基于三維掃描模型的兵馬俑足踝有限元分析

蘭德省，易偉同，祝 磊，蔣永慧，胡云崗，侯妙樂

(1. 秦始皇帝陵博物院，陜西西安 710600； 2. 北京建筑大學(xué)土木與交通工程學(xué)院，北京 100044；3. 北京建筑大學(xué)測(cè)繪與城市空間信息學(xué)院，北京 100044)

0 引 言

中國作為歷史悠久的文化大國，留下了許多寶貴的文物，具有重要的歷史研究價(jià)值[1]。其中陶質(zhì)文物具有鮮明的中華民族特征，反映了近萬年的文化演變、技術(shù)發(fā)展和社會(huì)變遷，是中華民族先民們所遺留下來的最寶貴的歷史文化遺產(chǎn)之一[2]，兵馬俑則是中國古代陶質(zhì)文物的杰出代表[3]。兵馬俑的修復(fù)與保護(hù)一直是文物保護(hù)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

對(duì)于文物的保護(hù)和修復(fù)過程，常需要多學(xué)科、多領(lǐng)域的交叉融合共同完成。其與化學(xué)、物理學(xué)、地質(zhì)學(xué)、生物學(xué)、歷史學(xué)、文物保護(hù)學(xué)、考古學(xué)、材料學(xué)、美學(xué)、力學(xué)等方面均有密切的聯(lián)系。力學(xué)作為基礎(chǔ)應(yīng)用學(xué)科，在文物保護(hù)修復(fù)中有著十分重要的地位，在文物粘接修復(fù)、加固包裝等方面均有諸多的應(yīng)用[4]。作為大型陶質(zhì)文物，兵馬俑具有質(zhì)地偏脆的特性，且體積和重量較大、形狀復(fù)雜，因而無論在展陳、運(yùn)輸還是存儲(chǔ)的過程中，都會(huì)受到各種荷載的影響。因此，通過對(duì)整俑結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)分析，可了解俑體在外荷載作用下的應(yīng)力和變形特性，確定整俑結(jié)構(gòu)受力薄弱部位，從而提出有針對(duì)性的加固和修復(fù)措施，對(duì)確保俑體結(jié)構(gòu)的安全穩(wěn)定具有重要意義。

有限元法是一種計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真力學(xué)分析方法[5]，具有化繁為簡的特性，是一種適用性強(qiáng)、應(yīng)用廣泛、結(jié)果可靠的結(jié)構(gòu)力學(xué)分析方法。在文物保護(hù)領(lǐng)域，有限元法較多用于大型古建筑結(jié)構(gòu)，如塔式結(jié)構(gòu)、古代橋梁、古代樓閣、大型石窟等，大多采用木或磚石材料建造而成，力學(xué)分析的內(nèi)容多為地震工況[6-12]。對(duì)于陶質(zhì)文物，其力學(xué)方面的研究多集中于材料力學(xué)性能方面[4，13]，對(duì)文物整體結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性研究相對(duì)很少。因而采用有限元法對(duì)兵馬俑進(jìn)行整體力學(xué)分析，對(duì)于陶質(zhì)文物保護(hù)方面具有開創(chuàng)性的意義。

對(duì)于有限元分析而言，模型精度對(duì)分析結(jié)果的準(zhǔn)確性具有重要影響。兵馬俑形狀不規(guī)則、拓?fù)潢P(guān)系復(fù)雜，因而采用傳統(tǒng)建模軟件和方法往往費(fèi)時(shí)且精確度極差。而隨著三維激光掃描、計(jì)算機(jī)可視化、圖形圖像處理、實(shí)物數(shù)字化、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)的迅速發(fā)展，文物保護(hù)與修復(fù)工作也進(jìn)入了信息化時(shí)代[14-15]。基于三維激光掃描、計(jì)算機(jī)可視化和圖形圖像處理技術(shù)的文物碎片逆向建模，則能形成精確的幾何信息，為文物整體結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析提供可靠的實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)。

然而，隨著三維激光掃描技術(shù)的快速發(fā)展，三維點(diǎn)云采集工具更加精密，從而使得點(diǎn)云數(shù)據(jù)采集密度越來越高，數(shù)據(jù)量愈加龐大。海量的數(shù)據(jù)往往存在數(shù)據(jù)冗余，因而采用原始數(shù)據(jù)處理勢(shì)必耗費(fèi)巨大的時(shí)間成本，造成計(jì)算資源的浪費(fèi)。因而，對(duì)海量點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行簡化處理顯得尤為必要[16-17]。

本研究將利用三維掃描技術(shù)獲取兵馬俑殘片的三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)，逆向建立高精度的殘片三維實(shí)體模型，并對(duì)足踝部分進(jìn)行有限元力學(xué)分析，以研究重力作用下足踝部分的應(yīng)力和變形特征，進(jìn)一步探究點(diǎn)云簡化對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，從而在保證計(jì)算精度情況下縮短建模時(shí)間。

1 材料與方法

1.1 材料、硬件設(shè)備與軟件

材料：以一套較為完整的秦俑殘片組為原型進(jìn)行逆向建模。殘片組包含46塊殘片，整俑高度約1.9 m，總重量約135 kg。其中足踝部分包含8塊殘片，總重量約35 kg。硬件設(shè)備：美國法如(FARO)公司的手持式三維激光掃描儀，該儀器可直接將點(diǎn)云掃描數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)傳輸?shù)侥嫦蚪＼浖苣?Geomagic Studio)中。軟件：點(diǎn)云逆向建模軟件杰魔(雨滴科技公司，美國)，有限元前處理CAE軟件Hypermesh(阿泰爾公司，美國)，有限元分析軟件ABAQUS(達(dá)索公司，法國)。

1.2 點(diǎn)云模型的逆向重建

點(diǎn)云模型的逆向重建原理是將點(diǎn)連成線，進(jìn)而生成面，最終形成實(shí)體。采用杰魔軟件進(jìn)行點(diǎn)云逆向重建，主要過程分為3個(gè)階段：點(diǎn)云封裝、網(wǎng)格修復(fù)和精確曲面。

選取足踝部分8塊殘片相應(yīng)的點(diǎn)云，在點(diǎn)云降噪處理后進(jìn)行封裝，封裝時(shí)最大三角形數(shù)設(shè)置為點(diǎn)個(gè)數(shù)的1.5倍。將封裝后的三角網(wǎng)格模型通過網(wǎng)格醫(yī)生功能進(jìn)行錯(cuò)誤修復(fù)，再利用填充孔功能將網(wǎng)格缺損處補(bǔ)齊。最后將修復(fù)后的三角網(wǎng)格模型通過精確曲面流程轉(zhuǎn)化為NURBS曲面，從而實(shí)現(xiàn)點(diǎn)云模型的實(shí)體化。精確曲面流程包括構(gòu)造曲面片、構(gòu)造格柵和擬合曲面。對(duì)于構(gòu)造曲面片的步驟，需要保證曲面的邊界線路徑不相交，同時(shí)盡可能減少曲面片角度過小的情況。模型各步驟的處理效果如圖1所示。

圖1 點(diǎn)云模型逆向重建過程

1.3 有限元模型的建立

1.3.1Hypermesh網(wǎng)格劃分 Hypermesh是一個(gè)功能強(qiáng)大的有限元前處理軟件，支持多種有限元計(jì)算平臺(tái)的數(shù)據(jù)格式交換，在網(wǎng)格劃分方面支持豐富的單元類型和靈活的劃分方法。通過杰魔軟件將NURBS模型導(dǎo)出IGS格式，再導(dǎo)入到Hypermesh中，可進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分。模型導(dǎo)入后的效果如圖2a所示，可以看出Hypermesh將不同殘片通過顏色進(jìn)行區(qū)別。殘片按照先左后右的順序從1～8進(jìn)行編碼，其中1～3為右腿底部，4～6為左腿底部，7為右腿，8為左腿。

選取合理的網(wǎng)格類型是保證有限元計(jì)算結(jié)果收斂的必要條件。秦俑殘片具有復(fù)雜的幾何特征和拓?fù)潢P(guān)系，采用六面體單元時(shí)易出現(xiàn)因曲面過于復(fù)雜而造成的網(wǎng)格退化情況，從而影響計(jì)算精度[5]。因此，采用四面體實(shí)體類型(C3D4)作為網(wǎng)格劃分單元。根據(jù)該陶俑足踝部分殘片尺寸和形狀，設(shè)置網(wǎng)格種子尺寸為4，最終劃分的網(wǎng)格總數(shù)為82 254。網(wǎng)格劃分后的效果如圖2b所示。

圖2 有限元建模

1.3.2網(wǎng)格導(dǎo)入與材料屬性 在Hypermesh中將劃分好網(wǎng)格的模型導(dǎo)出為INP格式，再以部件形式導(dǎo)入到ABAQUS中，并進(jìn)行裝配。裝配后的足踝模型如圖2c所示?？梢钥闯觯Ｐ鸵运拿骟w網(wǎng)格形式直接導(dǎo)入，因而無需再利用ABAQUS網(wǎng)格劃分模塊進(jìn)行操作。

將導(dǎo)入的所有殘片賦予陶體材料屬性。對(duì)于有限元模型的單位體系，長度單位采用mm，力單位采用N，質(zhì)量單位采用kg。因此對(duì)應(yīng)的密度單位為kg/mm3，應(yīng)力、強(qiáng)度單位為MPa(N/mm2)。參考現(xiàn)有對(duì)秦朝陶俑的力學(xué)性能研究[4]，陶體材料屬性參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)取值

1.3.3接觸和約束 為簡化計(jì)算，將相鄰殘片之間的接觸網(wǎng)格面設(shè)置綁定約束，如圖2d所示。除此之外，將整體模型的底部網(wǎng)格面的六個(gè)自由度全部約束，相當(dāng)于模型固定在地面上，如圖2e所示。

1.3.4荷載本研究模擬 整俑在重力作用下足踝部分的受力特性，因而將荷載分為兩部分進(jìn)行施加，如圖2f所示。對(duì)于足踝部分，直接添加全局重力，設(shè)置重力加速度為9.8m/s2。對(duì)于上部結(jié)構(gòu)，則通過施加表面外力的方式代替重力，施加面位于腿部殘片上表面。

對(duì)應(yīng)受力為上部結(jié)構(gòu)重力的一半，即500 N。因此左腿施加的表面力為：

500/9 896=0.050 5(N/mm2)

對(duì)于右腿，其荷載施加表面形狀近似于長軸為135 mm，短軸為80 mm的橢圓，因而表面積為：

π/4×140×90=9 896(mm2)

對(duì)于左腿而言，其荷載施加表面形狀近似于長軸為140 mm，短軸為90 mm的橢圓，因而表面積為：

π/4×135×80=8 482(mm2)

對(duì)應(yīng)受力同樣為500 N。因此左腿施加的表面力為：

500/8 482=0.058 9(N/mm2)

2 結(jié)果與討論

2.1 有限元分析結(jié)果

有限元分析結(jié)果中的應(yīng)力應(yīng)變圖可直觀反映秦俑殘片的應(yīng)力和變形規(guī)律。對(duì)于足踝部分而言，各殘片的Mises應(yīng)力如表2所示，整體應(yīng)力云圖如圖3a所示。可以看出，模型最大應(yīng)力位于左腿足踝處，為0.723 MPa，顯著大于其他部位，說明左腿足踝處出現(xiàn)應(yīng)力集中。對(duì)于右腿足踝處，其最大應(yīng)力相對(duì)較小，為0.353 MPa。根據(jù)現(xiàn)有研究，秦俑陶片強(qiáng)度在3.6～18.5 MPa之間[4]，因此足踝部分的各處應(yīng)力遠(yuǎn)小于材料強(qiáng)度，結(jié)構(gòu)在重力作用下處于安全狀態(tài)。

表2 殘片Mises應(yīng)力

圖3 整體應(yīng)力和變形結(jié)果

對(duì)于結(jié)構(gòu)變形，整體形狀如圖3b所示(為清楚顯示變形狀態(tài)，將變形放大1 000倍進(jìn)行展示)?？梢钥闯鲎畲笞冃瓮瑯映霈F(xiàn)在左腿，其對(duì)應(yīng)的絕對(duì)值為0.080 mm。相比于右腿以豎向?yàn)橹鞯淖冃翁攸c(diǎn)，左腿變形還出現(xiàn)明顯的側(cè)向變形。

2.2 點(diǎn)云簡化參數(shù)優(yōu)化分析

2.2.1點(diǎn)云簡化方法 杰魔提供了統(tǒng)一采樣、格柵采樣和曲率采樣三種點(diǎn)云簡化的處理方法，本研究采用統(tǒng)一采樣的方式。通過調(diào)整統(tǒng)一采樣的絕對(duì)間距，可以控制點(diǎn)云去除的數(shù)量。間距越大，點(diǎn)云去除數(shù)越多，保留的點(diǎn)數(shù)相應(yīng)越少。待點(diǎn)云完成簡化后，進(jìn)行封裝過程，設(shè)定封裝的三角形數(shù)為簡化后點(diǎn)數(shù)的1.5倍。封裝完成后，運(yùn)行網(wǎng)格醫(yī)生和填充孔功能，保證封裝無幾何錯(cuò)誤。以8號(hào)殘片(左腿腿部)為例，該殘片的原始點(diǎn)數(shù)目為27 893，對(duì)其進(jìn)行從10%到80%的簡化，則剩余點(diǎn)數(shù)和封裝三角形數(shù)如表3所示。

表3 8號(hào)殘片簡化對(duì)照表

2.2.2偏差分析 偏差分析可用于評(píng)估模型的準(zhǔn)確性。在杰魔中，通常運(yùn)用到以下4個(gè)指標(biāo)進(jìn)行偏差分析的評(píng)估：

1) 最大距離。即從分析體到參考體任意一點(diǎn)的最大偏差距離，分為正負(fù)兩個(gè)方向[16]。

2) 平均距離。即從分析體到參考體上任意一點(diǎn)的平均偏差距離[16]。

3) 標(biāo)準(zhǔn)偏差S，表示偏差的離散程度[16]，可以反映數(shù)據(jù)的可靠性。即：

4)RMS，表示均方根，同樣能夠反映數(shù)據(jù)的可靠性：

式中，di為一組分析值與參考值的偏差[16]。

總之，小學(xué)語文教學(xué)中“兒童視野”的運(yùn)用，不僅僅“師生關(guān)系”的調(diào)節(jié)劑，更是學(xué)生學(xué)習(xí)、教師進(jìn)步的奠基石。用兒童視野看世界，能夠收獲不同的感受、能夠看到不同的風(fēng)景。每個(gè)孩子的想法不同，更需要教師耐心傾聽，會(huì)對(duì)自己的教學(xué)，乃至日后的工作有非常大的幫助。

對(duì)于點(diǎn)云簡化情況，相當(dāng)于簡化前后點(diǎn)個(gè)數(shù)不同。因此相比于最大距離和平均距離，采用標(biāo)準(zhǔn)偏差和RMS指標(biāo)更能反映點(diǎn)數(shù)變化情況下模型的可靠性。本研究選取標(biāo)準(zhǔn)偏差指標(biāo)作為偏差分析的評(píng)估參考。

對(duì)全部殘片從10%～80%的比例進(jìn)行簡化，并統(tǒng)計(jì)每次簡化后簡化模型和參考模型之間的標(biāo)準(zhǔn)偏差值，該值可在軟件中直接查看。各殘片的標(biāo)準(zhǔn)偏差值與簡化比例之間的關(guān)系如圖4所示。

圖4 不同點(diǎn)云簡化比例下的標(biāo)準(zhǔn)偏差值

由圖4可以看出，一般情況下，點(diǎn)云簡化后的標(biāo)準(zhǔn)偏差隨著簡化比例的增加而增大。對(duì)于大部分殘片，其曲線斜率在70%時(shí)發(fā)生顯著變化，說明此時(shí)隨著點(diǎn)數(shù)的進(jìn)一步縮減，模型誤差也在迅速增大。因而對(duì)于所有殘片，其簡化比例都應(yīng)該控制在70%以內(nèi)。對(duì)于殘片8，簡化比例在40%與50%的時(shí)候標(biāo)準(zhǔn)偏差接近，而在60%情況下偏差顯著增大，因而該殘片最優(yōu)簡化比例為50%；對(duì)于殘片2，簡化比例為60%的時(shí)候相比于50%的情況反而出現(xiàn)下降，因此該殘片的最優(yōu)簡化比例為60%；對(duì)于其他殘片，其最優(yōu)簡化比例在60%或70%，此時(shí)點(diǎn)云簡化對(duì)偏差的增加影響較小。所有殘片的最優(yōu)簡化比例如表4所示。其中，殘片6由于在采用70%或60%的簡化比例時(shí)后期出現(xiàn)曲面片錯(cuò)誤，因而經(jīng)調(diào)整后，其最優(yōu)簡化比例為40%。

表4 各殘片最優(yōu)簡化比例

對(duì)于各殘片，在根據(jù)最優(yōu)比例進(jìn)行點(diǎn)云簡化后，可以通過偏差分析云圖觀察簡化后的效果。以8號(hào)殘片為例，該殘片最優(yōu)簡化比例為50%，簡化后偏差分析云圖如圖5所示。從圖中的數(shù)值信息可以看出，除標(biāo)準(zhǔn)偏差值與圖4對(duì)應(yīng)為0.161 3 mm以外，其最大偏差為±(1.256 4～1.071 5)mm，平均偏差為±(0.096 6～0.107 4)mm，RMS值為0.161 8mm，誤差精度符合要求。從偏差云圖形狀可以看出，簡化后的殘片大部分顏色較為一致，且該顏色位于色譜中部，說明模型封裝效果較好。對(duì)于其他殘片，其數(shù)值信息和云圖均滿足精度要求。

圖5 8號(hào)殘片偏差分析云圖

2.2.3點(diǎn)云簡化前后模型處理時(shí)間比較 將原始點(diǎn)云殘片和簡化后的點(diǎn)云殘片分別進(jìn)行精確曲面過程，采用軟件提供的自動(dòng)曲面化功能，比較點(diǎn)云簡化前后的處理時(shí)間。結(jié)果如表5所示，時(shí)間單位為s?？梢钥闯?，模型整體處理時(shí)間減少了51%。對(duì)于單一殘片，除1號(hào)殘片時(shí)間減少不明顯外，其余殘片的處理時(shí)間均縮減在35%以上。因此，點(diǎn)云簡化對(duì)模型處理時(shí)間的縮短具有顯著的意義。

表5 點(diǎn)云簡化縮減時(shí)間

2.2.4點(diǎn)云簡化前后 有限元結(jié)果比較對(duì)于簡化后的NURBS模型，在導(dǎo)入到Hypermesh進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí)，同樣設(shè)置網(wǎng)格種子尺寸為4，得到的四面體網(wǎng)格數(shù)為81 146。將簡化前后各殘片的模型體積進(jìn)行比較，如表6所示。可以看出，模型簡化后總體積相比于原始模型減少了0.37%，說明簡化過程對(duì)模型的自身質(zhì)量影響很小。

表6 點(diǎn)云簡化前后模型體積比較

簡化后模型的整體應(yīng)力和變形如圖6所示。與圖3相比，應(yīng)力方面，模型簡化前后應(yīng)力云圖形狀接近，且簡化后的最大Mises應(yīng)力同樣位于左腿足踝處，為0.826 MPa，相比于原始結(jié)果誤差為14%。變形方面，兩者同樣形狀接近。可以看出，模型簡化過程對(duì)計(jì)算結(jié)果影響較小，簡化模型仍可較準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)受力特征和規(guī)律。

圖6 簡化模型計(jì)算結(jié)果

3 結(jié) 論

本研究通過三維激光掃描對(duì)兵馬俑殘片進(jìn)行了逆向建模，利用杰魔軟件將點(diǎn)云模型實(shí)體化，再用Hypermesh將模型劃分為四面體網(wǎng)格，從而在ABAQUS中進(jìn)行有限元分析。進(jìn)一步探究了點(diǎn)云簡化對(duì)有限元分析結(jié)果的影響。得到的主要結(jié)論如下：

1) 原始未簡化模型中，最大應(yīng)力位于左腿足踝處，該最大應(yīng)力遠(yuǎn)小于材料自身強(qiáng)度，說明結(jié)構(gòu)在重力作用下處于安全穩(wěn)定的狀態(tài)。相比于左腿，右腿足踝處的最大應(yīng)力較小，且右腿變形特征主要為豎向變形。而左腿的變形除豎向變形外還存在側(cè)向變形。說明該俑的左腿為相對(duì)受力薄弱部位。

2) 對(duì)于本研究模型，根據(jù)偏差分析的結(jié)果，大部分殘片最佳點(diǎn)云簡化比例為60%～70%(即簡化后保留30%～40%的點(diǎn)個(gè)數(shù))。簡化后模型實(shí)體化處理時(shí)間縮短了約50%，且模型的最大偏差處于精度要求范圍內(nèi)，簡化后模型的總體積變化小于0.5%。說明該模型簡化可在保證模型精度的前提下，有效縮短實(shí)體化處理的時(shí)間。

3) 采用點(diǎn)云簡化模型進(jìn)行有限元分析的結(jié)果，與采用原始點(diǎn)云模型相比，最大Mises應(yīng)力誤差小于15%，且應(yīng)力云圖和變形圖形狀基本一致。可以說明簡化模型仍能較準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)受力特征和規(guī)律。適當(dāng)進(jìn)行點(diǎn)云簡化，可以有效節(jié)省建模時(shí)間，同時(shí)得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果。