基于多元表征，實現(xiàn)單元整合

吳緒益?崔道國

[摘要] 基于北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊“正比例與反比例”單元教學(xué)，在學(xué)生原生態(tài)認識的基礎(chǔ)上整合單元內(nèi)容，通過拓展認知領(lǐng)域、建構(gòu)表格表征、建構(gòu)圖像表征、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力、建構(gòu)算式表征，利用“三表、三圖、三式”等研究載體，實現(xiàn)學(xué)生對正反比例的深度認知。

[關(guān)鍵詞] 單元整合;多元表征;深度學(xué)習(xí);正反比例

著眼于學(xué)科核心素養(yǎng)，探尋小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“正比例與反比例”單元的教學(xué)價值，進行單元整合，并充分利用圖、表、符號等數(shù)學(xué)表征實現(xiàn)學(xué)生對正反比例的多元認知，達成指向深度學(xué)習(xí)的單元整合教學(xué)。

一、教材分析

本單元共三個部分，“變化的量”教學(xué)意圖：生活中存在大量相互依存的變量，用列表或畫圖刻畫兩個變量之間的關(guān)系?！罢壤苯虒W(xué)意圖：從熟知的數(shù)量關(guān)系中，探尋變與不變的規(guī)律，建構(gòu)正比例模型;利用圖像直觀刻畫正比例的兩個量樣態(tài)?！胺幢壤苯虒W(xué)意圖：從熟知的數(shù)量關(guān)系中，探尋變與不變的規(guī)律，建構(gòu)反比例模型，進一步提升比較分析、歸納概括的能力。我們在教材分析的基礎(chǔ)上，對158名學(xué)生進行前測，要求呈現(xiàn)正反比例表征形式。

反比例：采用圖像式20%，采用解析式10%，采用表格式15%;

正比例：采用圖像式68%，采用解析式為0，采用表格式29%。

由此看來，學(xué)生對于圖像表征最喜歡，而對解析式表示相對較弱，尤其是解析式表示正比例更無人涉及。而總體采用率的分布為圖像式>表格式>解析式。

二、課程呈現(xiàn)

1.拓展認知領(lǐng)域

讓學(xué)生在“變化”過程中主動探究“不變”的規(guī)律，即前期的常量學(xué)習(xí)到今天的變量研究。比如，教師出示蘋果的總價與數(shù)量關(guān)系表（如表1），引導(dǎo)學(xué)生研究從數(shù)量到數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)變。

師：仔細觀察，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：單價都是一樣的。

師：這里沒有單價呀？

生：總價除以數(shù)量等于單價，如10÷2=5。

師：同學(xué)們，這個表格中誰在變化？誰沒有變化？

生：總價和數(shù)量在變化，單價沒有變化。

師：省略號什么意思？

生：表示無窮無盡。

師：能不能利用非常簡潔的數(shù)學(xué)方式把省略號、變與不變的含義都表示出來？

生1：正比例關(guān)系。

生2：N÷X=5。

[設(shè)計意圖]在表格背景下，學(xué)生再次感受具有正比例關(guān)系的兩個量之間的本質(zhì)特征，由靜態(tài)的單價常量研究到動態(tài)視角下的變量探索。

2.建構(gòu)表格表征

函數(shù)的核心是事物變量之間有一種依存關(guān)系。教師通過兩張表格之間的對比，突出數(shù)量之間依存的重要性，從而加深學(xué)生對正反比例概念的本質(zhì)理解。

師：仔細觀察下面的表2“崔老師開車的速度與時間”，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：上一張表1是一個量隨著另一個量的增加而增加，他們的商不變;而這張表2是一個量隨著另一個量的增加而減少，但它們的乘積不變。

師：太好了。對兩個表格進行了對比，表述也很完整。那么，如何用簡潔的方式把表2的數(shù)量關(guān)系表示出來？

生：N×X=120，反比例關(guān)系。

師：用同樣的方法分析，你能從表3“吳老師身高和年齡”找到關(guān)系式嗎？

生：找不到關(guān)系。

師：為什么？

生：身高和年齡兩個數(shù)量的變化沒有規(guī)律。

師：這樣也就是說，兩者之間并不具備絕對的相互依存關(guān)系。

[設(shè)計意圖]此環(huán)節(jié)是基于學(xué)生對數(shù)量關(guān)系描述缺乏完整性而設(shè)計的。通過對數(shù)量關(guān)系的分析，讓學(xué)生從宏觀的、動態(tài)的角度感受反比例的本質(zhì)特征，從而為他們進一步建構(gòu)表格表征正反比例關(guān)系。

3.建構(gòu)圖像表征

數(shù)學(xué)學(xué)科表征數(shù)量關(guān)系的方式有列表和圖像等，在圖像中找出變量之間的對應(yīng)關(guān)系是實現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與空間形式統(tǒng)一的切入點。以“體驗”為保證展現(xiàn)表征過程，以“畫圖”為突破促進知識內(nèi)化。

師：仔細觀察下面一張圖，請點評這個圖像。

生：格子均勻，數(shù)字工整，描點光滑。

師：最關(guān)鍵的是這張圖充滿想象。憑借現(xiàn)有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，你們能講述一對數(shù)量關(guān)系嗎？

生1：媽媽買了3斤蘋果用了6元錢。

生2：速度為3千米/時，路程為6千米。

師：好！為縱軸和橫軸賦予一定的現(xiàn)實背景，但此圖像還有一點遺憾，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？

生：應(yīng)該用“數(shù)對”來確定點的位置。

師：橫軸上的8與誰對應(yīng)？縱軸上的8與誰對應(yīng)？

生：縱軸上的8與4對應(yīng);橫軸上的8與16對應(yīng)。

師：請看下面第二張圖，你們能在這個圖像里找到變與不變的量嗎？

生：數(shù)對的乘積不變，都是60。

師：這個圖像缺少一點什么？

生：缺少“量”。

師：誰能賦予縱軸和橫軸一定的數(shù)學(xué)意義？

生：縱軸代表長方形的長，橫軸代表長方形的寬，不變的是他們的面積。

師：真棒！如果橫軸是15，那么，縱軸對應(yīng)的點是多少？

生：因為12×5=60，60÷15=4，所以15對應(yīng)的數(shù)是4。

師：怎樣找到此圖像的關(guān)系式？

生：分析對應(yīng)點的數(shù)。

[設(shè)計意圖]此環(huán)節(jié)根據(jù)前測中學(xué)生不能完整呈現(xiàn)圖像中元素而設(shè)計。學(xué)生在經(jīng)歷了表格式表征以后，利用圖像表征對比實現(xiàn)對本質(zhì)屬性的直觀認識，感受到正反比例表現(xiàn)方式的多元，認識到對圖像中數(shù)量關(guān)系分析是判斷正反比例關(guān)系的基本方法。

4.培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教師關(guān)注的核心點。圖像表征基于學(xué)生立場，立足學(xué)生已有數(shù)學(xué)水平與活動經(jīng)驗，是培養(yǎng)他們數(shù)學(xué)能力的載體之一。

例題1：如下圖所示，請準確計算兩個動物18分鐘時間各跑了多少千米？

學(xué)生展示如下：從圖像上看，馬和獵狗奔跑的時間與路程成正比例。觀察發(fā)現(xiàn)，馬在第10分鐘正好對應(yīng)12千米，而獵狗在第25分鐘正好對應(yīng)24千米。所以，馬跑的路程：12÷10=1.2（千米/分），1.2×18=21.6（千米）;獵狗跑的路程：24÷25=0.96（千米/分），0.96×18=17.28（千米）。

[設(shè)計意圖]通過此題，培養(yǎng)學(xué)生觀察圖像的能力，從圖像中讀取有效數(shù)量關(guān)系的能力，對數(shù)量關(guān)系進行分析判斷的能力，根據(jù)有效數(shù)對的計算發(fā)展推理能力。同時，在數(shù)據(jù)和圖像的對比中滲透斜率思想。

5.建構(gòu)算式表征

在達到表格與圖像表征的深度認知后，進一步對正比例和反比例進行數(shù)學(xué)模型抽象，即用算式表征。下面的練習(xí)就是著眼于此要點而設(shè)計的。

例題2：有a、b、c三個相關(guān)聯(lián)的量，并有ab=c。

當(dāng)c一定時，a與b成（ ）比例關(guān)系;

當(dāng)a一定時，b與c成（ ）比例關(guān)系;

當(dāng)b一定時，a與c成（ ）比例關(guān)系。

（學(xué)生完成過程略）

師：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要埋頭于當(dāng)下，更要抬起頭來眺望遠方。正反比例并非全新的知識，本質(zhì)上是對“兩個量之積等于第三個量”進行形態(tài)變化而已。

[設(shè)計意圖]在前測中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生采用解析式表示正反比例甚少，這可能是解析式表征的抽象性對他們有較大難度。但是，在表格和圖像這兩種直觀表征得以充分認知后，學(xué)生再進行數(shù)學(xué)模型的抽象，用算式表征，就水到渠成了。

三、總結(jié)與拓展

1.統(tǒng)整單元內(nèi)容，緊扣表征素材

在學(xué)生局部認知正反比例的基礎(chǔ)上，如何提煉思想從而實現(xiàn)單元內(nèi)容整體感知呢？本課例運用“三表、三圖、三式”——“三表”從數(shù)量關(guān)系變化的角度引導(dǎo)學(xué)生感受正反比例的特點，“三圖”從數(shù)形結(jié)合的角度感受正反比例特征，“三式”則抽象出正反比例的數(shù)學(xué)模型，打通不同表征之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)認識的再提升。通過在表格中抽象出關(guān)系式、圖像中抽象出關(guān)系式等，貫穿對數(shù)量關(guān)系的整體分析。

2.立足兒童視角，逆向設(shè)計問題

根據(jù)正反比例的數(shù)學(xué)本質(zhì)，設(shè)計挑戰(zhàn)性問題，引發(fā)學(xué)生廣泛參與、深度思考。要充分利用學(xué)生前測中“原生態(tài)”作品（殘缺的正反比例圖像）作為引發(fā)思考的著力點，按照教材的邏輯順序進行教學(xué)設(shè)計。本節(jié)課立足學(xué)生的元認知，讓學(xué)生經(jīng)歷逆向思維的學(xué)習(xí)，并在此基礎(chǔ)上進行思辨，努力實現(xiàn)認知的自我修復(fù)和提升。

由此，我們可以得到單元整合課教學(xué)的基本經(jīng)驗：對于學(xué)生已經(jīng)掌握的內(nèi)容，采用前測來獲取學(xué)生的原認知，找準學(xué)生的認知順序;通過對單元的整合提煉文本的邏輯順序，實現(xiàn)有機鑲嵌，達到學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的深度理解。