何有序呈現(xiàn)表征?怎么促進表征轉(zhuǎn)化?以函數(shù)概念為例,總體看,其具有解析式、圖像、列表三種具體表征,以及文字表征、符號表征兩類定義表征(如圖5所示)[10].在具體表征學(xué)習(xí)中,教師需引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)各種表征(如圖5中①、②、③所示)、尋找表征間聯(lián)系(如圖5中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ所示),以促進學(xué)生抽象函數(shù)概念本質(zhì).而函數(shù)定義文字表征較為抽象,單一表征學(xué)習(xí)枯燥、困難,不妨引進“函數(shù)模型(如圖6所示)”表征,文字表征與模型表征參照學(xué)習(xí)(如圖5中Ⅳ所示),可以在降低學(xué)習(xí)認(rèn)知負(fù)荷的同時,促進函數(shù)定義的理解.
圖5 函數(shù)概念多元表征學(xué)習(xí)
圖6 函數(shù)模型
MPCK由MK、CK、PK公共部分構(gòu)成,其發(fā)展既以三者的發(fā)展為前提,又以它們的整合為條件.整合是一種深層次的教學(xué)思辨,需要以經(jīng)驗積累為基礎(chǔ),教師應(yīng)勤于反思,善于積累,樂于交流和工于實踐[11],而“實踐—反思、觀摩—交流”則是較好途徑.
實踐—反思.實踐與反思是教師MPCK發(fā)展的主要來源[12-13],美國學(xué)者Posner也曾指出,教師專業(yè)成長遵循公式“經(jīng)驗+反思=教師的成長”.一方面,實踐是檢驗教學(xué)設(shè)想的標(biāo)準(zhǔn),數(shù)學(xué)知識把握是否到位,學(xué)生分析是否準(zhǔn)確,教學(xué)策略安排是否合理,均可通過教學(xué)實踐檢驗,這種檢驗實質(zhì)是教師對MK、CK、PK再認(rèn)識與整合的過程.教師應(yīng)加強實踐,尤其是參與教學(xué)公開課、教學(xué)比賽課或者教學(xué)示范課等活動,以促進自身MPCK發(fā)展.另一方面,經(jīng)驗的積累同樣需要來自教學(xué)反思,諸如“教學(xué)中有哪些成功得失?不足之處原因何在?需做何改進?”反身性問題屬于元認(rèn)知范疇,可以深度促進MK、CK、PK整合發(fā)展.
觀摩—交流.觀摩與交流既是教研活動的主要方式,亦是教師MPCK的重要來源[13-14].在觀摩環(huán)節(jié),所授之課往往歷經(jīng)千錘百煉,被打磨成“精品課”,具有示范性、研究性特點;授課教師現(xiàn)場直播式的“表演”,容易引起觀摩教師強烈的共鳴或?qū)Ρ?,授課教師教學(xué)方案與自己的有何異同?哪種方案更加合適?為什么?這些問題涉及MK、CK、PK及其關(guān)系的綜合思考.如果說教學(xué)觀摩是授課教師展示“如何教”的環(huán)節(jié),隨后的交流則是授課教師解釋“為什么這樣教”以及授課教師與觀摩教師共同探討“如何更好地教”的過程,這同樣需要綜合考慮MK、CK、PK及其關(guān)系.
可以說,“實踐—反思、觀摩—交流”過程就是教師MK、CK、PK生成、整合與再創(chuàng)造過程,對教師MPCK具有舉足輕重的作用.
下面是《二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖形與性質(zhì)》教研活動片段,授課教師主要通過y=2x2→y=2(x±1)2圖像關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生歸納出“左加右減”結(jié)論.這里“特殊→一般”歸納策略貌似問題不大,但實則不然,其函數(shù)圖像左右平移結(jié)論“左加右減”與前面“y=ax2+k上下平移結(jié)論‘上加下減’”、坐標(biāo)平移結(jié)論“上加下減、左減右加”存在認(rèn)知沖突,僅通過一個特殊案例難以突破學(xué)習(xí)障礙.針對此問題,教師集思廣益,總結(jié)出四種處理方案:①特例歸納,即述授課教師策略;②動態(tài)演示:利用幾何畫板演示y=a(x-h)2與y=ax2當(dāng)h分別取不同參數(shù)值時圖像的平移關(guān)系,便于學(xué)生歸納得到結(jié)論;③坐標(biāo)代入:即任取函數(shù)圖像上一點(x,y),其向右平移h(h>0)個單位得點(x+h,y),把其代入函數(shù)y=a(x-h)2,等式成立,由此得到結(jié)論.與前兩種方案相比,此法嚴(yán)謹(jǐn)度大大增加,可消除學(xué)生“不完全歸納”帶來的疑問;④嚴(yán)格證明:可擴充到y(tǒng)=a(x-h)2+k情形,任取滿足函數(shù)y=ax2的點(x,y),其向上平移k(k>0)個單位再向右平移h(h>0)個單位得到點(x+h,y+k). 令x′=x+h,y′=y+k, 所 以x=x′-h,y=y′-k, 代 入 函 數(shù)y=ax2得 到y(tǒng)′=a(x′-h)2+k,最后用x,y代替x′,y′,得到y(tǒng)=a(x-h)2+k.此法為嚴(yán)謹(jǐn)代數(shù)證明,但學(xué)習(xí)難度大,初中一般不做要求.這種現(xiàn)場直播式教研活動,無疑更利于提高教師“二次函數(shù)圖像平移”的教學(xué)認(rèn)識.
基于日常教學(xué)實踐的數(shù)學(xué)教師MPCK發(fā)展模式以理論為指導(dǎo)、以實踐為平臺,以MPCK發(fā)展為目標(biāo).其實踐效果如何,與教師理論素養(yǎng)、實踐體驗、實踐方式有關(guān),為此需要注意以下兩點.
理論與實踐“雙管齊下”.首先,提高教育理論素養(yǎng).MPCK發(fā)展水平首先決定于教師數(shù)學(xué)教育理論素養(yǎng),在日常教學(xué)中,教師除數(shù)學(xué)教材教參外,應(yīng)深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歷史、研讀數(shù)學(xué)教育與學(xué)習(xí)理論、博覽數(shù)學(xué)教育期刊等,以了解數(shù)學(xué)知識來龍去脈、吸取經(jīng)典數(shù)學(xué)教育思想、把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理規(guī)律、領(lǐng)略優(yōu)秀案例風(fēng)采.再者,增強實踐體驗感.MPCK的發(fā)展與實踐經(jīng)驗具有緊密關(guān)系,而理論指導(dǎo)下的實踐更具體驗感,可加速MPCK的發(fā)展.在教學(xué)實踐、觀摩交流、反思總結(jié)中,教師應(yīng)有意識地站在理論高度設(shè)計教學(xué)、實踐教學(xué)、分析教學(xué),以積累積極的實踐體驗,從而豐富MK、CK、PK認(rèn)識,加快教師MPCK發(fā)展.
組建MPCK共同體.教師個體理論認(rèn)識、實踐經(jīng)驗有限,如果閉門造車,容易故步自封;相反,互相學(xué)習(xí),取長補短,更能促進教師MPCK發(fā)展.為提高實踐組織性與有效性,不妨組建MPCK共同體(譬如名師工作坊).一方面,MPCK共同體由優(yōu)秀教師或教學(xué)名師主持,他們擁有豐富的MPCK,可通過示范教學(xué)、教學(xué)指導(dǎo)、日常交流等活動,引領(lǐng)其他教師MPCK發(fā)展.第二,MPCK共同體可以定期或不定期地開展觀摩交流、培訓(xùn)學(xué)習(xí)活動,以提高教師備課、磨課、研課及賞課能力.第三,MPCK共同體成員各有所長,或精于數(shù)學(xué)理解、或長于教學(xué)與學(xué)習(xí)理論認(rèn)識、或懂于幾何畫板等,大家可通過交流學(xué)習(xí),共同發(fā)展.最后,中小學(xué)教師經(jīng)驗豐富,但理論一般不足,而高校數(shù)學(xué)教師(尤其是數(shù)學(xué)教學(xué)論教師)則相反,因此可以聘請高校教師出任MPCK共同體指導(dǎo)專家,由他們通過調(diào)查研究、學(xué)術(shù)講座、教學(xué)指導(dǎo)等活動,提升共同體成員理論素養(yǎng)水平.