黏彈介質(zhì)包裹的液體腔中氣泡的動力學(xué)分析*

張?zhí)杖?莫潤陽 胡靜 陳時 王成會 郭建中

(陜西師范大學(xué), 超聲學(xué)重點實驗室, 西安 710062)

1 引 言

超聲在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用受到越來越多的關(guān)注.高強度的超聲可促使肌肉組織空化, 進而在軟組織中產(chǎn)生空化泡, 空化泡的劇烈振動可對組織形成強空化影響, 同時, 氣泡對聲波的散射以及其自身運動的次級聲輻射等可能影響組織內(nèi)超聲能量的分布, 研究空化泡在組織內(nèi)的動力學(xué)行為可為超聲診斷和治療提供理論和實驗支持.常見的超聲治療, 如碎石術(shù)[1,2]、組織消融[3,4]、腫瘤和癌癥治療等[5,6], 均與空化效應(yīng)有關(guān).Pahk等[7]利用高速攝影機和被動空化檢測系統(tǒng), 對黏彈性介質(zhì)中的氣泡動力學(xué)進行了實驗研究, 結(jié)果表明, 氣泡產(chǎn)生的剪切力可以引起細(xì)胞損傷.聚焦超聲誘導(dǎo)的空泡介導(dǎo)的腦治療已經(jīng)成為神經(jīng)系統(tǒng)疾病的新興治療方法, 由于慣性空化可能與組織損傷相關(guān).Xu等[8]利用傳感器和線性超聲成像陣列組織的超聲圖像引導(dǎo)系統(tǒng)對小鼠進行超聲治療, 在小鼠體內(nèi)注射微泡并以不同的聲壓對其進行超聲處理, 結(jié)果表明較高的壓力下會導(dǎo)致嚴(yán)重的組織損傷, 甚至在聲壓為4 MPa時, 實驗對象出現(xiàn)了死亡的現(xiàn)象, 因此明確氣泡的慣性空化閾值對空化促進治療具有重要的意義.

黏彈性介質(zhì)中氣泡的動力學(xué)模型可為分析軟組織中的氣泡行為提供理論依據(jù).Tanasawa和Yang[9]等考慮泡內(nèi)氣體熱力學(xué)過程的影響, 采用三參數(shù)線性O(shè)ldroyd模型分析介質(zhì)黏彈性對氣泡崩潰的影響, 發(fā)現(xiàn)介質(zhì)彈性的存在可減輕介質(zhì)黏性對氣泡崩潰過程的影響.在超聲治療中, 肌體組織中的氣泡在高強度聲場驅(qū)動下做大振幅振動, 具有典型的非線性特征, 為更好分析氣泡的振動,Yang和Church[10]引入Kelvin-Voigt本構(gòu)方程得到了修正的Keller-Miksis方程, 并以此為基礎(chǔ)探究了介質(zhì)彈性對氣泡振動和慣性空化閾值的影響,發(fā)現(xiàn)彈性的存在可抑制氣泡的振動并使得氣泡的慣性空化閾值提高.Warnez和Johnsen[11]在黏彈性模型中考慮了可壓縮性和熱效應(yīng), 構(gòu)建了不同本構(gòu)模型的介質(zhì)中氣泡動力學(xué)方程并進行了對比分析, 發(fā)現(xiàn)弛豫時間和殘余應(yīng)力等可影響氣泡動力學(xué)生長和反彈過程.通常可采用Voigt和Maxwell模型表征軟組織等介質(zhì)的黏彈特性, Catheline等[12]對Agar-gelatin 仿體和肌肉在剪切波驅(qū)動下的瞬態(tài)彈性成像實驗表明Voigt模型可能更適用于生物組.液體腔內(nèi)部氣泡動力學(xué)研究在地質(zhì)[13]、生物學(xué)[14]等領(lǐng)域有比較廣的應(yīng)用.植物中充滿液體的導(dǎo)管將水分從根部輸送到葉子, 而植物中空化氣泡的生長被認(rèn)為是導(dǎo)致植物干旱死亡的一個原因[15],因此了解被介質(zhì)包圍的液體腔中的氣泡的生長及動力學(xué)行為是非常必要的.Olivier等[16]通過實驗研究了凝膠充水腔中的空化, 凝膠中水分在蒸發(fā)時引起腔內(nèi)液體張力的變化使得氣泡成核并以亞微秒的時間尺度膨脹.Olivier等[17]和Wang[18]基于液體和固體可壓縮性的準(zhǔn)靜態(tài)近似, 并假設(shè)液體腔中的壓力隨時間變化, 導(dǎo)出了彈性固體約束的充液腔中氣泡的動力學(xué)方程, Wang[18]考慮固體的約束及彈性分析了氣泡振蕩及共振頻率, 結(jié)果表明, 由于彈性約束使得氣泡的固有頻率比無界液體中的頻率大一個數(shù)量級, 且瞬態(tài)氣泡的振幅和振蕩周期顯著減小.

超聲空化通常在液體環(huán)境中產(chǎn)生, 生物組織中的空化行為也可視作是被黏彈性介質(zhì)包裹的液體腔內(nèi)空化氣泡的動力學(xué)效應(yīng).本文采用Voigt黏彈性模型表征組織力學(xué)特性, 并基于此發(fā)展生物組織中的空化泡動力學(xué)模型, 考慮介質(zhì)黏彈性對氣泡共振頻率、徑向振動及慣性空化閾值的影響, 為理解復(fù)雜環(huán)境中的空化氣泡動力學(xué)奠定基礎(chǔ).

2 理論模型

一定強度的超聲波作用下的生物組織中的空化通常是多泡體系, 為簡化分析, 僅考慮單氣泡的空化行為, 發(fā)展軟組織包裹的球形液體腔內(nèi)單氣泡的動力學(xué).圖1給出氣泡-液體-軟組織構(gòu)成耦合振動系統(tǒng), 假定氣泡始終保持球形, 忽略腔內(nèi)液體的壓縮性以及液體腔的非球形變化, 考慮軟組織的黏彈性對氣泡在聲波驅(qū)動下的運動影響, 分析氣泡的聲響應(yīng).

圖1 軟組織內(nèi)液體腔中的氣泡Fig.1.Bubbles in the fluid cavity in the soft tissue.

若腔內(nèi)液體不可壓縮的, 則液體速度可表示為

式中,v為以液體腔中心為坐標(biāo)原點的坐標(biāo)系中r處的液體體元的徑向速度.

腔內(nèi)液體的運動滿足Navier-Stokes方程, 即:

式中ρ為液體的密度.(2)式在r方向的分量可表示為

Yang和Yeh[19]證明液體黏性僅在氣泡表面邊界處有貢獻, 故忽略(3)式中黏性項對場分布的影響,將(1)式代入(3)式, 得

將等(4)式對r從Rb到Rc積分, 得

式中plb=pl(Rb,t) 為 氣泡表面的瞬態(tài)壓力,plc=pl(Rc,t)為液體腔壁處的瞬時壓力, 泡壁外側(cè)液體壓力可表示為[18]

其中σ為液體表面張力,η為液體黏滯系數(shù),pa為驅(qū)動聲壓幅值, 假如氣泡經(jīng)歷絕熱過程, 泡內(nèi)壓力pB可表示為[18]

psat為泡內(nèi)的飽和蒸氣壓,γ是氣體的絕熱系數(shù).

腔內(nèi)氣泡振動將影響液體運動以及腔外介質(zhì)的黏彈性響應(yīng), 其振動過程中腔內(nèi)壁處液體的瞬時壓力可表示為

式中pl0為液體靜壓,τrr|r=Rc為腔壁外側(cè)軟組織應(yīng)力.聲波作用下組織中的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可用Voigt模型描述[10], 即:

式中G和μ分別為介質(zhì)的剪切模量和黏性系數(shù),γrr和γ˙rr為組織的應(yīng)力和應(yīng)變且γ˙rr=?u/?r,u為軟組織介質(zhì)的徑向速度表示為, 應(yīng)力和應(yīng)變分別為, 因此, 腔壁外側(cè)軟組織應(yīng)力可表示為

忽略腔內(nèi)液體的壓縮性, 則液體腔半徑和氣泡半徑滿足關(guān)系

將(1), (6), (8), (11)式代入(5)式, 得被黏彈性介質(zhì)包裹的液體腔中的氣泡動力學(xué)方程:

從(12)式看出, 氣泡振動特性與驅(qū)動聲波壓力幅值、驅(qū)動聲波頻率、系統(tǒng)阻尼、腔外介質(zhì)黏彈性等因素有關(guān).對被軟組織包裹的液體腔中的氣泡而言, 由于組織黏彈性的影響, 氣泡可能呈現(xiàn)出不同的振動特征, 且隨著聲場條件的變化, 氣泡振動行為將變得更加復(fù)雜.

為分析組織的彈性對腔內(nèi)氣泡共振頻率的影響, 設(shè):

且有x(t)?1 , 將(13)式代入(12)式并將式中含有氣泡半徑Rb及液體腔半徑Rc的項按小量作泰勒展開, 約去二階以上高階小量, 可得氣泡線性振動方程, 即:

其中

其中α=Rc0/Rb0, 且α＞1.當(dāng)液體腔半徑遠大于氣泡半徑, 即α?1 時, 氣泡可被認(rèn)為處于無界液體中, 此時氣泡共振頻率為

從(16)式可以看出, 液體腔內(nèi)的氣泡共振頻率與半徑比α、軟組織剪切模量等因素有關(guān).

3 數(shù)值分析與討論

為更好地了解氣泡的動力學(xué)特征, 利用龍格-庫塔法求解氣泡的動力學(xué)方程(12)式, 并給予數(shù)值計算結(jié)果分析氣泡的運動和慣性空化閾值.在計算過程中, 腔內(nèi)液體分別選擇血液和水, 軟組織的相關(guān)參數(shù)參考文獻[10], 即ρ= 1050 kg/m3,pl0=105Pa,σ= 0.056 N/m,h= 0.005 Pa·s,γ=1.4 ,μ= 0.015 Pa·s,Rb0= 5 μm,Rc0= 20 μm.

軟組織黏彈性對氣泡共振頻率的影響如圖2所示.對氣泡初始半徑為2.5 μm而言, 當(dāng)腔外組織的剪切模量分別為0, 0.5和1.0 MPa時, 氣泡共振頻率 (ω0/ω∞) 隨半徑比Rc0/Rb0的變化曲線表明:組織硬度越大, 氣泡共振頻率約高; 在氣泡半徑一定的情況下, 腔體半徑的增加將導(dǎo)致氣泡共振的減小并逐漸趨近于氣泡在無界液體中的共振頻率,和Wang[18]給出的彈性固體約束下的氣泡共振頻率變化規(guī)律一致.Olivier等[20]實驗觀察了凝膠包裹的液體腔內(nèi)的氣泡振動, 發(fā)現(xiàn)液體腔半徑越大,氣泡的振動頻率越低; 由于氣泡在負(fù)壓作用被激發(fā)后做自由振蕩, 因此, 其振動頻率與氣泡在腔內(nèi)的共振特性有關(guān).該實驗觀察到的結(jié)論與本文得到的氣泡動力學(xué)模型預(yù)測的共振頻率變化的趨勢一致,表明腔外介質(zhì)的約束可使氣泡共振頻率增大.

圖2 腔外介質(zhì)彈性不同時氣泡共振頻率隨半徑比的變化Fig.2.Change of bubble resonance frequency with radius ratio when the elasticity of the medium outside the cavity is different.

無限流體中的氣泡動力學(xué)被廣泛研究, 被介質(zhì)包裹的液體腔中的氣泡動力學(xué)行為在地質(zhì)學(xué)、植物學(xué)及生物學(xué)中有廣泛應(yīng)用前景.Wang[18]、Church等[21]和Doinikov等[22]均對彈性介質(zhì)包裹的液體腔內(nèi)的氣泡動力學(xué)進行了研究, 得到了他們的模型方程, 為分析凝膠等介質(zhì)包裹的液體腔內(nèi)的氣泡動力學(xué)行為奠定了基礎(chǔ).選取聲波頻率為1 MHz, 聲壓幅值為1 MPa, 氣泡周圍組織的剪切模量為0.5 MPa, 將本文的模型和上述理論模型進行了數(shù)值結(jié)果對比分析, 如圖3所示.本文的模型僅考慮了腔外介質(zhì)彈性的影響, 對照Church和Yang[21]的殼式結(jié)構(gòu)模型可以看出, 若忽略介質(zhì)密度時, 兩曲線幾乎重合(圖3(a)); 若考慮腔外介質(zhì)密度, 在同樣的驅(qū)動情況下, Church和Yang[21]模型預(yù)測的結(jié)果幾乎不能崩潰, 但本文和Wang[18]的模型可觀察到明顯的崩潰相(圖3(b)), 說明腔外介質(zhì)密度可明顯影響氣泡的振動行為, 在以后工作中我們將進一步修正模型, 討論腔外介質(zhì)特性對氣泡動力學(xué)的影響.Wang[18]將其理論和凝膠中的氣泡運動實驗觀察結(jié)果進行了對比, 二者符合得較好, 但其在考慮液體壓縮性時基于線性近似, 理論模型具有一定的局限性.Doinikov等[22]經(jīng)過嚴(yán)格的推演得到了彈性介質(zhì)中的氣泡的自由振動動力學(xué)方程, 選取腔外固體的剪切模量為0.1 GPa, 初始負(fù)壓為1 MPa做數(shù)值分析, 對比發(fā)現(xiàn)本文的理論模型預(yù)測的氣泡自由振動周期短, 氣泡的共振頻率高(圖3(c)), 但氣泡振幅相差不大.因此, 本文的模型在一定程度上可以用來預(yù)測黏彈性介質(zhì)中的氣泡動力學(xué)行為.

圖3 不同模型下氣泡振動對比圖(本文、文獻[21]、文獻[18]和文獻[22]分別為模型I, II, III和IV) (a) 忽略腔外介質(zhì)密度模型I、II對比; (b) Pa = 0.5 MPa時模型I, II,III對比; (c) Pa = 0.1 GPa時模型I, IV對比Fig.3.Vibration of bubbles under different models (The models of this paper, Ref.[21], Ref.[18] and Ref.[22] are called model I, II, III, IV, respectively): (a) Comparison of models I, II when ignoring the density of the medium outside the cavity; (b) Pa = 0.5 MPa, comparison of models I,II, III; (c) Pa = 0.1 GPa, comparison of models I, IV.

通常情況下, 球腔半徑與氣泡半徑的比值α越大, 腔外彈性介質(zhì)對氣泡的振動的約束越弱, 氣泡的振動越接近在無限大液體介質(zhì)中的運動行為.圖4給出了α分別為4, 10和∞時, 氣泡半徑隨時間變化曲線, 計算所用驅(qū)動聲波頻率為1 MHz, 聲壓幅值為1 MPa, 氣泡周圍組織的剪切模量為1 MPa.當(dāng)半徑比α=4 時, 氣泡的穩(wěn)態(tài)振幅最小且具有顯著的非線性特征.隨著半徑比的增大, 在較大的驅(qū)動壓力作用下, 氣泡振動表現(xiàn)出更為復(fù)雜的振動形態(tài), 即氣泡的振動的周期性受到一定的調(diào)制, 氣泡崩潰間隔時間變長.因此, 軟組織在一定程度上抑制了氣泡的振動.

圖4 腔與氣泡半徑比Rc0/Rb0不同時對氣泡徑向振動的影響Fig.4.Influence of the radius ratio of cavity to bubble(Rc0/Rb0) on the bubble radial vibration.

組肉組織的力學(xué)性能隨著組織類型和組成不同而變化, 且組織的剪切模量一般為0.5—1.5 MPa,Qin等[23]在研究處于肌肉組織中的超聲造影劑的動力學(xué)行為時發(fā)現(xiàn), 在聲場下造影劑微泡的振動幅度隨著組織剪切模量的增大而減小.為認(rèn)識腔外介質(zhì)力學(xué)性能對腔內(nèi)氣泡振動的影響, 分析了在1 MHz的聲波頻率驅(qū)動下, 聲壓幅值分別為0.5 MPa和1 MPa時, 介質(zhì)剪切模量對氣泡振動的影響.對比圖5(a)和圖5(b)可以看出, 彈性模量越大, 氣泡振動幅度越小.驅(qū)動壓力越大, 介質(zhì)彈性對氣泡的抑制作用具有增強的趨勢.

圖5 不同聲壓幅值下腔外介質(zhì)彈性對氣泡振動的影響 (a) Pa = 0.5 MPa, (b) Pa = 1 MPaFig.5.Influence of the elasticity of the medium outside the cavity on bubble vibration under different sound pressure amplitudes: (a) Pa = 0.5 MPa; (b) Pa = 1 MPa.

在醫(yī)學(xué)超聲中, 組織中氣泡在聲場作用下由于空化產(chǎn)生的熱、機械和生物效應(yīng)可用于醫(yī)學(xué)治療[24].為更好地了解其背后的機理, 選取HIFU(high intensity focused ultrasound)治療中常用的驅(qū)動頻率1 MHz和3.5 MHz, 且聲壓幅值為1 MPa, 肌肉組織剪切模量為1 MPa時, 探究頻率對被介質(zhì)包裹的液體腔內(nèi)氣泡振動的影響.如圖6所示, 氣泡在1 MHz頻率下的振動較劇烈, 氣泡的膨脹收縮比較大, 意味著在此驅(qū)動頻率下氣泡能量轉(zhuǎn)換能力提高, 容易在幾個聲周期后崩潰, 形成沖擊波和微流等效應(yīng).當(dāng)頻率增大到3.5 MHz時, 半徑比為4的液體腔內(nèi)的氣泡的振動行為表現(xiàn)為圍繞氣泡的平衡半徑做微小起伏振蕩, 這可能與氣泡和介質(zhì)構(gòu)成的耦合系統(tǒng)的共振特性有關(guān).

圖6 驅(qū)動頻率對氣泡振動的影響Fig.6.Influence of driving frequency on bubble vibration.

氣泡的空化閾值取決于許多因素, 包括超聲波頻率、氣泡大小和周圍介質(zhì)特性等, 為分析液體腔內(nèi)氣泡振動特征, 本文采用可使振動氣泡最大半徑達到初始半徑的兩倍時的聲壓幅值作為慣性空化閾值來分析氣泡的空化影響[21], 結(jié)果如圖7所示,數(shù)值分析所取的氣泡初始半徑范圍為0.1—10 μm,腔外介質(zhì)的剪切模量為1 MPa.隨著氣泡初始半徑的增大, 空化閾值具有先減小后增大的趨勢; 在氣泡初始半徑約為0.1—1 μm時, 氣泡初始半徑越小空化閾值越高, 表明此時氣泡難易空化; 空化閾值低的區(qū)域主要分布在1—5 μm的范圍內(nèi), 說明此區(qū)域內(nèi)的氣泡較易激發(fā)空化振動; 從閾值分布曲線看, 具有一定的起伏特征, 這可能與氣泡系統(tǒng)的共振特性有關(guān).對比腔內(nèi)介質(zhì)分別為水和血液時空化閾值隨氣泡初始半徑變化曲線可以發(fā)現(xiàn), 血液中振動氣泡的空化閾值較高, 這可能主要是血液黏度影響的結(jié)果.腔外介質(zhì)彈性模量以及驅(qū)動聲波頻率的增大也會在一定程度上增大空化閾值; 一般情況下, 液體腔越小, 空化閾值越高.

圖7 慣性空化閾值隨氣泡初始半徑的變化趨勢 (a)腔內(nèi)液體及腔外介質(zhì)彈性對氣泡慣性空化閾值的影響;(b)不同驅(qū)動頻率下氣泡的慣性空化閾值; (c)液體腔半徑不同時氣泡的慣性空化閾值Fig.7.Variation trend of inertial cavitation threshold with initial bubble radius at different frequencies: (a) Influence of the elasticity of the liquid in the cavity and the medium outside the cavity on the inertial cavitation threshold of the bubble; (b) inertial cavitation threshold of bubbles under different driving frequencies; (c) inertial cavitation threshold of bubbles when the radius of the liquid cavity is different.

4 結(jié) 論

本文發(fā)展了軟組織內(nèi)的空化模型, 得到了球形液體腔中的氣泡動力學(xué)方程, 分析了軟組織黏彈性對氣泡振動的影響.基于本文得到的動力學(xué)方程,分析了氣泡的共振頻率、振動行為以及慣性空化閾值.在半徑比α相對較小時, 腔外介質(zhì)對氣泡的約束強, 其介質(zhì)彈性可對氣泡共振頻率形成較大影響.腔外介質(zhì)的彈性可抑制氣泡振動, 且抑制作用隨著聲壓的增大有增強的趨勢.氣泡的強非線性振動可能形成強的空化影響, 能否形成較強空化影響與空化閾值有關(guān).通過對驅(qū)動聲場頻率、氣泡尺寸、腔外介質(zhì)彈性及腔內(nèi)液體特性等參數(shù)均對慣性空化閾值影響分析發(fā)現(xiàn), 通常情況下, 軟組織內(nèi)氣泡較難空化且軟組織剪切模量越高, 慣性空化越不易產(chǎn)生.