軟體機(jī)器人用多孔聚合物水凝膠的摩擦接觸非線性行為*

陳康 沈煜年

(南京理工大學(xué)理學(xué)院力學(xué)與科學(xué)工程系, 南京 210094)

1 引 言

作為一種具有網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的高分子聚合物材料[1], 軟體機(jī)器人用水凝膠在工程領(lǐng)域中存在著大量應(yīng)用[2,3].軟體機(jī)器人設(shè)計(jì)中的一些智能結(jié)構(gòu)常需要利用水凝膠的摩擦接觸[4]來實(shí)現(xiàn)一定的功能.例如: 水凝膠手指結(jié)構(gòu)抓取小球[5]、軟體機(jī)器人行走[6]、水凝膠仿生臂關(guān)節(jié)的接觸[7]等.然而, 軟體機(jī)器人用水凝膠材料質(zhì)地柔軟[8,9], 富含水分[10], 發(fā)生接觸行為時(shí), 接觸區(qū)的變形較大.同時(shí)外部形態(tài)的變化會(huì)影響內(nèi)部水溶液的狀態(tài), 使水凝膠的力學(xué)性能發(fā)生顯著改變, 進(jìn)而反作用于接觸狀態(tài), 導(dǎo)致摩擦接觸行為異常復(fù)雜[11,12].接觸響應(yīng)不僅會(huì)影響軟體機(jī)器人的操作精度, 而且直接關(guān)系到執(zhí)行任務(wù)的成敗, 甚至?xí)?dǎo)致軟體結(jié)構(gòu)的失效[13,14].

軟體機(jī)器人用水凝膠材料發(fā)生接觸行為時(shí), 接觸區(qū)域通常會(huì)發(fā)生局部大變形, 導(dǎo)致基于線彈性和小變形的經(jīng)典Hertz接觸理論的計(jì)算結(jié)果可能會(huì)產(chǎn)生較大誤差.Frey等[15]使用顯微壓痕方法測(cè)量水凝膠楊氏模量, 用顯微鏡測(cè)量微球體正向壓入水凝膠的壓痕深度, 并通過經(jīng)典Hertz接觸理論推導(dǎo)楊氏模量.若將變形量控制在小變形范圍內(nèi), 忽略表面摩擦, 一定程度上可避免經(jīng)典Hertz接觸理論的局限性.對(duì)于水凝膠接觸大變形問題, Long等[16]利用ABAQUS有限元軟件結(jié)合neo-Hookean模型, 數(shù)值模擬了水凝膠正向壓痕實(shí)驗(yàn), 并對(duì)經(jīng)典Hertz接觸理論進(jìn)行了修正, 得到了適用于特定條件下的簡(jiǎn)單經(jīng)驗(yàn)公式.但對(duì)于復(fù)雜情況下水凝膠的含摩擦斜向接觸問題未加討論.Yang和Shen[17]對(duì)普通柔性手指敲擊過程中的摩擦斜向接觸問題提出了新的計(jì)算模型, 初步驗(yàn)證了其可行性.然而,水凝膠軟體機(jī)器人含摩擦斜向接觸時(shí), 摩擦對(duì)水凝膠內(nèi)部應(yīng)力分布和接觸面摩擦狀態(tài)的影響目前仍然缺乏深入的研究.

本文研究軟體機(jī)器人水凝膠驅(qū)動(dòng)器抓取硬質(zhì)目標(biāo)體過程中的接觸問題, 利用水凝膠超彈性體模型[18,19], 將接觸過程抽象為水凝膠的含摩擦斜向接觸力學(xué)問題, 并進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算.討論了水凝膠軟材料的局部大變形接觸行為與小變形線彈性體的Hertz接觸行為的不同點(diǎn), 分析了Hertz接觸理論應(yīng)用于大變形接觸行為的局限性.此外, 比較了水凝膠正向接觸與斜向接觸時(shí)的復(fù)雜響應(yīng), 研究了摩擦系數(shù)對(duì)水凝膠內(nèi)部應(yīng)力分布和接觸面摩擦狀態(tài)的影響.

2 水凝膠斜向接觸分析模型

如圖1(a)所示, 外部激勵(lì)作用下水凝膠軟體機(jī)器人手對(duì)目標(biāo)體的抓取或軟臂對(duì)目標(biāo)體敲擊, 是一個(gè)典型的硬質(zhì)物體與軟材料的含摩擦接觸-碰撞問題.本文旨在探索水凝膠驅(qū)動(dòng)器與目標(biāo)體接觸過程中局部接觸區(qū)的摩擦接觸行為的特征和機(jī)理.一方面, 實(shí)際目標(biāo)體(鋼球、石塊等)的彈性模量通常比水凝膠大許多, 在接觸過程中變形很小, 可忽略其變形效應(yīng); 另一方面, 本文關(guān)注的重點(diǎn)是接觸過程中水凝膠的變化情況, 其變形效應(yīng)明顯.因此,本文將目標(biāo)體和水凝膠的接觸過程抽象為剛性壓頭與水凝膠的斜向接觸模型.

2.1 力學(xué)模型

如圖1(b)所示, 本文針對(duì)局部接觸行為, 將水凝膠手指驅(qū)動(dòng)器與硬質(zhì)目標(biāo)體的局部接觸簡(jiǎn)化為球形壓頭斜向接觸半無限大水凝膠的問題.圖1(b)中, 圓柱形水凝膠的厚度為h, 水凝膠寬度為40h,球形壓頭的半徑為R, 應(yīng)足夠大以滿足半無限大空間的要求.壓頭受一個(gè)大小為δ斜向位移載荷的作用, 斜向位移與豎直方向的夾角為φ.模型中球形壓頭為剛體, 水凝膠材料變形前的初始彈性模量為E0.當(dāng)φ= 0°, 斜向接觸則轉(zhuǎn)變?yōu)榻?jīng)典Hertz理論中的正向接觸.

由于水凝膠軟結(jié)構(gòu)容易出現(xiàn)強(qiáng)非線性, 其摩擦接觸行為難以采用解析方法進(jìn)行分析, 因此本文采用數(shù)值離散方法對(duì)水凝膠的斜向摩擦接觸過程進(jìn)行計(jì)算.圖1(c)為水凝膠斜向接觸的離散模型,模型的壓頭部分視為剛體, 水凝膠部分進(jìn)行網(wǎng)格劃分.局部接觸區(qū)適當(dāng)加密, 以提高接觸力的計(jì)算精度.水凝膠底面節(jié)點(diǎn)的位移約束為零, 其他邊界自由.

圖1 水凝膠軟體機(jī)器人的接觸 (a) 示意圖; (b) 力學(xué)模型; (c) 離散模型Fig.1.Hydrogel soft robot’s contact: (a) Schematic diagram; (b) mechanics model; (c) discrete model.

2.2 水凝膠材料模型

水凝膠是典型的軟物質(zhì), 其力學(xué)模型的研究十分復(fù)雜.本文軟體機(jī)器人用水凝膠材料, 采用超彈性體本構(gòu)模型[18,19].該模型假設(shè): 1)變形過程中分子體積不可壓縮; 2)變形過程中分子數(shù)目不發(fā)生變化.將水凝膠整體視為均勻的超彈性體, 運(yùn)用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和分子擴(kuò)散理論描述水凝膠吸水溶脹和變形過程.

1)超彈性體狀態(tài)方程

圖2為水凝膠在外部溶液或外載荷P的作用下結(jié)構(gòu)的變形示意圖.溶液和水凝膠之間有時(shí)存在水分子等物質(zhì)交換, 會(huì)發(fā)生溶脹現(xiàn)象.假設(shè)在初始狀態(tài)(即t= 0瞬時(shí)), 水凝膠的參考構(gòu)形為水凝膠干網(wǎng)絡(luò)占據(jù)的空間區(qū)域.任意一個(gè)質(zhì)點(diǎn)M0的位置矢量和坐標(biāo)分別記為R和RK(K= 1, 2, 3, 分別代表x,y和z軸).在后續(xù)任意瞬時(shí)t, 水凝膠占據(jù)的空間區(qū)域?yàn)榧磿r(shí)構(gòu)形, 原來的質(zhì)點(diǎn)從位置點(diǎn)M0移動(dòng)至位置點(diǎn)M, 點(diǎn)M的位置矢量和坐標(biāo)分別用r和ri(R,t) (i= 1, 2, 3, 分別代表x,y和z軸)表示.根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論, 水凝膠變形梯度的各個(gè)分量GiK可表示為

圖2 水凝膠變形示意圖Fig.2.Schematic diagram of hydrogel deformation.

水凝膠變形過程中的能量變化用亥姆霍茲自由能(Helmholz free energy)E(G,C)描述, 該能量為變形梯度G和溶劑濃度C的函數(shù).由熱力學(xué)原理, 自由能的變化量應(yīng)等于外部機(jī)械載荷和溶劑所做的功之和, 即:

其中,μ為外部溶液的化學(xué)勢(shì),Bi(R,t)dV為水凝膠微元的體積力,Ti(R,t)dA為水凝膠微元的表面力, dV和dA分別表示微元體積和面積.

當(dāng)微元的變形梯度有一個(gè)微小變量 δGiK, 溶劑濃度有一個(gè)微小變量 δC時(shí), 微元自由能的變化量可以表示為運(yùn)用虛功原理, 即外力在虛位移上所做的虛功等于內(nèi)部勢(shì)能的變化量, 水凝膠微元的平衡方程可以表示為

其中,U表示微元的內(nèi)部虛勢(shì)能,Wext表示外部虛功.內(nèi)部虛勢(shì)能可進(jìn)一步表示為

其中,siK為名義應(yīng)力.由于外力可以分為體積力和表面力, 外部虛功可進(jìn)一步表示為

其中 δri為虛位移.將(5)式和(6)式代入(4)式得

將(3)式和(7)式代入(2)式得

對(duì)于任意的 δGiK和 δC, (8)式均成立, 故

水凝膠的自由能主要來自于聚合物網(wǎng)絡(luò)的伸縮以及溶劑分子與聚合物分子的混合兩大部分.基于Flory-Rehner自由能函數(shù)[20], 水凝膠的自由能函數(shù)可表示為

其中,Es(G)為聚合物網(wǎng)絡(luò)變形產(chǎn)生的伸縮自由能,Em(C)為溶液混入聚合物網(wǎng)絡(luò)的混合自由能.兩者分別寫為如下形式:

其中,N為聚合物分子鏈數(shù),k為玻爾茲曼常數(shù),T為開爾文溫度,λi(i=1,2,3) 為各向溶脹比,v為溶劑分子體積,χ為混合焓的無量綱量.

假設(shè)聚合物大分子和溶劑小分子均不可壓縮,水凝膠體積等于聚合物分子與水分子的體積之和:

利用拉格朗日乘子法將(13)式作為約束引入自由能函數(shù), 得到

其中,HiK表示變形梯度逆的轉(zhuǎn)置,

為拉格朗日乘子.(12)式和(13)式分別代入(14)式和(15)式,得到水凝膠的狀態(tài)方程, 即3個(gè)名義主應(yīng)力s1,s2和s3以及化學(xué)勢(shì)μ:

2)自由能函數(shù)的更新

當(dāng)數(shù)值計(jì)算應(yīng)用上述模型時(shí), 為使用方便, 需要將應(yīng)變能函數(shù)中的自變量C替換為μ; 同時(shí)為了消除自由能函數(shù)中的數(shù)值奇異性, 需要將參考構(gòu)形(水凝膠干網(wǎng)絡(luò))替換為具有一定溶脹的水凝膠.

對(duì)Flory-Rehner自由能函數(shù)E(G,C)運(yùn)用勒讓德變換(Legendre transformation), 可以得到水凝膠自由能函數(shù)的新形式:

寫為積分形式:

將(19)式代入(2)式, (9)式和(10)式中, 可得

(11)—(13)式代入(18)式中, 可得

其中,I=GiKGiK為變形梯度張量的第一不變量,J=det(G)為變形梯度張量的第三不變量.

將(22)式代入(20)式, 有

根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論, 真實(shí)應(yīng)力可以表示為σij=siKGjK/det(G).將其代入(23)式, 可得

當(dāng)J= 1時(shí), 自由能函數(shù)(22)式存在數(shù)值奇異性,在數(shù)值計(jì)算時(shí), 參考構(gòu)形需要滿足J＞ 1.選取水凝膠處于各向溶脹比為λ1=λ2=λ3=λ0的自由溶脹狀態(tài)作為新的參考構(gòu)形, 水凝膠與化學(xué)勢(shì)為μ0的外部水溶液浸潤(rùn)并處于平衡態(tài).將λ0和μ0代入(23)式, 并令應(yīng)力為零, 可得

(25)式為新參考構(gòu)形下水凝膠的溶脹狀態(tài)平衡關(guān)系.相對(duì)于水凝膠干網(wǎng)絡(luò)狀態(tài), 此溶脹狀態(tài)下水凝膠的變形梯度為

當(dāng)以干網(wǎng)絡(luò)為參考構(gòu)形時(shí)水凝膠變形梯度G可進(jìn)一步表示為

其中,G′為以溶脹狀態(tài)為參考構(gòu)形時(shí)水凝膠的變形梯度.新參考構(gòu)形下, 水凝膠的自由能函數(shù)為

具體表達(dá)式為

其中,,J′=det(G′).(29)式顯示了以溶脹狀態(tài)為參考構(gòu)形的水凝膠的超彈性體特性.

2.3 有限元程序中材料模型的具體實(shí)現(xiàn)

根據(jù)自由能函數(shù)((29)式), 本文利用ABAQUS用戶自定義超彈性體的子程序UHYPER, 實(shí)現(xiàn)水凝膠有限元程序中的材料定義.圖3(a)為本文編寫的ABAQUS的用戶子程序UHYPER的核心部分.子程序主體以FORTRAN語言編寫, 其中的參數(shù)Nv,χ和λ0通過有限元主程序中設(shè)置的材料參數(shù)傳遞給子程序, 子程序中超彈性體模型的應(yīng)變能密度U及其對(duì)變形梯度的第一、第三不變量的偏導(dǎo)數(shù)等均由水凝膠自由能函數(shù)得到.

圖3(b)為壓頭與水凝膠斜向接觸事件的ABAQUS數(shù)值計(jì)算流程圖.首先, 通過前處理完成幾何模型的建立、材料的設(shè)置、約束和外載荷的施加以及網(wǎng)格劃分.其中, 材料的設(shè)置包括選擇用戶自定義超彈性體模型并導(dǎo)入自編的水凝膠材料子程序UHYPER, 并在前處理中輸入Nv,χ和λ0的具體數(shù)值.然后, 選擇合適的接觸算法處理壓頭和水凝膠之間的接觸約束.同時(shí), 開啟幾何非線性分析選項(xiàng)以滿足水凝膠大變形計(jì)算的要求.此外, 在計(jì)算前, 主程序檢查用戶子程序接口是否打開, 并檢驗(yàn)子程序語法的正確性.最后完成含接觸約束條件的靜力平衡方程的迭代運(yùn)算.

3 經(jīng)典Hertz接觸理論的適用性分析

Hertz接觸理論是解決彈性體小變形接觸問題的經(jīng)典理論方法, 然而運(yùn)用經(jīng)典Hertz理論求解水凝膠接觸大變形問題值得懷疑, 本節(jié)擬通過數(shù)值計(jì)算, 定量分析水凝膠接觸問題中經(jīng)典Hertz接觸理論的適用性.

3.1 數(shù)值解與經(jīng)典Hertz接觸理論解的比較

剛性球狀壓頭正向接觸水凝膠的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中,水凝膠層的橫向半徑為200 mm, 遠(yuǎn)大于水凝膠層的厚度h= 10 mm和壓頭半徑R= 3 mm, 水凝膠層可以近似被認(rèn)為是無限寬.壓頭上施加δ=1 mm的正向位移(φ= 0°), 接觸面無摩擦.因載荷、幾何形狀以及水凝膠層的接觸變形關(guān)于y軸中心對(duì)稱, 因此采用軸對(duì)稱的二維幾何模型來減少計(jì)算量.本文采用的水凝膠屬于一類軟體機(jī)器人常用的硬質(zhì)強(qiáng)韌型水凝膠(stiff tough hydrogel)[5,19],不特指某一種化學(xué)材料制備的水凝膠.水凝膠處于室溫, 玻爾茲曼常數(shù)與溫度的乘積kT=4×10-21J ,分子體積v=10-28m3, 混合焓的無量綱量χ=0—1.2.為使計(jì)算方便, 將等式(5)兩邊同除以kT/v=4×107Pa 進(jìn)行無量綱化處理.沒有吸收水分子的干水凝膠在小變形條件下的彈性模量為NkT, 一般為104—107N/m2.水凝膠的初始溶脹比選擇為1.5, 屬于典型的硬質(zhì)強(qiáng)韌型水凝膠(其溶脹比一般在1.2附近).如無特殊說明, 本文數(shù)值算例中水凝膠材料的參數(shù)取Nv=0.001 ,χ= 0.2,λ0=1.5.此類水凝膠屬于具有較高彈性模量, 其初始彈性模量E0約為80 kPa[5].

圖3(a)為剛性球狀壓頭與半無限大空間接觸的局部變形示意圖.經(jīng)典Hertz接觸理論中, 假設(shè)接觸導(dǎo)致的變形很小, 接觸體只產(chǎn)生線彈性應(yīng)變.因此, 壓頭與半無限大空間的實(shí)際接觸半徑與圖4(a)中的Hertz接觸半徑幾乎相等, 因此, 經(jīng)典Hertz接觸理論忽略了實(shí)際接觸半徑與Hertz接觸半徑之間的誤差.同時(shí), 經(jīng)典Hertz接觸理論也忽略了彈性模量會(huì)隨著壓入過程而變化, 將接觸力Fc表示為常彈性模量E和壓痕深度δ的函數(shù):

圖3 有限元方法 (a) ABAQUS用戶子程序UHYPER; (b) ABAQUS數(shù)值計(jì)算流程Fig.3.Finite element method: (a) ABAQUS user subroutine UHYPER; (b) ABAQUS numerical computation process.

圖4 剛性球狀壓頭-半無限大空間 (a) 接觸局部變形示意圖; (b) 數(shù)值解與經(jīng)典Hertz理論解的比較Fig.4.Rigid spherical indenter-semi-infinite space: (a) Schematic diagram of local contact deformation; (b) comparison between numerical solution and classical Hertz theoretical solution.

圖4 (b)給出了無量綱量接觸力Fc/(ER2)與無量綱壓下量δ/R的關(guān)系, 對(duì)比了數(shù)值解與經(jīng)典Hertz理論解.數(shù)值解的收斂性已經(jīng)經(jīng)過驗(yàn)證, 結(jié)果表明, 隨著壓下量的增大, 經(jīng)典Hertz理論的解與數(shù)值解的誤差越來越大, 當(dāng)δ/R=0.3 時(shí), 二者誤差近似達(dá)到了100%, 這證明了經(jīng)典Hertz理論對(duì)水凝膠大壓下量接觸問題不再適用.

3.2 經(jīng)典Hertz接觸理論的失效原因

實(shí)際水凝膠具有固液兩相性, 接觸過程中, 水凝膠內(nèi)部液體流動(dòng), 會(huì)導(dǎo)致其材料參數(shù)、彈性模量和密度等發(fā)生變化, 力學(xué)性能表現(xiàn)出明顯的材料非線性.同時(shí), 局部接觸區(qū)的大變形特征, 需要開啟幾何非線性數(shù)值計(jì)算才能得到正確的結(jié)果.經(jīng)典Hertz接觸理論失效的具體原因主要有以下兩方面.

1)材料非線性

圖5給出了原長(zhǎng)和橫截面分別為L(zhǎng)0和A0的水凝膠桿兩端受相同大小的力的作用下, 發(fā)生縱向拉壓時(shí)橫截面無量綱正應(yīng)力σ/E0與拉伸比L/L0之間的關(guān)系, 其中E0為水凝膠的初始彈性模量, 正應(yīng)力σ為本文方法的數(shù)值計(jì)算結(jié)果.桿變形后的長(zhǎng)度為L(zhǎng), 截面面積為A.圖5中虛線為彈性模量為E0的線彈性材料桿的σ/E0與L/L0之間的關(guān)系.對(duì)比水凝膠桿與線彈性材料桿的數(shù)值解可以發(fā)現(xiàn),L/L0在1附近(即變形量較小)時(shí), 二者幾乎重合.隨著L/L0遠(yuǎn)離1(即變形量增大), 二者差距迅速變大, 這說明在大變形條件下, 線彈性本構(gòu)不再適用于水凝膠材料.

圖5 水凝膠材料的非線性Fig.5.Nonlinearity of hydrogel material.

2)幾何非線性

水凝膠屬于軟物質(zhì), 接觸易產(chǎn)生大變形, 導(dǎo)致實(shí)際接觸半徑與Hertz接觸半徑差異較大.然而,經(jīng)典Hertz接觸理論在推導(dǎo)公式時(shí)是基于小變形假設(shè)并采用的彈性力學(xué)基本原理, 顯然, 水凝膠接觸問題與經(jīng)典Hertz理論的前提假設(shè)不符.一般情況下, 在有限元數(shù)值計(jì)算中, 小變形假定帶來節(jié)點(diǎn)的位移變化不會(huì)改變平衡方程中的剛度矩陣.若考慮幾何大變形, 需要在每一個(gè)增量步修改幾何剛度矩陣并進(jìn)行迭代求解.

4 水凝膠的斜向接觸機(jī)理分析

4.1 離散模型(φ = 45°)

水凝膠的斜向接觸不再呈現(xiàn)中心對(duì)稱, 需采用三維模型.這里, 取和φ= 45°, 以保證壓頭的豎直方向的壓下量和第3節(jié)正向接觸時(shí)的豎直方向壓下量相同.為盡可能滿足減小計(jì)算量的要求, 根據(jù)結(jié)構(gòu)和載荷的面對(duì)稱性, 本文取整體模型的一半進(jìn)行計(jì)算(見圖6).

圖6 三維有限元離散模型Fig.6.Three-dimensional finite element discrete model.

水凝膠三維模型的局部接觸問題的數(shù)值模擬對(duì)接觸區(qū)的網(wǎng)格質(zhì)量有很高的要求, 網(wǎng)格質(zhì)量差很容易造成計(jì)算精度差、結(jié)果不收斂.為了減小計(jì)算量, 在模型的非接觸區(qū)采用放射狀的網(wǎng)格劃分, 遠(yuǎn)離接觸區(qū)的部分網(wǎng)格密度很大, 而接近接觸區(qū)的網(wǎng)格密度逐漸減小.為保證計(jì)算精度, 在模型接觸區(qū)對(duì)局部網(wǎng)格進(jìn)行加密和均勻化的處理(見圖6).

4.2 局部接觸區(qū)應(yīng)力分布

圖7給出了兩種接觸情況下, 摩擦系數(shù)分別為μ= 0和μ= 0.3時(shí)水凝膠的Von-Mises應(yīng)力分布情況.

從圖7可以看出:

圖7 摩擦力導(dǎo)致的應(yīng)力變化現(xiàn)象 (a) 正向接觸; (b) 斜向接觸Fig.7.Stress changes caused by friction: (a) Collinear contact; (b) oblique contact.

1)正向接觸時(shí), 高應(yīng)力區(qū)域出現(xiàn)在接觸面正下方, 摩擦力對(duì)水凝膠內(nèi)部應(yīng)力的分布情況影響并不明顯.

2)斜向接觸時(shí), 表面摩擦力使水凝膠的內(nèi)部應(yīng)力重新分布.無摩擦情況下, 水凝膠內(nèi)部的高應(yīng)力區(qū)始終處于接觸面正下方; 摩擦系數(shù)的增大, 使得高應(yīng)力區(qū)出現(xiàn)在表面和內(nèi)部?jī)蓚€(gè)不同的位置, 即“雙高應(yīng)力區(qū)”現(xiàn)象.

4.3 接觸時(shí)摩擦系數(shù)對(duì)接觸力響應(yīng)的影響

圖8(a)給出了剛性球狀壓頭接觸區(qū)與x-o-y截面交線上受到的接觸力情況.由于結(jié)構(gòu)和荷載的對(duì)稱性, 對(duì)接觸弧上的接觸力進(jìn)行分析, 進(jìn)一步可推出壓頭整個(gè)接觸面上的受力情況.作用于接觸弧上任意一點(diǎn)K的接觸力由該點(diǎn)接觸面法線方向的接觸壓力fn和切線方向的摩擦力ft組成.fn和ft沿坐標(biāo)軸方向上的投影分別為x軸分量fnx,ftx和y軸分量fny,fty.接觸面上各點(diǎn)的接觸力向點(diǎn)C合成得到Fc和力偶矩M,Fc在x和軸y軸的投影分別為Fcx和Fcy.各接觸點(diǎn)上的ft向點(diǎn)C合成的結(jié)果為Ft和Mt; 各接觸點(diǎn)上的fn向點(diǎn)C合成的結(jié)果為Fn和Mn.根據(jù)力的合成原理, 顯然有Fc=Ft+Fn和M=Mt+Mn.

各軸的投影分量如圖8(a)所示, 各力投影分量滿足以下關(guān)系:

圖8 接觸面各點(diǎn)受力分析及接觸合力Fc的大小 (a) 接觸面各點(diǎn)受力分析圖; (b) 不同摩擦系數(shù)下接觸力Fc的各軸分量Fig.8.Force analysis of each point of the contact surface and the magnitude of the contact force Fc: (a) Force analysis diagram of each point of the contact surface; (b) axis components of the contact force Fc under different friction coefficients.

圖8 (b)給出了不同摩擦系數(shù)下接觸力Fc沿豎直方向的分量Fcy和水平方向的分量Fcx.由于對(duì)稱性,z軸方向分量為零.從圖8可以看出, 當(dāng)壓頭正向接觸水凝膠時(shí), 接觸力的豎直分量始終保持在0.26 N左右, 摩擦系數(shù)對(duì)其數(shù)值變化幾乎沒有影響; 當(dāng)壓頭斜向接觸水凝膠時(shí), 由于水凝膠發(fā)生了切向變形, 導(dǎo)致其接觸力的豎向分量約為0.28 N, 比正向接觸時(shí)要大, 同時(shí)摩擦系數(shù)對(duì)其的影響也很小.另外, 在剛性球狀壓頭水平位移不變的情況下, 斜向接觸與正向接觸相比, 其接觸力的水平分量隨摩擦系數(shù)增大而增大.

分別針對(duì)正向接觸和斜向接觸, 圖9給出了不同摩擦系數(shù)下的各點(diǎn)法向接觸壓力的合力和各點(diǎn)切向摩擦力的合力.由于對(duì)稱性,z軸方向的分量為零.分析圖9可以得到以下結(jié)論.

圖9 不同摩擦系數(shù)下的各點(diǎn)的合力 (a) 法向接觸壓力的合力; (b) 切向摩擦力的合力Fig.9.Resultant force of each point under different coefficients of friction: (a) Resultant force of normal contact pressure; (b) resultant force of tangential friction force.

1)正向接觸時(shí), 隨著摩擦系數(shù)的增大, 各點(diǎn)法向接觸壓力的合力的豎直(y軸)分量Fny呈現(xiàn)先逐漸下降后保持不變的特點(diǎn), 轉(zhuǎn)折點(diǎn)出現(xiàn)在摩擦系數(shù)μ= 0.25附近, 但下降幅度很小; 由模型對(duì)稱性可知, 各點(diǎn)法向接觸壓力的合力的水平(x軸)分量Fnx約為0.

2)正向接觸時(shí), 各點(diǎn)切向摩擦力的合力的水平(x軸)分量Ftx和豎直(y軸)分量Fty均呈現(xiàn)先逐漸增大后保持不變的特點(diǎn), 轉(zhuǎn)折點(diǎn)同樣出現(xiàn)在摩擦系數(shù)μ= 0.25附近.由此可見, 較小的摩擦系數(shù)(μ＜ 0.25)會(huì)顯著影響摩擦力在接觸過程中的作用效果, 而較大的摩擦系數(shù)(μ＞ 0.25)對(duì)接觸力的變化影響很小.

3)斜向接觸時(shí), 各點(diǎn)法向接觸壓力的合力Fnx與正向接觸的值相差很小, 約0.02 N.但由于剛性球增大了水平(x軸)位移, 使得各點(diǎn)切向摩擦力的合力的水平(x軸)分量Ftx在摩擦系數(shù)較大時(shí)明顯增大.當(dāng)μ= 0.5時(shí), 較正向接觸增大了約5倍.此外, 各點(diǎn)切向摩擦力的合力隨著μ的增大而變向.

為了進(jìn)一步揭示表面的接觸狀態(tài), 提取處于對(duì)稱面x-o-y一側(cè)(z軸負(fù)方向)的壓頭接觸面上的接觸力數(shù)據(jù).圖10給出了接觸力在不同方向上投影的比值與摩擦系數(shù)之間的關(guān)系.此外已經(jīng)證明,Fty/Fnx和Ftx/Fny等于μ則表示x-o-y平面與剛球面交線(弧AB)上各點(diǎn)均處于靜摩擦轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)摩擦的極限狀態(tài)(證明詳見附錄A部分).觀察圖10可以發(fā)現(xiàn): 正向接觸時(shí), 摩擦系數(shù)較小(μ＜0.05 ),接觸力投影的比值曲線與參考線(比值等于μ)重合, 表明接觸弧AB所有點(diǎn)處于靜摩擦到動(dòng)摩擦的極限狀態(tài).進(jìn)一步地, 由模型對(duì)稱性可知, 接觸面所有點(diǎn)處于靜摩擦到動(dòng)摩擦的極限狀態(tài); 隨著摩擦系數(shù)的增大, 接觸力投影的比值曲線與參考線分離并趨于穩(wěn)定, 但始終處于參考線下方, 這表明接觸面的部分區(qū)域處于穩(wěn)定靜摩擦狀態(tài).斜向接觸時(shí),通過與參考線相比, 發(fā)現(xiàn)Fty/Fnx始終小于μ, 表明接觸弧AB上的部分區(qū)域處于穩(wěn)定靜摩擦狀態(tài).

圖10 不同摩擦系數(shù)下接觸力分量的比值Fty/Fnx和Ftx/Fny (a) 正向接觸情況; (b) 斜向接觸情況Fig.10.Ratios of contact force components Fty/Fnx and Ftx/Fny under different friction coefficients: (a) Positive contact situation;(b) oblique contact situation.

5 結(jié) 論

本文研究了水凝膠的斜向接觸大變形行為及其摩擦效應(yīng), 數(shù)值計(jì)算了水凝膠的正向接觸和水凝膠的斜向接觸兩個(gè)算例, 研究得到以下主要結(jié)論:

1)水凝膠的材料非線性以及接觸大變形帶來的幾何非線性, 使經(jīng)典的Hertz接觸理論不再適用于水凝膠接觸問題, 并且變形尺度越大, 經(jīng)典Hertz接觸理論的計(jì)算誤差越大.

2)斜向接觸時(shí), 摩擦系數(shù)的增大會(huì)導(dǎo)致水凝膠的高應(yīng)力區(qū)由接觸面下方轉(zhuǎn)移到表面上, 同時(shí)使得水凝膠內(nèi)部出現(xiàn)兩個(gè)主要高應(yīng)力區(qū).

3)接觸面的摩擦系數(shù)會(huì)改變接觸面的接觸狀態(tài).正向接觸中, 小摩擦系數(shù)下(μ＜ 0.05)的水凝膠接觸面所有點(diǎn)處于靜摩擦到動(dòng)摩擦的極限狀態(tài);而斜向接觸中, 任意摩擦系數(shù)下均不會(huì)出現(xiàn)所有點(diǎn)均處于靜摩擦到動(dòng)摩擦的極限狀態(tài).

南京理工大學(xué)機(jī)器人學(xué)與智能機(jī)器實(shí)驗(yàn)室(RIML)對(duì)本文提供了巨大幫助, 在此深表感謝.

附錄A 關(guān)于極限狀態(tài)的證明

命題:當(dāng)接觸面滿足Ftx=μFny和Fty=μFnx時(shí), 接觸面上任意一點(diǎn)均處于靜摩擦轉(zhuǎn)變動(dòng)摩擦的極限狀態(tài).

證明:利用反證明法, 假設(shè)接觸面上存在一點(diǎn)P處于非極限摩擦狀態(tài), 即其切向摩擦力與法向接觸壓力fnP的比值為使得Ftx=μFny和Fty=μFnx同時(shí)成立.

根據(jù)庫(kù)侖摩擦定律, 摩擦力與接觸壓力的比值應(yīng)小于等于μ, 故點(diǎn)P處的接觸力應(yīng)滿足條件

因此, 點(diǎn)P處的接觸力的各軸投影分量也滿足

即

(A5)式推論與假設(shè)條件矛盾, 故當(dāng)接觸面滿足Ftx=μFny和Fty=μFnx時(shí), 接觸面上任意一點(diǎn)均處于靜摩擦轉(zhuǎn)變動(dòng)摩擦的極限狀態(tài).