金融數(shù)學(xué)的學(xué)科危機(jī)與變革

高宏 梅圣烽

摘要：金融數(shù)學(xué)是一門運(yùn)用數(shù)學(xué)模型和方法研究金融資產(chǎn)價(jià)格變化規(guī)律的學(xué)科。本文介紹了金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史和B-S期權(quán)定價(jià)公式導(dǎo)致多次重大金融危機(jī)的過(guò)程，分析了金融數(shù)學(xué)將股票價(jià)格與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系假設(shè)為隨機(jī)變量，并用描述樣本軌道集合發(fā)散程度的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)度量一條樣本軌道波動(dòng)程度的基本概念錯(cuò)誤，指出金融數(shù)學(xué)建立的資產(chǎn)價(jià)格模型不能正確描述并預(yù)測(cè)金融市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)趨勢(shì)，是導(dǎo)致金融數(shù)學(xué)產(chǎn)生學(xué)科危機(jī)的根本原因。

關(guān)鍵詞：股票價(jià)格模型 B-S期權(quán)定價(jià)公式 金融危機(jī)

一、引言

金融數(shù)學(xué)是一門運(yùn)用數(shù)學(xué)模型及方法研究金融市場(chǎng)資產(chǎn)價(jià)格變化規(guī)律，并解決資產(chǎn)定價(jià)、最優(yōu)配置及風(fēng)險(xiǎn)管理等金融市場(chǎng)問(wèn)題的一門學(xué)科。隨著人類社會(huì)從工業(yè)社會(huì)步入信息社會(huì)，以股票、債券、金融衍生品等虛擬資本交易為主的虛擬經(jīng)濟(jì)規(guī)模已大大超過(guò)實(shí)體經(jīng)濟(jì)規(guī)模，僅全球股票市場(chǎng)每年的交易總額就超過(guò)全球GDP。由于金融市場(chǎng)的高度流動(dòng)性、不穩(wěn)定性、高風(fēng)險(xiǎn)性和高投機(jī)性會(huì)導(dǎo)致金融資產(chǎn)價(jià)格大幅波動(dòng)，加大經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的風(fēng)險(xiǎn)并產(chǎn)生金融危機(jī)，給社會(huì)經(jīng)濟(jì)造成危害，因此研究金融市場(chǎng)數(shù)量關(guān)系及其運(yùn)行規(guī)律的金融數(shù)學(xué)受到了全社會(huì)的高度關(guān)注。

令人遺憾的是，金融數(shù)學(xué)中的B-S期權(quán)定價(jià)公式在金融市場(chǎng)的大規(guī)模應(yīng)用，卻成為直接導(dǎo)致 1987、1997 和 2007 年三次重大金融危機(jī)的罪魁禍?zhǔn)祝∕ackenzie，2018;Stewart，2012;Triana，2014）。被譽(yù)為“中國(guó)金融數(shù)學(xué)開(kāi)創(chuàng)者”、獲得2020年未來(lái)科學(xué)大獎(jiǎng)“數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)獎(jiǎng)”的彭實(shí)戈院士，在《中國(guó)基礎(chǔ)研究發(fā)展報(bào)告》第二章中國(guó)數(shù)學(xué)前沿進(jìn)展中明確指出：B-S期權(quán)定價(jià)理論是造成以前歷次重大金融危機(jī)的關(guān)鍵性原因（科技部基礎(chǔ)研究司，2019）。

暢銷書《黑天鵝》的作者塔勒布在2007年10月23日的《金融時(shí)報(bào)》上發(fā)表了題為“破壞市場(chǎng)的偽科學(xué)”專欄文章，對(duì)金融數(shù)學(xué)進(jìn)行了嚴(yán)厲的批判。塔勒布在文章中指出：人們從一次又一次的金融危機(jī)中得出了“金融數(shù)學(xué)的有效性與占星術(shù)一樣不靠譜”和“金融數(shù)學(xué)通過(guò)創(chuàng)造風(fēng)險(xiǎn)來(lái)危害金融系統(tǒng)”的結(jié)論。塔勒布痛斥金融數(shù)學(xué)是破壞市場(chǎng)的偽科學(xué)，金融數(shù)學(xué)理論獲得諾貝爾獎(jiǎng)不僅是對(duì)科學(xué)的侮辱，金融數(shù)學(xué)一直使金融體系面臨崩潰的風(fēng)險(xiǎn)。

金融數(shù)學(xué)在金融市場(chǎng)中的失敗應(yīng)用使人們開(kāi)始懷疑，數(shù)學(xué)模型究竟能否用來(lái)描述并預(yù)測(cè)金融市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)現(xiàn)象和趨勢(shì)，金融數(shù)學(xué)因此陷入了嚴(yán)重的學(xué)科危機(jī)。本文指出金融數(shù)學(xué)將股票價(jià)格與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系假設(shè)為隨機(jī)變量，并用描述樣本軌道集合發(fā)散程度的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)度量一條樣本軌道波動(dòng)程度，是導(dǎo)致金融數(shù)學(xué)產(chǎn)生學(xué)科危機(jī)的根本原因。

二、金融數(shù)學(xué)發(fā)展歷史

金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史最早可追溯到1900年。法國(guó)數(shù)學(xué)家巴舍利耶在其博士論文《投機(jī)理論》中，首先用概率方法對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行研究。巴舍利耶發(fā)現(xiàn)股票價(jià)格的變化是完全隨機(jī)的，因此使用布朗運(yùn)動(dòng)模型來(lái)描述股票價(jià)格波動(dòng)，這比著名物理學(xué)家愛(ài)因斯坦用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述布朗運(yùn)動(dòng)的時(shí)間早了5年。巴舍利耶的研究成果太超前，一直未能引起學(xué)術(shù)界重視，直至1955年才被美國(guó)第一位獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的薩繆爾森發(fā)現(xiàn)，因而受到眾多經(jīng)濟(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家的大力推崇。

1952年，剛從芝加哥大學(xué)畢業(yè)的馬科維茨將其博士論文濃縮為一篇題為“資產(chǎn)組合選擇——投資的有效分散化”的論文發(fā)表在《金融雜志》上。馬科維茨首次用均值和方差這兩個(gè)隨機(jī)變量數(shù)字特征來(lái)定量描述證券的收益和風(fēng)險(xiǎn)，建立了組合投資理論，并通過(guò)均值-方差分析來(lái)確定最有效的證券投資組合。馬科維茨組合投資理論的建立，標(biāo)志著數(shù)學(xué)在金融領(lǐng)域獲得了成功應(yīng)用，同時(shí)也引發(fā)了“第一次華爾街?jǐn)?shù)學(xué)革命”，使多樣化的投資策略在華爾街得到廣泛應(yīng)用。因此，馬科維茨的組合投資理論在1990年獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。

1956年，美國(guó)海軍研究實(shí)驗(yàn)室的高能物理學(xué)家?jiàn)W斯本利用業(yè)余時(shí)間開(kāi)始研究股票市場(chǎng)，發(fā)現(xiàn)巴舍利耶的算數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型存在股票價(jià)格會(huì)變?yōu)樨?fù)數(shù)的嚴(yán)重缺陷，與實(shí)際情況明顯不符。奧斯本將巴舍利耶的算數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型改進(jìn)為幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型，并在《運(yùn)籌學(xué)》雜志上發(fā)表了題為“股票市場(chǎng)上的布朗運(yùn)動(dòng)”論文。《運(yùn)籌學(xué)》并不是一本經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志，但是很多經(jīng)濟(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家都看到了這篇論文，奧斯本的研究很快就引起了廣泛的關(guān)注。

1964年，法瑪獲得了美國(guó)芝加哥大學(xué)商學(xué)院的博士學(xué)位，其博士論文為《股票市場(chǎng)價(jià)格走勢(shì)》。1965年，法瑪將其博士論文濃縮為題為“股票市場(chǎng)價(jià)格隨機(jī)游走”的論文發(fā)表在《金融分析家雜志》上，法瑪使用隨機(jī)游走模型描述股票價(jià)格變化，并提出了著名的EMH（Efficient Markets Hypothesis）有效市場(chǎng)假說(shuō)。有效市場(chǎng)假說(shuō)提出后，迅速成為金融學(xué)研究領(lǐng)域的實(shí)證研究焦點(diǎn)課題和解釋資本市場(chǎng)運(yùn)行規(guī)律的重要工具，同時(shí)也發(fā)展成為現(xiàn)代金融學(xué)，尤其是現(xiàn)代資本市場(chǎng)理論的重要基石，法瑪也因此被稱為金融領(lǐng)域的思想家，并獲得了2013年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。

1965年，薩繆爾森發(fā)現(xiàn)奧斯本幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型無(wú)法描述和解釋實(shí)際股票市場(chǎng)中的長(zhǎng)期線性趨勢(shì)，薩繆爾森沒(méi)有從幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型本身去尋找原因，而是直接添加了線性漂移項(xiàng)，建立了帶漂移的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型，金融數(shù)學(xué)理論從幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型推導(dǎo)出了與事實(shí)不符的“股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布”性質(zhì)。

上世紀(jì)70年代，隨著金融創(chuàng)新的不斷進(jìn)行，用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行金融產(chǎn)品定價(jià)成為理論研究的重點(diǎn)。 1970年，布萊克和斯科爾斯首先假設(shè)股票價(jià)格服從薩繆爾森的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型，推導(dǎo)出了著名的B-S期權(quán)定價(jià)公式，利用數(shù)學(xué)工具解決了股票、債券、貨幣、商品等金融衍生產(chǎn)品的合理定價(jià)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了金融理論的又一大突破。1973年，布萊克和斯科爾斯將基于B-S期權(quán)定價(jià)公式的期權(quán)定價(jià)理論寫成了題為“期權(quán)定價(jià)和公司債務(wù)”的研究論文發(fā)表在《政治經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志》上，這篇文章很快成為經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域最重要的幾篇論文之一。

1970年， 斯科爾斯在麻省理工學(xué)院的新同事默頓看到布萊克和斯科爾斯的研究報(bào)告時(shí)，立刻領(lǐng)會(huì)了這項(xiàng)成果的潛力。默頓是當(dāng)時(shí)唯一掌握隨機(jī)微積分的經(jīng)濟(jì)學(xué)家，他用隨機(jī)微積分方法也推導(dǎo)出了B-S期權(quán)定價(jià)公式，并對(duì)B-S期權(quán)定價(jià)公式所依賴的假設(shè)條件做了進(jìn)一步減弱，同時(shí)給幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型增加了泊松跳躍過(guò)程，擴(kuò)大了B-S期權(quán)定價(jià)公式的應(yīng)用范圍，所以，B-S期權(quán)定價(jià)公式又被稱為B-S-M期權(quán)定價(jià)公式。

HP（Hewlett-Packard）公司和TI（Texas Instruments）公司很快開(kāi)發(fā)出了內(nèi)置B-S期權(quán)定價(jià)公式來(lái)計(jì)算期權(quán)價(jià)格的手持計(jì)算器，B-S期權(quán)定價(jià)公式迅速被廣泛應(yīng)用于金融市場(chǎng)，直接導(dǎo)致了“第二次華爾街?jǐn)?shù)學(xué)革命”，使金融市場(chǎng)的創(chuàng)新工具和創(chuàng)新產(chǎn)品的數(shù)量迅速增多，金融市場(chǎng)獲得了空前規(guī)模的發(fā)展。1997年，斯科爾斯和默頓因此獲得了第二十九屆諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，布萊克不幸英年早逝，沒(méi)有與斯科爾斯和默頓一起領(lǐng)獎(jiǎng)。

三、B-S期權(quán)定價(jià)公式導(dǎo)致金融危機(jī)

作為研究金融市場(chǎng)數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的科學(xué)理論，金融數(shù)學(xué)與其它科學(xué)理論一樣，應(yīng)具有如下基本功能：

一是解釋功能。建立的數(shù)學(xué)模型應(yīng)能正確描述金融市場(chǎng)資本價(jià)格的波動(dòng)現(xiàn)象及規(guī)律，得出的結(jié)論必須與客觀事物及運(yùn)動(dòng)相一致。

二是預(yù)見(jiàn)功能。數(shù)學(xué)模型能夠預(yù)測(cè)事物的發(fā)展趨勢(shì)和變化結(jié)果。理論預(yù)見(jiàn)和經(jīng)驗(yàn)推測(cè)不一樣，它是可靠、必然的。

三是指導(dǎo)實(shí)踐功能。借助數(shù)學(xué)模型解決在不確定環(huán)境中，如何在時(shí)間和空間上優(yōu)化配置金融資源的問(wèn)題。

如果金融數(shù)學(xué)建立的價(jià)格模型與實(shí)際價(jià)格波動(dòng)現(xiàn)象和趨勢(shì)不符，若將其廣泛應(yīng)用于金融市場(chǎng)，必然會(huì)給投資者帶來(lái)巨大的風(fēng)險(xiǎn)和虧損。

1987年10月19日，華爾街遭受了有史以來(lái)最大的一次災(zāi)難：“黑色星期一”。當(dāng)日全球股市在紐約道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)帶頭暴跌下全面下瀉，紐約證券交易所損失了近25%的價(jià)值，引發(fā)全球金融市場(chǎng)恐慌，隨之而來(lái)的是1980年代末的經(jīng)濟(jì)衰退。造成這次災(zāi)難的罪魁禍?zhǔn)资牵河葿-S期權(quán)定價(jià)公式衍生出的計(jì)算機(jī)股票交易策略不能預(yù)測(cè)市場(chǎng)波動(dòng)趨勢(shì)。

1994年，被譽(yù)為能“點(diǎn)石成金”的華爾街天才人物梅里韋瑟與斯科爾斯和默頓合伙成立了長(zhǎng)期資本管理公司（簡(jiǎn)稱LTCM）。LTCM以斯科爾斯和默頓推導(dǎo)出的B-S期權(quán)定價(jià)公式為基礎(chǔ)，用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理并預(yù)測(cè)債券及衍生產(chǎn)品的價(jià)格走向，形成了一套完整的計(jì)算機(jī)自動(dòng)組合投資系統(tǒng)。在1994年3月至1997年12月的三年多中，LTCM憑借這套系統(tǒng)在市場(chǎng)上一路高歌，其資產(chǎn)迅速增長(zhǎng)到1000億美元，年回報(bào)率超過(guò)40%，與量子基金、老虎基金、歐米伽基金一起被稱為國(guó)際四大“對(duì)沖基金”。1997年，斯科爾斯和默頓一同獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，LTCM成為華爾街最耀眼的明星基金。默頓自豪地宣稱：“長(zhǎng)期資本管理公司從成立到現(xiàn)在的獨(dú)特經(jīng)歷，體現(xiàn)了金融數(shù)學(xué)與金融實(shí)踐的高效結(jié)合?！?/p>

然而天有不測(cè)風(fēng)云，1998年隨著亞洲金融危機(jī)的爆發(fā)，金融市場(chǎng)波動(dòng)趨勢(shì)剛好與斯科爾斯和默頓的數(shù)學(xué)模型相反。出人意料的是，LTCM過(guò)分相信自己的數(shù)學(xué)模型，不但未及時(shí)撤出資金，反而投入了更多的資金以期反敗為勝，就這樣越陷越深，LTCM首次出現(xiàn)了巨額虧損。短短的150天，LTCM資產(chǎn)凈值就下降了90%，走到了破產(chǎn)邊緣。LTCM直接涉及的金額超過(guò)1000億美元，間接牽連的金額竟高達(dá)1萬(wàn)億美元，幾乎將整個(gè)華爾街都拖下了水，LTCM不得不求助于美聯(lián)儲(chǔ)。美聯(lián)儲(chǔ)出面組織安排美林、摩根為首的15家國(guó)際性金融機(jī)構(gòu)注資購(gòu)買了LTCM的90%股權(quán)，共同接管了LTCM，以免LTCM徹底破產(chǎn)而引發(fā)全球金融危機(jī)。

至于兩位諾貝爾獎(jiǎng)得主——斯克爾斯和默頓，他們的故事還沒(méi)完。斯克爾斯在LTCM事件后去斯坦福大學(xué)任教，并于1999年創(chuàng)立了一家名為Platinum Grove的對(duì)沖基金，默頓不久后也加入出任顧問(wèn)，兩人決心東山再起。他們吸取了上次LTCM的教訓(xùn)，高度重視風(fēng)險(xiǎn)管理，公司很快站穩(wěn)腳跟，并在2007年達(dá)到50億美元的資產(chǎn)規(guī)模。斯克爾斯和默頓萬(wàn)萬(wàn)沒(méi)有料到，在2007年次貸危機(jī)引發(fā)的金融風(fēng)暴中，LTCM的悲劇再次發(fā)生在他們身上，他們的腳居然踏進(jìn)了同一條河流，公司再次遭遇滅頂之災(zāi)，兩人各奔東西。

LTCM和Platinum Grove危機(jī)事件由于對(duì)金融市場(chǎng)影響巨大，且涉及兩位諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主的金融數(shù)學(xué)研究成果，因而震驚了全球金融界和學(xué)術(shù)界。人們開(kāi)始懷疑金融數(shù)學(xué)究竟能否正確描述或解釋金融市場(chǎng)的波動(dòng)性，金融數(shù)學(xué)面臨嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。

數(shù)學(xué)家史都華（Stewart）在《改變世界的17個(gè)方程》書中寫道：B-S期權(quán)定價(jià)公式改變了世界，它不僅創(chuàng)造了一個(gè)金額難以估計(jì)的產(chǎn)業(yè)，而且也造成了人類歷史上最大的金融體系崩潰。

暢銷書《致命數(shù)字》作者、具有20多年投資經(jīng)歷的全球頂級(jí)金融專家特里亞納在《教鳥兒飛行：量化模型是否會(huì)摧毀金融市場(chǎng)》一書中，對(duì)金融數(shù)學(xué)理論及數(shù)學(xué)模型存在的問(wèn)題進(jìn)行了全面的解讀，嚴(yán)厲批判了華爾街盲目迷信數(shù)學(xué)模型，而不相信市場(chǎng)趨勢(shì)的投資方式。特里亞納從大量的金融市場(chǎng)案例分析中得出結(jié)論：B-S期權(quán)定價(jià)公式是造成金融危機(jī)的罪魁禍?zhǔn)?，金融?shù)學(xué)在金融領(lǐng)域的應(yīng)用是失敗的，金融工程應(yīng)該為人類歷史上最嚴(yán)重的金融危機(jī)負(fù)責(zé)。

塔勒布在《教鳥兒飛行：量化模型是否會(huì)摧毀金融市場(chǎng)》一書的序言中寫道：B-S期權(quán)定價(jià)公式是有害的，現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)理論的有效性與占星術(shù)一樣不靠譜。默頓在《連續(xù)時(shí)間金融》一書中曾經(jīng)339次提及“定理”或“公式”等詞，而平均一本相同厚度的物理學(xué)書籍也不過(guò)提及此類詞語(yǔ)25次。金融數(shù)學(xué)模型正如它已經(jīng)表現(xiàn)出來(lái)的那樣，并沒(méi)有比隨機(jī)猜測(cè)或出租車司機(jī)的直覺(jué)更出色。騙子通常是以他們的裝扮、組織或語(yǔ)言來(lái)掩飾其真實(shí)身份，現(xiàn)在又多了神奇的數(shù)學(xué)來(lái)助陣。塔勒布還在《金融時(shí)報(bào)》上發(fā)表專欄文章，斥責(zé)金融數(shù)學(xué)是“破壞市場(chǎng)的偽科學(xué)”。

四、金融數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本概念錯(cuò)誤

（一）價(jià)格數(shù)學(xué)抽象錯(cuò)誤

解決實(shí)際問(wèn)題或建立科學(xué)理論的第一步，是將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后應(yīng)用演繹推理方法得出揭示事物運(yùn)動(dòng)規(guī)律和特征的結(jié)論或解決問(wèn)題的方法。如果在數(shù)學(xué)抽象過(guò)程中出現(xiàn)基本概念錯(cuò)誤，則會(huì)得出一系列與事實(shí)不符的錯(cuò)誤結(jié)論。

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的思維反映，也是建立數(shù)學(xué)理論和其他科學(xué)理論的基石。數(shù)學(xué)概念雖然遠(yuǎn)離了直觀的經(jīng)驗(yàn)世界，但卻能更深刻地反映客觀世界的本質(zhì)。數(shù)學(xué)學(xué)科通常運(yùn)用定義的形式來(lái)明確數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵——對(duì)象 “質(zhì)”的特征，及其外延——對(duì)象 “量”的范圍。如果對(duì)數(shù)學(xué)概念所表達(dá)的內(nèi)涵和外延出現(xiàn)誤解和誤用，則建立的科學(xué)理論就像基礎(chǔ)不牢的高樓大廈一樣，遲早會(huì)發(fā)生地動(dòng)山搖般的坍塌。

隨機(jī)過(guò)程X（ω，t）是定義在Ω×T上的二元函數(shù)。對(duì)于固定的時(shí)間t，X（ω，t）是狀態(tài)ω的函數(shù)，稱為隨機(jī)變量，記為X（t）;對(duì)于固定的狀態(tài)ω，X（ω，t）是時(shí)間t的函數(shù)，稱為樣本函數(shù)或樣本軌道，記為x（t）。

一個(gè)樣本函數(shù)x（t）對(duì)應(yīng)著隨機(jī)試驗(yàn)中的一次“測(cè)量結(jié)果”，例如股票分析軟件顯示的股票價(jià)格隨時(shí)間變化過(guò)程，因此x（t）也被稱為隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)“實(shí)現(xiàn)”，

圖2為隨機(jī)過(guò)程X（ω，t）、隨機(jī)變量X（t）和樣本函數(shù)x（t）三者之間的關(guān)系示意圖。

圖2中的三條樣本函數(shù)曲線x1（t），x2（t）和x3（t）可分別看成是三個(gè)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移曲線，所有質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的位置（圖中紅點(diǎn)）就是隨機(jī)變量X（t）在t時(shí)刻的狀態(tài)。隨機(jī)過(guò)程X（ω，t）既可看成是所有樣本軌道x（t）的集合，也可看成是所有隨機(jī)變量X（t）的集合。從圖2可以看出，隨機(jī)變量X（t）用來(lái)描述大量質(zhì)點(diǎn)的空間統(tǒng)計(jì)特性，樣本函數(shù)x（t）則用來(lái)描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的時(shí)間運(yùn)動(dòng)規(guī)律，隨機(jī)變量X（t）和樣本函數(shù)x（t）是具有完全不同定義域和值域的兩個(gè)函數(shù)。

觀察股票價(jià)格s（t）隨時(shí)間t的變化過(guò)程，對(duì)于任一個(gè)時(shí)間值t，都有唯一確定的s（t）與t對(duì)應(yīng)，股票價(jià)格與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系為“一一對(duì)應(yīng)”的函數(shù)關(guān)系，因此，股票價(jià)格s （t）是時(shí)間t的函數(shù)（高宏，2019）。根據(jù)隨機(jī)過(guò)程定義，股票價(jià)格s（t）是固定ω時(shí)的隨機(jī)過(guò)程S（ω，t），只能被抽象為隨機(jī)過(guò)程S（ω，t）中的一條樣本軌道s（t），而非隨機(jī)變量S（t）。

金融數(shù)學(xué)將股票價(jià)格s（t）抽象為隨機(jī)變量S（t），無(wú)形中將研究對(duì)象從一條樣本軌道改變?yōu)闃颖拒壍赖募?，?dǎo)致金融數(shù)學(xué)的研究對(duì)象發(fā)生錯(cuò)位，因而建立的價(jià)格模型無(wú)法正確描述股票價(jià)格現(xiàn)象，并得出了“股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布”的謬誤。

（二）波動(dòng)率定義錯(cuò)誤

波動(dòng)率是B-S期權(quán)定價(jià)公式里一個(gè)非常重要的輸入變量。期權(quán)定價(jià)理論首先假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，然后將描述正態(tài)分布離散程度的標(biāo)準(zhǔn)差定義為波動(dòng)率，用正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)度量資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)程度（高宏，2020）。

從隨機(jī)過(guò)程的定義看，標(biāo)準(zhǔn)差是描述樣本軌道集合發(fā)散程度的統(tǒng)計(jì)參數(shù)，與一條樣本軌道的波動(dòng)程度沒(méi)有直接的關(guān)系。因此用隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)預(yù)測(cè)股票價(jià)格波動(dòng)程度，就如同物理學(xué)用溫度來(lái)度量一個(gè)分子的動(dòng)能一樣荒謬，必然無(wú)法正確預(yù)測(cè)金融市場(chǎng)波動(dòng)，會(huì)給金融市場(chǎng)帶來(lái)巨大的災(zāi)難。

此外，金融數(shù)學(xué)用隨機(jī)變量的方差來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)，意味著金融數(shù)學(xué)將股票價(jià)格向上的大幅波動(dòng)或投資者獲取超額收益的情況也視為風(fēng)險(xiǎn)，無(wú)怪乎暢銷書《黑天鵝》作者塔勒布說(shuō)“金融數(shù)學(xué)通過(guò)創(chuàng)造風(fēng)險(xiǎn)來(lái)危害金融系統(tǒng)”。

五、展望

現(xiàn)有的金融數(shù)學(xué)理論由于將股票價(jià)格與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系假設(shè)為隨機(jī)變量，并用描述樣本軌道集合發(fā)散程度的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)度量一條樣本軌道波動(dòng)程度，因此建立的價(jià)格模型無(wú)法正確描述并預(yù)測(cè)金融資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)趨勢(shì)，在應(yīng)用時(shí)會(huì)給金融市場(chǎng)帶來(lái)巨大的風(fēng)險(xiǎn)和災(zāi)難。未來(lái)金融數(shù)學(xué)將面臨重大范式變革，首先將股票價(jià)格與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系正確地抽象為時(shí)間函數(shù)，然后在樣本函數(shù)基礎(chǔ)上重建價(jià)格模型和金融數(shù)學(xué)理論，這為中國(guó)的金融數(shù)學(xué)學(xué)科進(jìn)入世界一流前列提供了千載難逢的歷史性發(fā)展機(jī)遇。

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作者單位：高宏，清華大學(xué);梅圣烽，英國(guó)格拉斯哥大學(xué)